周期到达队列的高负荷极限

张鲜娜

摘 要 在周期到达的Gt/GI/s队列中，研究常规的顾客人数的高负荷极限。我们假设到达计数过程由累积随机过程构成，累积随机过程满足泛函中心极限定理和确定性累计率函数是周期函数的积分。对于确定到达率函数的三个不同刻画，研究三个不同的高负荷极限。

关键词 高负荷极限 周期到达率队列 周期队列的高负荷极限

中图分类号：O226 文献标识码：A

1研究的背景和目标

关于队列的高负荷极限问题，国内外学者做过了大量的研究。本文主要研究到达过程具有周期到达率的Gt/GI/s队列在高负荷条件下的泛函弱大数定律和泛函中心极限定理。

2到达过程模型

设周期随机到达计数过程为：A（t）≡N（∧（t）），t≥0，其中N为满足泛函中心极限定理的随机计数过程。在D空间中，当时n→∞，，其中，表示在D空间中[0，∞）上左极限存在的右连续实函数依分布收敛，Ba是一个标准（转移率为0，方差为1）布朗运动。A是累积到达率函数，并满足∧（t）≡ （s）ds，t≥0其中 为周期到达率函数，故 ≡t-1∧（t）。

3 Gt/GI/s模型常规的高负荷极限

设服务强度为 （ <1），令 = ，对每一个 ，有 =1。令A （t）≡N（∧ （t）），t≥0，Q ≡{Q （t）：t≥0}（Q （t）为在t时刻，系统 中的顾客数）。

下面我们定义累积到达率函数：

（t）≡（1- ）[∧ （1- ）-2t]-（1- ）-2 ∧f（t），t≥0，对每一个 （0< <1），假设在D空间中当 ↑1时，（t）→∧d（t），其中∧f和∧d分别为累积到达函数， f=1， d=0。

A （t）≡（1 ）2A （（1- ）-2t）和Q （t）≡（1- ）-2Q （（1- ）-2t），t≥0

定理3.1（泛函弱大数定律）除以上条件外，在空间中，当 ↑1时，有Q （0） q（0），其中q（0）是非负实数，则在D空间中，当 ↑1时，有A ∧f且Q （q（0）+∧f e）。

证明：在D空间中，有（1- ）-2N（（1- ）-2t） t；由上述定义的累计到达率函数可得：在D空间中，有（1- ）-2∧ （（1- ）-2t） ∧f（t）。利用A （t）≡N（∧ （t）），t≥0及连续映射定理可知：在D空间中，当 ↑1时，有A ∧f。

运用服务过程的泛函弱大数定律得到纯收入过程的泛函弱大数定律，再利用连续映射定理和单映像映射定理可得：在D空间中，当 ↑1时，有Q （q（0）+∧f e）。

定理3.2（泛函中心极限定理）除以上情况外，在R空间中，当 ↑1时，∧f（t）≡t且（t） （0），其中（0）是与到达服务过程无关的非负实随机变量且P（（0）<∞）=1，则在空间D中，当 ↑1有 caBa+∧d e， （（0）+caBa+∧d e csBs）。其中Bs是布朗运动且Bs，Ba与（0）相互独立，从而（B为布朗运动）。

证明：由于在D空间中，当 ↑1时有

=（1 ）[N（∧ （（1- ）-2t））-（1- ）-2 t]

=（1- ）[N（∧ （（1- ）-2t））-∧ （（1- ）-2t）+∧ （（1- ）-2t）

-（1- ）-2 t+（1- ）[（1- ）-2 t-（1- ）-2t]

caBa（t）+∧t（t）-t

故有 caBa+∧d-e。又在D空间中，当 ↑1时有（1- ）-2∧ （（1- ）-2t） t，应用参考文献[1]中的定理1（a）得 （（0）+caBa+∧d e csBs）。

推论3.1（非刻画到达率函数）如果∧ （t）= ∧（t），那么定理3.2中恒有∧d（t）≡0，t≥0。

证明：由周期过程知：当 ↑1时，∧ （（1- ）-2t）-（1- ）-2 t=o（1）；因此，当 ↑1时（1- ）[∧ （（1- ）-2t）-（1- ）-2 t]→0，（对t一致）；从而，定理3.2中恒有∧d（t）≡0，t≥0。

4总结

本文主要研究 ↑1且服务台数固定的周期到达队列的高负荷极限。定理3.1证明了可预测确定的可变性这一情况；引理3.1证明了不可预测随机的可变性这一情况；定理3.2证明了具有上述两种性质的可变性这一复杂情况。当可变性具有两种形式时，极限过程相对复杂，但这一刻画可以提供有用的洞察力，有助于我们理解仿真模拟。

参考文献

[1] D.L.Iglehart，W. Whitt，Multiple channel queues in heavy traffic，II： sequences，networks and batches，Adv.Appl.Probab.1970，2（2）：355-369.

[2] J.Abate，W.Whitt，Calculating transient characteristics of the Erlang loss model by numerical transform inversion，Stoch.Models.1998，14（3）：663-680.

[3] Y.Liu，W.Whitt，Many-server heavy-traffic limits for queues with time-varying parameters，Ann.Appl.Probab.2014，24（1）：378-421.

[4] W.Whitt，Stochastic-Process Limits，Springer，New York，2002.