不等式恒成立问题的解题策略

胡鹏

不等式恒成立问题是数学中常见的问题，在高考中频频出现，是高考中的一个难点问题.此类题型综合性较强，常涉及一次函数、二次函数的性质和图像，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用，因此成为历年高考的一个热点.题中所涉及的未知数、参数数目有多个，处理时常常陷入困境之中，本文通过几个具体例题，探讨该类问题的基本的解题策略.

典例分析：

1.变“辅元”为“主元”

例1.不等式x2-2ax+1>0在区间a∈[1，2]上恒成立，求实数x的取值范围.

解析：我们可以用改变主元的办法，将a视为主变元，将x视为参数，即将原不等式化为-2ax+x2+1>0，则令f（a）=-2ax+x2+1，则1≤a≤2时f（a）>0恒成立f（1）>0f（2）>0即x2-2x+1>0x2-4x+1>0解得x>2+或x<2-

点评：在不等式中出现了两个字母：x及a，而我们都习惯把x看成是一个变量a作为常数.本题可以转换视角，可将a视作自变量，则上述问题即可转化为在[1，2]内关于a的一次函数大于0恒成立的问题.此类题本质上是利用了一次数在闭区间上的图像是一条线段，故只需保证该线段两端点均在x轴上方（或下方）即可.此类题型借用一次函数的性质变“辅元”为“主元”.

对于一次函数有：f（x）=kx+b，x∈[m，n]有：f（x）>0恒成立f（m）>0f（n）>0恒成立f（m）<0f（n）<0

2.利用一元二次函数的判别式

例2.关于x的不等式ax2-2ax+3>0在区间R上恒成立，求实数a的取值范围.

解：（1）a=0时，满足题意。

（2）a>0Δ=4a2-12a<0解得0

综上所述0≤a<3

点评：对于一元二次函数有：f（x）=ax2+bx+c>0（a≠0，x∈R）有

（1）f（x）>0在x∈R上恒成立a>0且Δ<0；

（2）f（x）<0在x∈R上恒成立a<0且Δ<0.

3.利用函数的最值（或值域）

例3.关于x的不等式x2-2ax+1<0在区间[1，2]上恒成立，求实数a的取值范围.

解法一：令f（x）=x2-2ax+1，开口向上，对称轴x=a，

（1）当a≤时，f（x）max=f（2），要使不等式恒成立，只需f（2）<0解得a>，此时

（2）当a>时，f（x）max=f（1），只需f（1）<0，解得a>1；此时a>综上可知a>.

点评：此题属于含参数二次函数的问题，在求最值时，对于轴变区间定的情形，需要根据对称轴与区间的位置进行分类讨论.对于二次函数在R上恒成立问题常采用判别式法，而对于二次函数在某一区间上恒成立问题往往转化为求函数在此区间上的最值问题.

（1）f（x）≥m对任意x都成立f（x）min≥m；

（2）f（x）≤m对任意x都成立m≥f（x）max。简单计作：大的大于最大的，小的小于最小的。由此看出，本类问题实质上是一类求函数的最值问题。

4.参变量分离

例3.关于x的不等式x2-2ax+1<0在区间[1，2]上恒成立，求实数a的取值范围.

解法二：原不等式可化为2ax>x2+1进一步可化为2a>，即2a>x+，x+在区间[1，2]上单调递增，（x+）max=2+=，要使不等式恒成立只需2a>即a>.

点评：将所求变量与其他变量分离开，通过研究式中另外一个变量的已知范围来确定所求变量的范围.若所求变量为a，则根据a>f（x）恒成立a>f（x）max；a

5.数形结合

例4.设x∈[0，4]，若不等式≥ax恒成立，求a的取值范围.

解析：设y1=x（4-x），则（x-）2+y21=4（y1≥0），它表示的是圆心为（2，0），半径为2的半圆（如图所示）.

另设y2=ax，它的几何意义是一条经过原点，斜率为a的直 线，将两者图像画在同一坐标系下，根据不等式≥ax的几何意义，要使得半圆恒在直线l的上方（包括相交），当且仅当a≤0时才成立，所以a的取值范围就是a≤0.

点评：本题是数形结合思想中的“形”中觅“数”，“数”上构“形”的充分体现.由表达式结构特征，能让我们联系到用其几何意义去处理.

总结：恒成立问题的解题的基本思路是：根据已知条件将恒成立问题向基本类型转化。正确选用函数法、主辅元转化法、最值法、变量分离法、数形结合等解题方法求解。