操作·思考·应用·反思

李晓梅

所谓数学活动经验，就是在教学目标的指引下，通过对具体事物进行实际操作、考察和思考，从感性向理性飞跃所形成的认识，数学活动经验的积累过程是学生主动探索的过程。也就是说，活动经验是在学生的数学实践中随着思维过程而不断积累的。在“图形与几何”领域中，动手实践是应用最广泛的一种学习方式。本文以“圆的周长”教学为例，对如何引导学生在有效操作中积累数学活动经验展开探讨。

一、在操作中丰富数学活动经验

在数学活动过程中，学生需要通过一些外显的动手操作活动，对学习材料形成直观认识。动手操作虽然不一定能直接解决问题，但学生能从中获取抽象素材，并在操作体验中形成对学习材料的直接经验。这种直接经验往往是他们在具体活动过程中所留下的、具有个体特征的数学活动经验，一般是学生个人感觉或知觉方面的。在小学数学学习中，学生从一年级就开始形成并积累一些动手操作方面的数学活动经验，不断累积的操作经验有助于他们在新知学习中进行操作，有助于他们进一步丰富数学活动经验。

教师先创设一个问题情境：圆桌和菜板都有点开裂，要在它们的边缘箍上一圈铁皮。分别需要多长的铁皮？学生或者遇到过这样的现实问题，或者能很快想到以前学过的周长知识，从而有效激活学生已有的生活经验、知识经验或测量圆的周长的操作经验，为学生新知探究中的测量操作活动奠定基础。怎样求圆的周长呢？有的学生想用卷尺或皮尺直接绕一圈量，有的学生想把圆形物体在直尺上滚一圈后量出长度，有的学生想用线在圆形物体上绕一圈后量线的长度等。教师出示两个不同的圆形物体（一大一小），问学生除了上面的这些方法外，还可以怎样求圆的周长？为了引导学生迅速进行新知探究，教师追问学生圆的大小与什么有关系？学生很快猜测圆的周长可能与直径和半径有关系。又有怎样的关系？教师让学生取出课前各自准备的圆形物品，分别量出它们的周长和直径，算出周长和直径的比值，并把结果填入下表中，看看有什么发现。

学生在测量和计算中获得了对圆的周长和直径关系的直观感受。尽管只是学生个人的认知，是比较原始、肤浅和模糊的，甚至可能是片面的，但这种直接经验不但能丰富学生的操作活动经验，而且是学生形成新经验的重要素材。当然，学生的操作离不开教师的适当引导，其目的是帮助学生初步形成正确、清晰的活动经验。

二、在思考中形成数学活动经验

小学阶段的概念、公式、规律一般是由合情推理（由特殊到一般的推理）产生的。学生动手操作后，教师要为他们提供自由想象、自由发挥和自主探索的时间和空间，使数学学习过程成为他们再发现和再创造的过程。学生在“数学地思考”的过程中，常常能获得一些归纳、类比或证明等思维活动经验，并且这种经验是对刚刚形成的操作经验的一种提升。因此，教师要引导学生充分经历抽象、归纳的过程，帮助学生积累合情推理的经验。

学生操作后，迫切地想知道自己的发现对不对，也想了解其他同学的操作结果和发现。同学间交流就成了学生最想做的事情。有的学生由于课堂时间有限，只能对一个圆形物体进行测量和计算，观察结果可能有失偏颇。交流时，学生先了解各自测量了哪些物品，接着了解相同物品的周长，如1元硬币，反馈中有7？郾4厘米、7？郾5厘米、7？郾3厘米，直径分别是2？郾4厘米或2？郾5厘米。然后，开展周长和直径的比值的讨论，保留一位小数（约等于3？郾1）、保留两位小数（有明显区别）、保留三位小数（结果不准确且麻烦），最后想象结果保留四位、五位小数的情况。学生在交流中不但能了解测量的实际价值和局限，而且能加深对测量活动的认识。整体观察表格时，学生很容易发现圆的周长总是直径的3倍多一些。由此引入圆周率可谓水到渠成，用字母π表示圆周率、发现圆的周长公式也就顺理成章了。

