数学归纳法教学新策略

【摘 要】从教学设计和教学过程阐述数学归纳教学的新策略，设计好问题，提出问题，借助视频和学生的实验操作，让学生自主探究、总结、理解数学归纳法的原理。

【关键词】数学归纳法 多米诺骨牌 自主探究

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2016）03B-0108-02

为了更好地总结数学归纳法的应用情况，笔者就2015年秋季学期上的一节有关应用数学归纳法的授课新策略进行阐述，以便得到同行的指正。本节课的授课对象是本校普通班的学生，学生的数学基础一般，推理能力及运算能力比较弱。针对这种情况，笔者从教学设计和教学过程两方面进行新设计。

一、数学归纳法教学的新设计

在使用大纲版教材时，教学重点是让学生能用数学归纳法的格式：“两个步骤一个结论”证明与正整数有关的命题。至于什么是数学归纳法，学生不太理解。为了突破重难点，教师主要是通过“忽略了两个步骤之一”的错题练习让学生在解题和纠错过程中加深理解格式的套用方法。这最终会出现的结果是：能力较弱的学生在证明过程中通常会出现“忽视奠基步骤的作用”或“没有利用归纳假设”等问题。在借鉴大量的资料基础上，笔者决定将数学归纳法的教学设计为解决以下四个问题：（1）为什么要使用数学归纳法？（2）什么是数学归纳法？（3）什么时候使用数学归纳法？（4）怎样正确使用数学归纳法？这样的设计不仅加深学生对数学归纳法原理的理解，而且能更好地突破重难点，较好地完成了课程目标。

二、数学归纳法的教学新过程

上课时，先由引例开始。

在此基础上提出：如果我们进一步把所有的项都求出来验证满足通项公式an 也可以，但是不具备操作性。能不能找到一种用有限的步骤却能逐一验证的方法？即我们能否构造一种方法，借助“递推关系”，用有限个步骤的推理，就能对所有的进行检验，证明 n 取所有正整数都成立。

在寻找解决问题的方法中我们往往可以从实践经验中得到启发。比如上面的问题在现实生活中可以找到影子，如多米诺骨牌游戏。由此笔者介绍多米诺骨牌，让学生观看多米诺骨牌的视频。提出问题：使得所有的骨牌都倒下，必须满足什么条件？

请同学们小组交流讨论。此时发现有一个小组中的两个同学正在用7本字典摆多米诺骨牌阵，笔者趁机请他们到讲台来展示。这是笔者没有课前预设的。当时笔者课前预设的是让学生再观看Flash动画：几片骨牌，第一块的倒下导致第二块的倒下，第二块的倒下导致第三块的倒下，直到全部的骨牌倒下。当时笔者给学生交流讨论的时间比较充足，让他们积极主动地参与到学习中来，也因此才有这个“闪光点”，有了很好的课堂生成。当时笔者心里非常高兴，决定不用课前的预设了，好好利用这一生成，让学生自主探索，使课堂更活跃。

在学生回答第一个问题后，笔者继续提出：你认为怎么做会使多米诺骨牌阵不完全倒下？这是一个好的问题。它不是提问“是或不是”“对或不对”，而是让学生自主去探索思考，培养学生的思维能力和解决问题能力。通过两个学生将条件补充完整后，又让刚才的两个学生动手操作：（1）拿走中间的一块并推倒；（2）拿走第一块骨牌后推倒。通过视频与实验操作，学生总结出：使得所有的骨牌都倒下必须满足两个条件：（1）第一块先倒下；（2）前一块倒下能压到后一块并导致后一块倒下。笔者再乘胜追击：只是某两块吗？此时学生补充：相邻的两块。此时补充（1）（2）两个条件的作用，条件（1）起到了归纳奠基作用，条件（2）是给出一个递推关系：第 k 块倒下一定导致第 k+1 块倒下。并将游戏“理想化”，由有限转换成无限。通过这个环节不仅使学生理解了多米诺骨牌游戏的原理，而且也助于学生理解数学归纳法两个步骤“归纳奠基”“归纳递推”的作用，为他们能更好地理解数学归纳法原理打下了坚实的基础。

让学生思考教科书第93页的“思考”，将多米诺骨牌游戏与求数列的通项公式类比。通过引导，学生容易类比得出猜想成立的两个条件：（1）n=1时猜想成立；（2）如果 n=k 时猜想成立，那么 n=k+1 时猜想也成立，而且必须得利用 n=k 这一假设（因为是前一块倒下导致后一块倒下），从而给出了数学归纳法的原理。为了加强知识的内在关联，请学生用程序框图去表示这一原理，进一步加深学生对数学归纳法的理解。

本节课较好地完成了课前的预设，也有一定的生成。本节较好地提出问题，让学生自主探究，渗透类比思想方法。利用理解数学归纳法的无限思想，又把程序框图知识再复习了一遍。这不仅能说明数学之间的内容是相互关联的，而且还能使得程序框图知识螺旋上升。让学生归纳总结出数学归纳法的两个步骤缺，而且明白步骤二具有传递性，总结出本节的重难点。《学记》中说：“君子之教，喻也。道而弗牵，强而弗抑，开而弗达，道而弗牵则和，强而弗抑则易，开而弗达则思，和易以思，可谓善喻也。”这节课基本达到了这一思想。但仍然有两个主要的遗憾。上完课后笔者查阅“中学数学核心概念、思想方法结构体系及其教学设计的理论与实践”第八次课题会成果，发现陶维林先生的一个说法，从数学归纳法“n=k”到“n=k+1”过程来看，当“n=k”时，尽管 k∈N*可以任取，一旦取定总归是一个有限的数，“k+1”也是有限的数，但由于“n=k+1”有无穷尽的“+1”的过程，从而 n 走向了无限。笔者在课堂上仅仅让学生类比多米诺骨牌游戏从而归纳出数学归纳法，接着再用程序框图初步体会了无限的思想，没有能像陶维林先生这么精准地提练出来。学生对数学归纳法本质的理解还得进一步深化，还得加强无限思想的渗透。这本节课的第一个遗憾。第二个遗憾是本节课着重让学生理解数学归纳法的原理，学生也知道这两个步骤缺一不可，清楚地认识到证明“n=k+1”时必须利用假设，可是怎么用？最终要转化成怎么样的形式，笔者只是一笔带过。这使得中下水平的同学在第二步骤时，碰到了困难。笔者通过这一节课的教学对原理课的教学有了更深层次的认识，在今后的课堂中还要进一步发挥主导作用，提好问题，启发引导好学生。

【参考文献】

[1]陶维林.数学归纳法和它的教学[J].中小学数学高中版，2009（10）

[2]洪秀满.理解教材 有效“对话”——以“数学归纳法”为例[J].中国数学教育，2013（20）

【作者简介】谢玉琼（1981— ）女，壮族，中教一级教师，广西宾阳人，广西民族师范学院附属中学教师，研究方向：中学数学教学。

（责编 卢建龙）