数列通项公式求法初探

李江

【摘 要】数列的通项an是描述数列的基本量，也是高考数学考察的重点内容。针对所教班级学生普遍对求数列的通项感到困难的现状，笔者专门设计了与高考复习相适应的教学案例，现将教学过程展示如下。

【关键词】数列；通项；探究；实验；自主

一、面对的学生现状

本人自参加工作以来，长期与藏族、傈僳族、普米族等少数民族交流，这些民族的社会发育与先进汉族、白族有较大的差异，内地现成的教学经验对他们很难实施教育。依据本地区民族学生的特点，只有长期的摸索和探究，才能逐步找到与高考复习相适应的等差数列通项求法的教学方法，现将教学过程展示如下。

二、教学模式的提出

要全面提高教学质量，就必须从根本上改变课内灌得多、课后作业多以及学生思考时间少和自主探究少的现状，就必须对陈腐的教学课堂教学方法进行彻底改变。为此笔者专门以“问题的提出—自主探究—交流讨论—解决问题”为主线，以学生探究活动为主体，以教师启迪点拨为主线，以培养学生教学兴趣和能力为中心，大面积提高教学质量为目标的课堂复习教学模式。

1.教师提出问题①

同学们，这节课我们一起来探究一些数学的通项公式求法，首先大家来完成下面的问题：

①已知等差数列的首项，公差，求数列的通项公式。

②已知等差数列的首项，公差，求数列的通项公式。

③已知等差数列的首项，公差，求数列的通项公式。

④已知等差数列的首项，公差，求数列的通项公式。

学生通过推算不难得出结论：

2.教师提出问题②

同学们在完成了上面问题后，再来完成以下问题：

⑤已知数列满足：，求数列的通项公式。

⑥已知数列满足：，求数列的通项公式。

⑦已知数列满足：，求数列的通项公式。

3.学生自主探究

学生通过尝试，除了个别学生求出问题⑤答案（大部分學生采用观察—归纳—猜想法求解得答案），而对问题⑥与⑦求解感到十分困难。教师提示：以上问题②数列是等差数列，根据等差数列定义有，由此公式可推得，也就是，即，再加上问题⑤有条件，由此看来问题②与问题⑤是同一个问题。同学们以此思路探索一下问题⑥、问题⑦有什么关系，并把你的探索过程仔细写出。

教师提出问题后让学生动手动脑，独立思考，自主探索。教师要给学生足够的时间进行探究，要引导学生运用合情推理方法去发现并解决问题。在这一过程中逐步培养学生的动手能力，并且让学生感觉到自主发现问题的乐趣，从而增加学习数学的兴趣。

学生通过探索最后发现问题⑥和问题⑦其实与问题③和问题④是同一个问题，教师给予鼓励并让两个同学上黑板展示探索痕迹。其余同学对问题的看法进行交流讨论。

4.学生交流讨论

交流讨论使学生在学习过程中更有了一种合作的乐趣，让学生主体各自说出自己的想法，那么他们就会发现自己在哪些方面有所欠缺，从而更加积极主动地去思考问题和解决问题。

同学们通过以上探究发现，将以上展示的探索痕迹实行逆推可转化为等差数列求得，但也有同学表示反对，原因是如此施行逆推，在实际作业中由于要求变形能力过大，几乎无法完成。

教师在肯定学生探索得到收获后指出，的确与有的同学说的那样就以上展示的探索痕迹施行逆推转化为等差数列求解，在实际操作中难以做到，下面老师也展示一个探索痕迹，请欣赏：

5.教师点拨解决问题

从以上老师展示的探索痕迹施行逆推，同学们应该不难解决问题⑤、问题⑥、问题⑦，同学们一致表示同意。前面展示的同学探索痕迹实行逆推为什么就难以在实际中实施呢？同学们一时无语，教师接着点拨；前面展示的同学探索痕迹，将已知式子变形时习惯于去分母、移项、合并同类项，要知道去分母容易而还原为原来的分母难；移项、合并同类项容易而拆分还原为原来式子两边项则难，前面展示的同学探索痕迹在式子变形过程中部分蕴含的“合约”项被拆分了，当然对等价变形前后的两个式子认识也就模糊了，为探索规律将等式变形时应该尽可能保持等式中“合约”的项，这一点需要同学们在平时学习中加以关注。

求数列的通项公式教学是学生普遍感到疑难的一个教学内容，本课时教学均设计了阶梯渐进式难度提升，问题1与问题2是相关联的配对问题，目的在于引导学生发现规律探究解题方法，整节课不是简单的教师给出方法、学生机械作业，而是把教学重点放在探索过程中，重视过程，体验过程，改造过程，创新过程，让学生在驾驭过程中提升学习能力，并获得成果。

参考文献：

[1]普通高中课程标准实验教科书《数学必修5》人民教育出版社；

[2]“新课标导学”系列丛书《2015走向高考》中国和平出版社。