注重基础 锐意创新

吕俊芳

今年陕西省高考数学试题是继连续十年（2006～2015）自主命题后的第一年采用全国卷（Ⅱ）（陕西、重庆、辽宁、吉林、黑龙江、宁夏、甘肃、青海、新疆、西藏、内蒙古、海南等12个省区共用），文理科试题仍以高度相关的姊妹卷形式出现.试题结构与往年新课标基本一致，坚持在稳定中求创新，重视对高中数学基础知识、基本技能的考查，注重考查学生分析问题，解决问题的能力.试题严格遵循考试说明的各项要求，具备基础性和综合性，对知识和能力实现了多角度、多层次地考查，且兼顾中学教学实际，又在一定程度上进行了创新，更加注重数学在生活中具体的应用.同时试卷在坚持创新的基础上，从不同侧面考查学生的数学素养与学习潜能，具有较高的区分度和适宜的难度，与2015年相比，今年试卷整体平稳，难度略有提升.

一、试题特点

1.考查基础，探索创新

试题充分考查考生对中学数学基础知识的掌握程度.如理科第1题考查复数与复平面上点的对应关系，第2题、文科第1题考查集合的简单运算，其中包含不等式求解，理科第3题、文科第13题考查平面向量运算，理科第9题、第13题、文科第15题考查三角函数与解三角形.同时，试题突出主干知识的考查，如文科第10题、文理科第12题、理科第16题、第21题和文科第20题从不同角度考查了函数，理科的第6题、第14题、第19题和文科的第4题、第7题、第19题考查了立体几何，特别是理科的第20题和文科的第21题这两道姊妹题，解答时都需要借助图象直观发现解题思路和结论，用严谨的逻辑推理进行证明，整个解答过程经历“画图——观察——探究——发现——证明”的过程，这些试题立意新颖，背景深刻，情境生动，设问巧妙，能很好的考查学生理性思维的广度与深度，考查学生的数学学习潜能.理科的第4题、第11题、第20题和文科的第5题、第6题、第21题考查了解析几何，理科第10题、第18题和文科第8题、第18题考查了概率统计.

在命题方法上，通过改造、移植、嫁接等方法编制了一批立意深远，背景丰富，表述简洁的新题.如理科的第5、10、15、17、18题，文科的第8、12、16、17、18等.文理科相同的题目有9道[（文，理）：（6，4），（7，6），（9，8），（15，13），（16，15），（18，18），（22，22），（23，23），（24，24）]，姊妹题有8道[（文，理）：（1，2），（2，1），（11，7），（12，12），（13，3），（17，17），（19，19）（21，20）]. 相同知识点的考查以不同方式呈现，体现了对文科考生的人文关怀.

试题以能力立意，注重从知识交汇处命题，考查各种数学能力，重点考查逻辑推理能力，特别是推理论证能力.例如，理科第14题、第15题、第19题、第21题、第22题、第24题和文科第16题、第19题、第21题、第22题、第24 题.立体几何大题是个折叠问题，突出了平面和空间的转换关系，综合考查了空间想象能力、运算求解能力和逻辑推理能力，解析几何题和函数与导数题考查了考生的综合素质，数据处理能力和创新应用能力也有不同程度的考查.在题目设计上探索创新，如理科第15题、文科第16题利用生活情境考查逻辑推理能力，文理科第17题考查考生对新函数定义的理解和运用，文科导数题不再压轴，比较常规，但是超越函数求导对考生有挑战性；圆锥曲线大题是压轴题，对考生的转化能力、计算能力的要求还是很高的，平淡中出新招，凸显了数学的魅力.

2.注重方法，能力立意

试题在考查知识的同时，注重以有关知识为载体，考查数学思想和通性通法.例如，文理科第12题、文科第3题、理科第20题、文科第21题考查了数形结合的思想方法，理科第17题、第21题和文科第20题考查了分类讨论的思想方法，全卷多处体现了函数与方程、化归与转化的思想方法，统计与概率的思想方法在解决实际问题的过程中也得到体现.试题联系社会实践和考生熟悉的现实生活，考查考生运用数学知识和方法分析、解决实际问题的能力，体现了数学的作用和价值，有助于引导中学数学教学对学生应用意识和应用能力的培养，例如，理科第5题的志愿者活动、文理科第18题的保险费用设计和文科第8题的交通红绿灯设计都凸显了对应用能力的考查，体现了数学与现实生活的紧密联系和时代气息.

3.中档题比重增加，运算量略有提高

试题对基础知识的考查既注重全面又突出重点，中档难度试题比重略有增加，思维含量高，能力考查力度加大，提高了试题的层次和品位.如理科的第5、10、18、21题，文科的第12、16、17、21题等.今年高考依旧对支撑数学知识体系的主干内容：数列，三角函数（7，9题），立体几何，解析几何，计数原理与概率统计、函数与导数，做了重点的考查.

