在空间想象中展开数学意义的建构过程

王志南

什么样的数学学习才是富有意义的？这是值得许多教师在教学中予以思考的问题。数学学习内容背后所蕴涵的教学价值是什么？又该怎样付诸具体的教学行为，去体现相应学习内容的数学价值？从这个意义上讲，具体的解题过程及指导显然并不是数学教学的核心，而发掘和提炼数学学习内容的核心知识，从数学思想方法的层面引导学生展开数学分析和思考，学生才能真正做到学得扎实、理解透彻。

【课前思考】

在教学长方体和正方体的表面积及体积计算后，练习中遇到这样一道题：图1是一个长方体的展开图，根据图中的数据，求出长方体的体积。

以往教学此类问题时，笔者通常是引导学生观察后发现，5厘米可以看作长方体的宽，3厘米其实就是长方体的高，则长方体的长可以用（20-3×2）÷2求得，然后再求长方体的体积。然而，从教学效果来看，部分学生并未能真正地理解题目的含义，进而造成学生“被学习”，解题时“依葫芦画瓢”，一段时间过后，面对变化的题型就不知如何分析和思考了。

事实上，部分学生之所以在教师讲解后仍未真正理解，是因为此类数学问题的解决不能简单依靠记忆和模仿，而需要学生学会根据展开图在头脑中进行相应的空间想象，想象折叠后的立体图形，在此基础上进行数学思考，否则学生很难理解为什么“5厘米可以看作长方体的宽，3厘米其实就是长方体的高”？“长在哪里？怎样求得长方体的长？”等问题的。同时，对这些问题的思考，教师仅仅引导部分优秀生得出答案是不够的，因为在“问答式” 的讲解中学困生是无法真正参与到学习中去的。

从题目本身所蕴涵的教学价值来看，此题可以在立体图与平面图的转化间培养学生的空间观念，发展学生的空间想象力。其关键在于求长，而要求长就必须在头脑中想象如何折叠，发现宽和高的长度。同时，对于那些想象力欠缺的学生，教师还需要帮助他们积累相关的长方体展开图的直接经验，通过操作活动丰富学生对长方体展开图的形象、位置、关系的认识，在此基础上再引导学生进行空间想象，学生的想象过程才能得以真正展开。

【教学尝试】

师：看这幅长方体的表面展开图，要求长方体的体积，你觉得应先求出什么？

生：5cm和3cm中的一条是宽、一条是高，要先求长方体的长。

师：大家听明白了吗？（学生有点茫然）我怎么没看出长方体的宽和高的长度？大家想想办法，怎样才能看出宽和高的长度？

生：可以想象着把这个展开图折叠一下，就能找出长、宽、高了。

师：这个主意不错，你们能在头脑中想象出这个长方体的样子吗？谁来描述一下？

生：我想象出的长方体的宽是3厘米，高是5厘米，长还不知道。

师：你们和他想象的一样吗？有不同的吗？

生：我想象的长方体的宽是5厘米，高是3厘米，长也不知道。

师：知道为什么同样的展开图，想象所得的长方体的宽和高不一样吗？

学生若有所思，陷入思考之中。

生：第一位同学是以最下方的的小长方形为下面展开想象的，中间的四个长方形依次是前面、左面、后面、右面，最上方的小长方形正好是上面。（图2）

生：第二位同学是以中间的大长方形为下面展开想象的，中间的四个长方形依次是上面、左面、下面、右面，还有两个长方形正好是前面和后面。（图3）

师：说的真好！现在你能求出长方体的长和体积了吗？先小组讨论，再组内交流。

学生交流：

生：需要先求得长方体的长，按照第一种想象方法，3厘米是长方体的宽，20厘米可以看作2条长加2条宽的和。这样，长方体的长就等于（20-3×2）÷2=7厘米，这样就可以求得长方体的体积了。

生：我们小组发现，按照第二种想象方法，长方体的高是3厘米，这时的20厘米就是2条长加2条高的和。这样，用（20-3×2）÷2也能求得长方体的长，再求出长方体的体积。

学生自主解答、汇报。

师：同学们，回顾和反思上述两种方法，你发现它们之间有哪些相同之处吗？你有什么收获？

生：两种方法都借助了想象，根据展开图想象折叠后的长方体，进而找到长、宽、高的位置。

生：两种方法都是在寻找20厘米这条线段与长方体的长和宽（或长和高）的关系，再求出长的。

生：以后遇到类似的问题，可以先想象这个展开图折叠后的立体图形，然后再思考图中数据之间的内在关系。

……

【教学思考】

部分学生屡教不会，是因为教师的第一次教他们就没有真正学会，这些学生未能理解数学问题，进行数学意义的自我建构，从而导致教师后几次的重复也是徒劳。如上述课例中，如果学生缺乏对长方体展开图的规律、位置、关系的基本认识，不进行相应的空间想象活动，学生的思维就会陷入迷茫之中。那么，教师如何走出这样的教学困境呢？

一、 展开空间想象，实现二维与三维的互换，寻找解题路径

空间观念是对空间中物体的位置及位置之间的关系的感性认识，其本质是空间想象力。在几何学习过程中，想象往往伴随着观察、操作等活动展开。学生通过想象能直接、有效地获得图形的形状、大小、位置关系以及物体间距离的表象，形成正确的概念表征。而空间想象是小学生几何学习活动中重要的学习方式，是学生发展空间思维、建立空间观念的关键因素。

