Banach空间中广义f-投影算子连续性的应用

张冬杨，苏亚坤

(渤海大学，辽宁 锦州　121000)



Banach空间中广义f-投影算子连续性的应用

张冬杨，苏亚坤

(渤海大学，辽宁 锦州121000)

摘要：在自反严格凸且光滑的Banach空间中，利用广义f-投影算子的连续性求解了GVIT(K，T，f)广义变分不等式。

关键词：广义f-投影算子；GVIT(K，T，f)广义变分不等式；对偶变换；连续性

1预备知识

首先给出对偶映射J的一些性质[1]：

1) X是自反的，当且仅当J是满射；

2) X是严格凸的，当且仅当J是单射；

3) X是光滑的，当且仅当J是单值映射；

4) 如果X是光滑的Banach空间，那么J:X→X*是弱星连续的；

5) 如果X是自反严格凸且光滑的Banach空间，那么J∶X→X*是X*中的对偶映射且J-1=J*,JJ*=I。

对任意给定的ρ>0，令G:X*×K→R∪{+∞}，定义

下面介绍G函数的性质[2]：

2) 对于φ而言，如果x是固定的，那么G(φ,x)是凸的和连续的；

3) 对于x而言，如果φ是固定的，那么G(φ,x)是凸的和下半连续的。

在已有G函数的基础上，Wu和Huang[2]在一致凸一致光滑的Banach空间中定义了广义f-投影算子，即：

文献[3]给出Banach空间中广义变分不等式GVI(K,T,f)的定义，即：对任意的x∈K, ρ>0，存在u∈Tx，如果满足

其中T∶K→X*是集值变换。

另一方面，作为应用，文献[4]证明了在自反严格凸且光滑的Banach空间中广义f-投影算子是单值且连续的，并应用该性质求解广义变分不等式：

其中，任意ξ∈X*,A:K→X*。迭代结构为

本文在上述文献的启发下，在自反严格凸且光滑的Banach空间中，利用广义f-投影算子的弱对强连续性，求解广义变分不等式GVI(K,T,f)。

本研究需要以下引理[2]：

引理3若X为自反严格凸且光滑的Banach空间，则

引理4如果是任意给定的实数r>0，那么X是一致凸的Banach空间，当且仅当存在严格递增的凸函数 g∶R+→R+，且g(0)=0，使得

其中∀x,y∈Br,λ∈[0,1]。

2主要结果

定理1令X是一致凸且光滑的Banach空间，K是X中非空紧凸子集，且0∈K,T∶K→X*是上半连续且闭的， f∶K→R是真凸下半连续的，假设存在β>0，使得J-βT∶K→X*是紧的。假设：对∀x∈K, f (x)>0且 f (0)=0;对∀x∈K,u∈Tx,都有

(1)

令x0∈K，且{xn}是由下述迭代结构产生的：

(2)

其中{αn}满足下列条件：

1) 0≤αn≤1;

那么广义变分不等式GVI(K,T, f)存在近似解x*∈K,且存在{xni}⊂{xn}，使得当i→∞时，xni→x*。

由引理3和式(1)可得

(3)

另一方面，由G函数的定义及引理2可得

(4)

(5)

由引理4可知：存在连续且严格递增的凸函数g∶R+→R+，且g(0)=0,那么

当n=1,2,3,…,m时，对上面的不等式两端加和，可得

当n→∞时，上式也就是

(6)

(7)

由g函数的性质可知

由于{xni}是有界的，且J-βT在K上是紧的，那么{Jxn-βun}有子列强收敛于φ∈X*。不失一般性，假设存在子列{Jxn-βun}，且Jxn-βun→φ0∈X*,由于X是一致凸的，那么X有H性质，且根据引理5可知：广义f-投影算子是连续的。从而可得

(8)

(9)

因此结合式(7)～(9)可得

(10)

参考文献：

[1]WU K Q， HUANG N J. The generalized f-projection operator with an application,in Bull Austral[J]. Math Soc,2006,73:307-317.

[2]WU K Q, HUANG N J.Properties of the generalized f-projection operator and its applications in Banach spaces[J]. Computers and Methematice with Applications,2007,54:399-400.

[3]XU H K.Inequacities in Banach spaces with applications[J].Nonlinear Anal,1991,16:1127-1138.

[4]张冬杨 关伟波.Banach空间中广义f-投影算子的连续性及其应用[J].哈尔滨师范大学自然科学学报,2013(1):5-7.

[5]郭大钧，孙经先.Banach空间常微分方程理论的若干问题[J].数学进展,1994(6):492-503.

[6]刘炳妹,刘立山.Banach空间中二阶非线性混合型脉冲微分-积分方程的解[J].系统科学与数学,2011(5):583-590.

[7]张玲忠,李永祥.Banach空间非线性Sturm-Liouville边值问题的正解[J].数学物理学报,2009(3):784-793.

[8]肖鹃，谢荣华，邓磊.Banach空间中有限渐近拟非扩张映射族的收敛定理[J].西南大学学报(自然科学版),2014,36(2):87-91.

[9]周友明.Banach空间中二阶微分方程的周期边值问题[J].应用数学学报,2006(3):436-444.

[10]王涛.Banach空间中非线性完全三阶微分方程周期解的存在性[J].西南大学学报(自然科学版),2011,33(12):112-115.

(责任编辑陈艳)

Application of Generalized f-Projection Operation’s Continuity in Banach Spaces

ZHANG Dong-yang, SU Ya-kun

(Bohai University, Jinzhou 121000, China)

Abstract:We solved GVI(K,T,f) generalized variational inequality by the continuous of the generalized f-projection operation in reflexive strictly convex and smooth Banach space.

Key words:generalized f-projection operation; GVI(K,T,f) generalized variational inequality; duality mapping; continuity

中图分类号：O177.2

文献标识码：A 1674-8425(2016)03-0149-04

doi:10.3969/j.issn.1674-8425(z).2016.03.025

作者简介：张冬杨(1987—)，女，黑龙江人，硕士研究生，主要从事运筹学与控制论研究。

基金项目：辽宁省教育厅基金资助项目(64603043)

收稿日期：2015-06-28

引用格式：张冬杨，苏亚坤.Banach空间中广义f-投影算子连续性的应用[J].重庆理工大学学报(自然科学)，2016(3):149-152.

Citation format：ZHANG Dong-yang, SU Ya-kun.Application of Generalizedf-Projection Operation’s Continuity in Banach Spaces[J].Journal of Chongqing University of Technology(Natural Science)，2016(3):149-152.