4.注重通性通法，淡化技巧，突出数学应用试题坚持了通性通法在解题中的运用，要求运用基本概念分析问题，运用基本公式运算求解，利用基本定理推理论证，同时重视对运算求解、推理论证、抽象思维、空间想象、以及分析和解决问题能力的考查，其中运算求解能力贯穿始终，如理科的第13题，求边长同时考查正余弦定理在三角形中的应用，第16题函数导数考察一条直线同时是两条曲线的切线，第17题数列大题，看是简单，不小心就出错，第18题既考察学生的分析问题能力，又全面的考察包括条件概率，数学期望的概率问题知识点，第19题立体几何问题，考查线面垂直的判定，二面角的运算以及空间向量方法应用，特别是第18题，体现数学在生活中的应用，同时考查概率的计算与分布列，计算数学期望等.由高考改革方向来分析，以后体现数学应用的创新试题会逐渐增多.

5.试题难度区分合理，更加有利于选拔试题分布由易到难、循序渐进，选择填空题重点考查基础知识和应用能力，选择题比较容易，如理科的第12题也可通过特殊函数解决，第17、18、19题重点考查综合运用基础知识的能力，利用数学基础知识解决问题的通法，就是第17题数列有点小变化，第20、21题重点考查学生的运算能力，思维能力与一定的探究能力，试卷整体难度分布比较平缓，难度分布也是由易到难，具有较好的梯度.通过对试题由浅入深的设置，使得思维深入有一定难度，有较好的区分功能，第20题第一问，比较常规，只要掌握斜率的互换，能简化运算，学生不会有什么困难，第二问思路简单，就是运算要求高，若考生数学意识强，能快速转化成不等式，很快就能得到答案.第21题函数导数，第一问不难，直接求导，判断增减性，第二问关键是利用第一问结论，巧妙转化，判断零点的范围，本题考查学生的探究创新能力和运算转化能力，有很好的区分度.选做22题考查三角形相似，求证四点共圆与以往直接考察相交弦，切割线定理不同.第23题极坐标参数方程比较常规，第24题不等式也比较常规.

总之，在新课程标准下，今年高考数学试题全国卷（Ⅱ）在体现新课标理念、试卷结构、题型设置以及命题风格上都保持了相对的稳定，在全面检测双基的同时，特别注重对思想方法与创新能力的考查，强调通性通法，淡化技巧，稳中求变，锐意创新，这正是符合新时代的教学理念.

二、试题对今后教与学的几点思考

（1）试题再一次说明高三复习课还是应该立足于中档基础题，回归课本，力求知识的系统和全面，以求学生较熟练地掌握基本概念、基本方法，基本规律，基本题型等.

（2）在落实了基础的前提下，要引导学生能尽量地上升到一定的分析问题、转化问题、解决问题的能力层面.

（3）考生审题不清，思维定势，写题过程不规范；不注意细节，考虑问题不全面；基本的变形、转化手段缺乏等弱点是历届高考数学试卷中存在的较为普遍的现象，鉴于此，规范的板书示范应该贯穿于整个教学过程之中.

（4）高三一年检测次数较多，检测内容特别是一轮复习阶段应根据教学进度作适当延展命题，既要促优，又要考虑大面积的中差生，查漏补缺，提高学生的学习兴趣，对外来试题要和教学实际相结合，切忌整卷搬用，要更好地甄别，删增重组，既有目标又有侧重点的检测.

（5）统揽文理全卷，仔细品味传递了一个重要信息：考生盲目的题海战术，做再多的题也不能考出理想的成绩.高中数学教学要让学生感受到基础知识和基本技能的重要性，要引导学生学会在“看、做、想、研”的基础上强化训练，方能获得较好的应试效果.

三、2017年高考数学命题趋势预测

《考试大纲》明确规定了考试性质、考试要求、考试内容、考试形式与试卷结构，并给出了题型示例.在考试性质中明确指出：高考除了具有一定的信度、效度，还要有一定的区分度和适当的难度.数学学科考试要发挥数学作为基础学科的作用，既重视考查中学数学知识掌握的程度，又注重考查进入高校继续学习的潜能.在考查基础知识的基础上，注重对数学思想和方法的考查，注重对数学能力的考查，在强调综合性的同时，也要注重试题的层次性，合理调控综合程度，坚持多角度、多层次的考查.由《考试大纲》及2016年全国高考数学卷Ⅱ，预测2017年高考数学命题有以下两种趋势.

1.课本习题拓展化

教材例习题的设计新颖别致，难度接近高考，颇有拓展、开发和挖掘的余地和空间. 2016年全国高考数学卷Ⅱ中，有相当一部分小题源于教材，综合题也是由课本例、习题的组合、肢解、嫁接、加工或延拓而成.因此，要充分发挥课本例、习题的基础性、典型性、示范性的功能作用.