课例中的题目，呈现的是一个长方体的表面展开图，已知两条棱的长度和四条棱的长度和。对于大部分学生而言，结合此图理解20厘米就是长方体的2条长加2条3厘米的棱长，求出长方体的长是比较困难的，即使勉强接受，下次遇到类似的问题仍然会感到茫然。究其原因，教师没有引导学生对展开图进行深加工，结合展开图想象折叠后长方体的形状，实现由二维图与三维图的互换。

为什么要有二维到三维的转换？因为对六年级学生而言，直接观察长方体展开图来发现长方体的长、宽、高仍有一定的难度，或者说，即使找到长、宽、高的相关数据也只是处于猜测阶段，尤其是在面对已知5厘米和3厘米的两条棱时，学生根据展开图直观判断20厘米到底是两条长与两条怎样的棱的和，学生是很茫然的。学生怎样才能真正地理解呢？笔者以为，只有让展开图在头脑中“动”起来，想象折叠成长方体的过程，这时的长、宽、高就了然于心了。在此基础上，再来观察展开图中20厘米的构成就简单多了。换个角度而言，本题所考察的，不正是学生的空间想象能力吗？

事实上，苏教版数学教材中安排学生学习长方体、正方体、圆柱的展开图，除了出于帮助学生理解和掌握立体图形的特征和计算立体图形表面积的需要，还有更深层次的考虑，就是希望借此来发展学生的空间想象力。即根据几何体想象其展开图或根据展开图想象相应的几何体，进而逐步建立空间观念，发展空间想象力。在小学阶段，需要进行二维和三维转换的数学问题还有很多。如六年级上册中的一道题目：“一个底面是正方形的长方体，侧面展开是边长4分米的正方形，求长方体体积。”六年级下册中有关于圆柱展开图的问题：“用图中的阴影部分恰好能做一个无盖的圆柱形水桶，这个水桶的容积是多少？”（图4）这些数学问题的解决，都需要教师引导学生进行空间想象，有时还可以组织学生动手做一做，通过具体的操作活动去感知、发现、建构正确的空间形式与关系，积累相应的几何表象和数学活动经验。

二、 结合空间想象，进行数学分析与思考，建构数学意义

几何作为一种理解、描述和联系现实的工具，也许是数学中最直观、具体和真实的部分。几何概念的内部表征以表象为主，表象在一定程度上起到了连接概念与图形、图形与模型的作用。与一般表象不同，几何表象不仅仅是事物或事件的知觉表征，它一方面反映的是图形的相关概念，具有思维的特征；另一方面又具有一定的形象性，可以在头脑中对它进行各种操作，如旋转、切割、黏合、折叠、拓展等[1]。从这个意义上讲，案例中要让学生的空间想象顺利地展开，前提是学生脑海中有对立体图形展开图中面的排布规律、位置关系有相应的几何表象，即在教学正方体和长方体的展开图时就要引导学生充分进行操作活动，通过剪、观察、比较、分析、思考等一系列活动，形成有关正方体和长方体展开图的表象，积累数学活动经验。对于一些空间想象力欠缺的学生，还可以指导其画出相应的展开图，剪下来，折一折，看看和自己想象的是否相同，丰富表象的同时促进其对数学意义的建构。

苏教版小学数学教材主编王林老师说：“教学中的难点难在学生不好理解，要浅说，关键的地方要分解。好比拍电影，拍到关键的地方，要拍它的慢动作，把关键的地方一个一个分得很细。”案例中，笔者没有急于求成，而是引导学生展开三个层次的思考：一是结合展开图思考，你是怎样看出长方体的宽和高的，引导学生发现直接观察和确定宽和高有点困难，需要将展开图想象着折叠成长方体；二是组织学生以其中一个面为底面，展开空间想象，在头脑中勾画出折叠后长方体的形状，由此确定长方体的长、宽、高的位置；三是引导学生再次回到展开图，发现20厘米可以看成是2条长加2条宽（或高）的和，从而求得长方体的长。在此过程中，由于学生直接观察和确定宽和高有点困难，于是产生了强烈的认知冲突，借助空间想象实现二维平面图向三维立体图的转换显得水到渠成，通过想象确定长方体的长、宽、高的位置后，再次回到展开图来探讨20厘米的构成，有效地突破了学生理解上的障碍，实现了数学意义的自我构建。

三、 进行回顾反思，体验空间想象的数学价值，感悟思想方法

在教学实践中，笔者发现学生对需要空间想象的数学问题往往比较害怕，在独立解题时自主展开空间想象也有困难。这也从另一个侧面反映出当下数学课堂教学的困境：注重数学分析、抽象、比较、概括等理性思维，而在学生空间想象力培养方面有所忽略。事实上，学生空间想象力的发展与学生的学习体验密切相关，在教学中，教师要自觉引导学生想象和画图，再现相应的问题情境，借助图形展开数学思考。同时，教师要引导学生不满足于找到问题的答案，而应在得到“答案”后“回头看”和“再思考”，体验空间想象对问题解决的突破和推进作用，对问题解决过程中孕伏的数学思想方法进行总结和概括。

在上述案例中，教师组织学生回顾解题过程，引导学生思考两种解题方法的相同之处，以及解题过程中所蕴含的数学思想方法。进而发现，两种方法都是根据已知条件寻找20厘米与长方体的棱之间的关系，而这一关系的获得必须由展开图想象折叠后的立体图形，进一步体验想象在解题过程中的重要性。同时，教师还可引导学生对比自己解题中的错误，分析自己出现错误的原因，解题后在题目的旁边进行批注，记录下解题的思想方法和解题要点，体验数学思想方法的价值。

参考文献

[1] 鲍建生，周超.数学学习的心理基础与过程[M].上海：上海教育出版社，2009.

【责任编辑：陈国庆】