学生在独立测量、计算和填表中，初步感知圆的周长是直径的3倍多一点，但个例不能表示普遍规律，这就为他们的合情推理提供了猜测依据，同学交流使他们在相互交流中共享学习资源，在丰富的例证中体验圆的周长和直径之间的关系是一种普遍现象，最终提炼出圆周率的概念。学生在“感知猜测—交流验证—抽象概括”中，不仅理解和掌握了圆周率的概念，体验了规律抽象与归纳的过程，还丰富了对测量的认识。如此由直观走向抽象，有助于学生初步形成“个例—规律”的合情推理经验，有助于学生进一步形成操作（测量）经验。

三、在应用中提升数学活动经验

经验的内隐性表明，学生有时很难明白或表达在数学活动中获得的经验，如果多次经历类似的数学活动，就会把前一活动过程中获得的经验应用到新活动中，从而还原前一活动所获得的经验。引导学生灵活应用经验解决数学实际问题能帮助他们不断“还原”数学活动经验，并产生新的数学活动经验———应用的经验。因此，教师要引导学生主动联系生活实际、在实际情境中解决问题。

教师先引导学生解决生活中的实际问题：一辆自行车后轮胎的半径大约是33厘米。这辆自行车后轮转1圈，大约可以走多远？小明家离学校1千米，后轮转480圈够吗？通过此题，学生在应用圆的周长公式解决实际问题中加深对圆周率的认识，接着引导学生计算r=3cm、d=6cm和r=5cm时各圆的周长，帮助学生巩固所学的周长公式，再引导学生根据圆桌面的周长是4？郾72米求直径，解决实际问题。布置习题如下：

1. 一个圆形喷水池的半径是5米，那么它的周长是多少米？

2. 在一个圆形亭子里，小丽沿着直径从一端走12步到达另一端，每步长大约是55厘米。这个圆的周长大约是多少米？

3. 小红量得一个古代建筑中大红圆柱的周长是3？郾77米。这个圆柱的直径是多少米？（得数保留一位小数）

4. 一只挂钟的分针长20厘米，经过30分钟后，分针的尖端所走的路程是多少厘米？经过45分钟呢？

5. 一个圆形牛栏的半径是15米，要用多长的粗铁丝才能把牛栏围上3圈？（接头处忽略不计）如果每隔2米打一根木桩，大约要打多少根木桩？

6. 杂技演员表演独轮车走钢丝，车轮的直径为40厘米，要骑过50米长的钢丝，车轮大约要转动多少周？

各种生活实际内容的交叉安排，不但能促进知识的相互融合，而且能启发学生进行不同层次的数学思考，激发学生在解决问题的过程中进一步感悟圆周率概念。解决这些不同的实际问题，需要学生灵活应用圆的周长公式，从正向运算到逆向运算，从根据周长计算直径到根据周长计算半径……对多数学生而言，如果他们具备应用意识并顺利解决这些问题，就说明他们已经形成相关知识经验。正如朱德全教授所说的，应用意识的生成是学生知识经验形成的标志。

四、在反思中内化数学活动经验

引导学生恰当反思是帮助他们积累数学活动经验的一个重要渠道。教师引导学生反思的过程，就是引导他们对已有和刚形成的数学活动经验进行“数学化”的过程，就是帮助他们对既有经验实现筛选、整理、优化和提升的过程，也是帮助学生实现经验的改造或重组的过程，有助于学生把数学活动经验由模糊变清晰、由片面变完善、由错误变正确、由零散变结构化。

课末，可由教师引导学生反思，学生在教师引导下有序反思，有助于学生把一个个知识“点”梳理成知识“链”，甚至形成一张知识“网”。反思时，学生除了对操作的经验和思考的经验会有所感悟外，他们在“再创造”过程中的成功或失败体验也会获得发展。学生在积累一些数学基本活动经验的基础上，他们的感性认识和情绪体验便同时产生了，其他各种数学活动经验也能得到平衡发展。

（作者单位：江苏省泰兴市教师发展中心）