揣摩例题用意，在例题中找“题根”

马红霞

课本中的例题与习题，都是通过筛选的题目的精华，在解题的思路和方法上具有典型性和代表性，在由知识转化为能力的过程中不仅具有示范性和启发性，而且它们的解题方法和结论本身都具有广泛迁移的可能。近几年的中考题具有“题在书外，但根在书里”的特点，老师要善于在课本中寻找命题的生长点——“题根”。因此，重视课本典型例习题的研究，用好、用活课本十分重要。下面以人教版八年级上册数学教材第十三章《轴对称》中一道例题来看这样一类试题。

例题1：如图1：△ABC是等边三角形，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E.

求证：△ADE是等边三角形（人教版初中数学八年级上册第80页例4）。

这个例题简单，很多老师认为这只是帮助学生熟知等边三角形的判定方法，也会引导学生用不同的方法来说明，但是这个题还有没有可以拓展的空间呢？如果当点D在边AB所在直线上运动时（点E不与A、B重合），这个结论还成立吗？老师可以在课堂上及时拓展。当学生遇到下面的例2，可能会有“似曾相识”的感觉，如果学生能和例1联系起来，也许就会“柳暗花明”。

例题2：（2014天河区期末）如图（2）所示，在等边三角形ABC中，点E为AB上任意一点，点D在边CB的延长线上，且ED=EC，试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由。

（1）当点E为AB的中点时，如图（3）所示，则有AE__DB（填“>”“<”或“=”）。

（2）猜想AE与DB的数量关系，并证明你的猜想。

（3）若等边三角形ABC的边长为1，E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC，AE=2，求CD的长。

分析：此题的第（1）问原型来自课本习题变式，学生可以借助等边对等角、等边三角形三线合一的性质等易于解决。第（2）问，学生大胆猜测易于得到相等的数量关系，但是如何证明，苦苦不得其解而束手无策。如果能领会例题1的灵魂，快速添加辅助线：如图4，过点E做EF∥BC交AC于点F，显而易见出现了例题1的模型，易证△AEF是等边三角形，从而AE=EF，进而把证明AE=DB的问题转化为了EF=BD的问题，再通过证明△DBE≌△EFC即可解决。第（3）问更是把点E、D看成动点，使问题难度升级，但是貌似困难的问题我们更要透过现象看本质，只要点E是等边三角形一边或是边所在直线的一点，都可以仿照例题1的方法和思路：过点E做平行线。如图（5）点E在BA的延长线上，过点E做EF∥AC交BC延长线于F，仍然可以得到△BEF是等边三角形，再通过证明△DBE≌△CFE，再求得BD=AE=2，进而求得CD=1；如图（6），当点E在AB延长线上时，方法依旧，不妨引导学生自己动手画图探究，深刻体会这题的解法的妙处。

通过例1、例2可以发现两题的相通之处，只要点E是等边三角形一边或是边所在直线的一点，都可以通过做平行线构造等边三角形，从而实现线段的转化。那么这时老师又可以引导学生：如果三角形是等腰三角形，点E是腰上一动点，是否还可以用这种方法解决呢？又如下面的延伸训练：

延伸训练：如图，△ABC中，AB=AC，E是AB上一点，F是AC延长线上一点，连EF交BC于D，若EB=CF。求证：DE=DF.

这道题虽然基本图形变成了等腰三角形，但是点E在腰AB上，可以借助例1、例2的思路，过点E做AC的平行线（如图8）构造等腰△BEG，把BE=CF转化为EG=CF，从而通过证明△EGD≌△FCD解决DE=DF的问题。又或者借助图9过点F做AB的平行线，构造等腰△FCM即可同理解决DE=DF的问题。

由此看到，在数学教学中，若教师有目的、有意识地引导学生研究课本中的一些典型例题或习题，通过对其进行合理地变形、转化、拓延、综合，深入挖掘其中潜在的数学思想方法，揭示其丰富的内涵，通过类比、联想和拓展，改变题目中的条件和结论，把原题目进行变换形式，则可以设计出很多相关题目让学生去探究，也可以让学生参与设计题目，这对于培养学生的应变能力、开拓思路、活跃思维等都是有益的，也与素质教育要求的“培养学生的创新能力”的本质吻合。

数学思想、方法作为数学学科的“一般原理”，在数学学习中是至关重要的。数学基础知识是明线，直接用文字形式写在教材里，反映着知识间的纵向联系。数学思想方法则是暗线，反映着知识间的横向联系，常常隐藏在基础知识的背后。因此，需要教师的有效发掘指点，化隐为显，学生才能领悟、掌握。除此而外，面对一道道数学题，我们可以对它进行简单化、特殊化、一般化变形，以寻找解题思路，进行知识和技能的迁移与拓展。在例题教学后，教师及时总结所运用的数学思想方法，可起到以一代十的效果，同时对培养学生思维的深度和高度有重要意义。

教材是《新课标》的载体，是课程目标和课程内容的具体化，是教与学的主要依据。中考数学试题具有“源于教材，但高于教材；题在书外，但根在书里”的特点，大多来源于课本或从课本的基本要求出发加以拓宽，延伸和改造，所以在日常的教学中，教师不要盲目的甩开教材，滥用其他资料，而应高度重视课本上的一些典型例题和它们的解法，在此基础上，还要充分引申、挖掘其蕴涵的深层潜力，在例题中找“题根”，做到“一题多解”、“一题多变”、“多题同法”，融会贯通，这样学生才会得心应手，才能有效地提高数学成绩。

（责任编辑 李 翔）