2.研究性学习成果化

如何检测“研究性课题”的教学效果，考查学生在“研究性学习”中逐步养成的探索创新精神，这是高考命题的一个难点.2016年全国高考数学卷Ⅱ对此做了十分有益的探索和实践，如文科的第8、12、16、17（Ⅱ）、21（Ⅱ）题等，理科的第5、10、12、15、20（Ⅱ）、21（Ⅱ）题等，都颇有研究性的味道，它们形式活泼，取材新颖，可谓匠心独运，很好地考查了新课改研究性学习的新理念.可以预测，2017年高考数学试题将会更加注重倡导研究性学习，更进一步显现研究性学习的特点.

四、2017年高考数学复习备考建议

2017年高考数学还将采用全国卷 ，为了有效备考，首先要认真研究《考试大纲》，提高复习备考的针对性.《考试大纲》一般在每年的3月初公布，不过连续几年的数学《考试大纲》的变动微乎其微.因此，在《考试大纲》未公布前，可先参阅2016年的《考试大纲·课标Ⅱ》，从宏观上准确掌握《考试大纲·课标Ⅱ》中的精神和考试性质，准确掌握考试的内容，做到复习时不超纲，不做无用功；从微观上细心推敲高考内容三个不同层次的要求，要准确掌握哪些内容是要求了解的，哪些内容是要求理解的，哪些内容是要求掌握的，哪些内容是要求灵活应用的.细心推敲考查的数学思想和数学方法各有哪些，细心推敲要考查的四种能力. 想方设法诱导学生：学会自信，充满动力备考；学会拼搏，加足马力备考；学会计划，周密安排备考；学会总结，不断优化备考；学会选择，突出重点备考；学会迁移，抓住根本备考；学会循序，遵循规律备考；学会“弹琴”，协调关系备考；学会自主，主动自觉备考；学会考试， 镇定自如备考. 在具体操作上，应尽力做到以下几点.

1.深化基础知识，挖掘教材潜力

从基础谋发展，课本是根本，是高考试题的主要知识载体，是高考命题的生长地，是《考试大纲》制订的主要依据.纵观近几年的高考试题，多数试题源于教材，即便是综合题也是教材例、习题的加工和拓展，充分表现出教材的基础作用，教材中的许多习题与例题蕴涵着重要的数学思维方法和思想精髓. 夯实基础，回归课本，开放思维，在复习中要注意总结、提炼并灵活运用.

2.加强对典型问题的研讨，提高解题效率近几年数学高考题依据《考试大纲》，在努力保持连续稳定的前提下，在改革中发展，在探索中创新，每年都有一些背景新颖、内涵深刻、富有新意的试题，逐步推出了应用题、探索题、阅读理解题、图表信息题等.复习中应加强并通过对典型问题的研讨，探求试题的一般规律，即通性通法，学会举一反三，触类而旁通.

3.掌握解决数学问题的通法

所谓通性通法就是解决问题的基本方法，是应该重点掌握的方法，但不是每一道题都需要通性通法来解决.高考试题一般不追求特殊技巧，着重在“通性、通法”上大作文章.总结数学学科中解决问题的基本思想和方法，重点放在有价值的常规方法的应用上，特别是教材中每章知识所给出的解决问题的一般方法.

4.深刻理解数学思想方法，把握数学学科特点

数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象与概括，是数学知识的精髓，是数学概念、理论的相互联系和本质所在，它蕴含在数学知识发生、发展和应用的过程中，是由知识向能力转化的重要桥梁，只有深刻理解并能熟练地运用数学思想方法，才能把数学的知识与技能转化为分析问题和解决问题的能力，才能体现数学学科的特点，才能形成良好的数学素养.《考试大纲》中所涉及的数学方法有：配方法、消元法、换元法、待定系数法、归纳法、坐标法、参数法、类比法、特殊法、一般法，观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、归纳和演绎等.数学思想有：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想和转化（化归）思想等.建议在每轮复习中，想方设法诱导学生深刻体会.

5.精选考题，加强练习

纵观近几年全国高考试题及各省市高考模拟试题等，可以说都是各地数学命题专家集体智慧的结晶，是对《考试大纲》的具体且权威的诠释，具有很好的导向性和示范性，是十分珍贵的复习资料.在复习中根据学情有针对性的精选一些中低档题并适当拓展或超前，以课本例习题的变式，特别是近几年的全国课标卷的变式为载体做好滚动检测，诱导学生认真演练，建议基础小题保分练，经典小题强化练，易错小题辨析练，高频考题保温练，创新小题技能练，中档大题规范练，整合大题纵横练，压轴大题突破练.练思维练规范，及时反馈，发现不足，对点补救.诱导学生记录心得体会，分析错解原因，再学失分考点，写下心路历程.在总结中进步，在反思中提升.这对切实提高学生的数学能力和数学素养肯定是大有裨益.

对于决战2017年高考学子，祝愿新高三学子能够经历高三一年风雨，为高考打下坚实的基础，在2017年高考中取得最最优异的成绩.

（收稿日期：2015-07-12）