领略转化 提升能力

□高峰



领略转化 提升能力

□高峰

就解题而言，解题就意味着转化，即把“新知”转化为“旧知”，把“未知”转化为“已知”，把“复杂”转化为“简单”，把“陌生”转化为“熟悉”，把“抽象”转化为“具体”，把“一般”转化为“特殊”等等.转化是一种重要的数学思想，也是分析问题和解决问题的一个基本思想.

一、四边形转化为三角形

例1如图1，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O，连接CE，则CE的长为（）.

A. 3B. 3.5

C. 2.5D. 2.8

图1

解析：设CE的长为x，因为EO垂直平分AC，所以AE＝CE＝x，所以ED＝4－x，在Rt△CED中，由勾股定理得22＋（4－x）2＝x2，解得x＝2.5.选C.

点评：利用矩形、线段垂直平分线的性质将问题转化为直角三角形问题，再利用勾股定理将几何问题转化为方程问题.

二、把不规则图形转化为规则图形

例2如图2，四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，若四边形ABCD的面积是24cm2，则AC长是________

cm.

图2

图3

解析：如图3，过点A作AE⊥BC于点E，AF⊥CD交CD的延长线于点F.则可证△ABE≌△ADF，得AE＝AF.进一步可证四边形AECF是正方形，且正方形AECF与四边形ABCD的面积相等.则所以

点评：解题的关键是正确地作出旋转变换，将四边形的问题转化成正方形的问题来解决.

三、线段和（差）问题转化为两线段相等问题

例3已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作菱形ADEF（A、D、E、F按逆时针顺序排列），使∠DAF＝60°，连接CF.

（1）如图4，当点D在边BC上时，求证：①BD＝CF；②AC＝CF＋CD.

（2）如图5，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC＝CF＋CD是否成立？若不成立，请写出AC、CF、CD之间存在的数量关系，并说明理由.

图4

图5

（3）如图6，当点D在边CB的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC、CF、CD之间存在的数量关系.

图6

图7

解析：（1）根据等边三角形和菱形的性质发现等线段、等角，证明△ABD≌△ACF即可解决问题.

①∵△ABC是等边三角形，

∴AB＝AC，∠BAC＝60°.

∵四边形ADEF为菱形，

∴AD＝AF.

∵∠BAC＝∠DAF＝60°，

∴∠BAC－∠DAC

＝∠DAF－∠DAC，

即∠BAD＝∠CAF.

∴△ABD≌△ACF.

∴BD＝CF.

②∵AC＝BC＝BD＋CD，且由①BD＝CF，∴AC＝CF＋CD.

（2）观察图形，可知CF最长，显然（1）②中结论不再成立，这时模仿（1）①中全等三角形的证明思路，看相应的两个三角形是否仍然全等，进而解决问题.

原关系不成立.存在的数量关系为CF＝AC＋CD.

理由：由（1）①同理可得

△ABD≌△ACF，

∴BD＝CF.

∵BD＝BC＋CD＝AC＋CD，

∴CF＝AC＋CD.

（3）如图7，观察图形，可知CD最长，CD＝AC＋CF.证明方法与前面类似.其实总结（1）（2）可发现该三条线段之间的关系就是最长的一条等于较短的两条线段之和.

点评：本题旨在引导探究点在运动的过程中，某个结论变与不变的问题，虽然是探究三条线段之间的关系，但实质还是转化为探究两条线段之间的关系.

四、通过转化将分散的条件集中

分析：根据条件易知在△ABE与△ADG中，∠B＝∠D＝45°，∠BAE＝∠DAG＝30°，利用旋转变换，将△ADG逆时针旋转与△ABE拼接，构成等边三角形和等腰直角三角形进行计算.

图8

解：如图8，将△ADG逆时针旋转到△AHB的位置，连接EH交AB 于I，则AH＝AG＝AE，HB＝GD＝BE，因为∠BAD＝135°，∠EAG＝75°，所以∠B＝∠D＝45°，∠BAE＝∠DAG＝30°，所以∠HAE＝60°，∠HBA＝∠D＝45°，所以△AHE是等边三角形，△HBE是等腰直角三角形.

设IE＝1，则BI＝IH＝1，AE＝HE＝2，

点评：本题通过旋转将两个30°拼成60°，将两个45°拼成90°，把条件集中到等边三角形和等腰直角三角形中，使问题得以解决.