一道因式分解题的猜与拆

朱泽峰

新教学大纲对因式分解拆项已不作要求，鉴于数学是一门逻辑思维要求较高的学科，现在不妨就首项系数为1的整系数一元多项式拆项法浅作探究。

如题目：分解因式x3+6x2+11x+6。这是一道用因式分解法（拆项）来做的因式分解题。一般拆的方式各有千秋，可结果都相同。于是我猜想：这些拆项是不是有规律可循？看到分解的结果，我联想到求根分解法。

一元多项式f（x）= x3+6x2+11x+6的次数为3，若能分解因式，则必含一次因式（x-a）。如何确定a？

根据因式定理，如果f（a）=0，则多项式含有因式（x-a）。问题的关键变为如何找a（首项系数为1，则a必为常数项的约数）。根据实际情况，我选择了由猜想到拆项的方法。

经过思考，不少同学猜得f（-1）=0（a=-1），因此确定了一个公因式（x+1）。如何确定其他因式？

可采用综合除法，也可把三个因式都猜出来，但前者难度大，后者主观性强，于是笔者选择了易于理解的拆项法。

常数项、一次项、二次项等都可以拆，但必须满足拆完后重新组合有一组明显地含因式（x+1）。由整除性可知，余数也一定能被（x+1）整除，即余数项必含因式（x+1）。若余数项不明显，则继续拆，依此类推。

故：解f（x）= x3+6x2+11x+6

=（x3+x2）+（5x2+11x+6）

= x2（x+1）+（5x+6）（x+1）

=（x+1）（x2+5x+6）

=（x+1）（x+2）（x+3）

也有同学猜到a=-2或a=-3，道理同上。

其实，这类题通过分拆常数项、一次项、二次项，或同时分拆两项、同时分拆三项，可得到无限多种拆项方式。

还是以a=-1，围绕公因式（x+1）展开。

f（x）= x3+6x2+11x+6

=（6x2+x-5）+[（x3+1）+（10x+10）]

=（6x2+2x-4）+[（x3+1）+（9x+9）]

=（6x2+3x-3）+[（x3+1）+（8x+8）]

= ……

=（6x2+6x+0）+[（x3+1）+（5x+5）]

=（6x2+6x+1）+[（x3+1）+（4x+4）]

= ……

=[6x2+mx+（m-6）]+{（x3+1）+[（11-m）x+（11-m）]}（m∈Z+）

这样，第一组用十字相乘法（当m=6时直接提公因式），含有因式（x+1），第二组前部为立方和公式，后部分提公因式都可得因式（x+1），因此这种拆项法可行。同时第一组的通式为x2+mx+（m-6）（m为正整数），由m的无穷性可知拆项的方式无穷。

另外，还可类似地取通式5x2+mx+（m-5）、4x2+mx+（m-4）、3x2+mx+（m-3）（m为正整数）作为拆项的线索。

猜想虽然是一种主观的感性思维，但正确的猜想总是建立在一定的感性认识的基础上，是对事物的认识处于朦胧状态时作出大胆的超前想法，是思维的火花。

为了使猜想变成现实，我们必须由感性认识上升到理性认识，以取得规律性的认识，这样才能有效指导人们的实践活动。本文的“拆项”正是对这一过程的理性回答。