基于主成分分析的函数型产品质量特性的优化方法研究

许　静, 何　桢, 陈喆芝, 袁　蓉

(天津大学 管理与经济学部, 天津 300072)



基于主成分分析的函数型产品质量特性的优化方法研究

许静, 何桢, 陈喆芝, 袁蓉

(天津大学 管理与经济学部, 天津 300072)

摘要：针对质量特性为轮廓(Profile)的输出响应的优化问题展开研究，提出一种基于主成分分析的双响应曲面法和满意度函数相结合的函数响应优化方法。将Profile的每个观测点看成一个独立响应，将Profile问题转化为多响应问题。求得多个观测点的均值和方差的满意度函数值，通过主成分分析法，将多个观测点的均值和方差的满意度函数值转化为主成分综合得分，并将这两者的加权和作为最终的优化指标。本文所提方法可以有效解决观测点之间存在的相关性的问题，并且优化过程同时考虑到每个观测点响应的均值和方差影响。实例证明，该方法简单易行，优化结果满意。

关键词：函数响应; 主成分分析; 双响应曲面法; 满意度函数

1函数响应优化方法的综述

1.1主成分分析法

主成分分析，就是利用降维的思想，将多个变量转化为少数几个主成分的统计分析方法。其最早是由Pearson[16]提出后经Hotelling[17]进一步发展。利用主成分分析法将P个输出响应(需提前对数据进行标准化以消除量纲的影响)转化为q(q≤p)个无关的主成分，并取特征值大于1的主成分作为优化指标。

用Yj表示第j个输出响应标准化后的数据，可以得到

(1)

用矩阵表示为

Z=A′Y。

(2)

Liao[6]曾指出此方法的两个缺陷就是:1)当特征值大于1主成分不止一个时，仍为多响应问题; 2)舍弃特征值小于1的主成分会导致部分信息的缺失。鉴于此，Liao[18]又提出了一种加权主成分分析法，将每个主成分的方差贡献率作为权重系数，将所有主成分的综合得分做为最终的多响应绩效指标。为解决上述问题，Liao提出了一种基于加权主成分分析的多响应优化方法，选取每个主成分的方差贡献率作为权重系数，以所有主成分的加权和做为最终的多响应绩效指标。主成分的方差贡献率表示为

(3)

其中，wk为第k个主成分的方差贡献率，λk为Y的协方差矩阵的第k个特征值。方差贡献率为每个主成分所解释的方差占总方差的比例，表示该主成分对总方差的影响及其相对重要程度，也反映了主成分的信息含量值，保证信息的完整性。所有主成分的加权和即多响应的绩效指标为

(4)

主成分分析法多是应用在多响应优化中，本文将主成分分析法应用到函数响应及Profile的优化中，将每个观测点所对应的观测点看成独立的响应，将Profile优化转化为多响应的优化问题，通过加权主成分分析法对多个响应赋予合理的系数，最终将多响应问题转化为单响应的优化问题，并解释原问题的全部方差，保证信息的完整性。但是此方法的最大缺点就是其优化过程只考虑了响应的均值而没有考虑响应方差的优化，缺乏稳健性。本文就是基于此将双响应曲面法与其结合，解决这一问题。

1.2满意度函数法

(5)

对于望大型响应，个体满意度函数为：

diYi()=0, YiTi。ìîíïïïïïï

(6)

对于望小型响应，个体满意度函数为：

diYi()=1, YiUi。ìîíïïïïïï

(7)

1.3双响应曲面法

双响应曲面法最早由Myers 和Carter[20]提出，弥补波动较大时单响应模型失效情况。随后Vining和Myers[21]对此法进一步改进并扩大到了多响应优化中。双响应曲面法通过同时优化响应的均值和标准差，在保证响应均值尽量接近目标值前提下，使响应的波动尽量最小。假定共有k个可控变量，分别为x1,x2,…xk，则

(8)

(9)

其中，μ为响应均值，σ为响应标准差，β和γ是模型系数，ε为随机误差。关于双响应曲面优化方法主要有以下几种。

1) Vining和Myers[22]为代表的约束优化法。约束优化就是以均值作为约束条件，标准差为目标函数，通过最小化标准差以达到优化的目的，以望目型为例，假设响应目标值为T，其约束优化问题如下表示：

minσ,

s.tμ=T。

(10)

2) 均方误差法。

此法由Lin和Tu[23]提出，其形式为

(11)

以均值的偏差来换取方差的极大程度减小。权重λ可根据实际情况选取。最小化WMSE所得到一组可控变量组合即为该问题的最优解。

3)拉格朗日乘子法。

此法是由Mayer提出的。他将两个响应进行主次区分。双响应优化就将两个响应做主次区分并将次响应作为约束条件，对主响应进行最大或最小处理[24]。具体形式为

L=b0+bX′+X′BX+λ(c0+X′C+X′CX-T),

(12)

双响应曲面法是单响应优化最常用的方法，后来Quesada[25]将双响应曲面方法扩展至多响应问题的优化。其算法如下：

(13)

2本文的方法

本文所提方法具体步骤如下。

(14)

(15)

其中，μq和σq表示第q个观测点所对应的响应值的均值和标准差，βij与γij是模型系数，εij为随机误差。

3)利用式(1)对均值和满意度值进行主成分分析。

均值第m个主成分值为

(16)

方差的第m个主成分值为

(17)

4)计算各响应系数和方差满意函数值的主成分综合得分为：

(18)

(19)

其中权重ω即为主成分的方差贡献率。

5)利用加权均方误差函数，计算最终的函数响应绩效指标OPI：

OPI=λ1WPCμ+λ2WPCs,λ1+λ2=1,λ1,λ2∈[0,1]。

(20)

其中，权重λi可根据位置满意度值和散度满意度值的相对重要程度，或历史经验及实验者的偏好而定。在本文中，主成分得分越小越好，故OPI越小代表质量水平越高，即优化以OPI望小为目标。

3应用实例

3.1数据分析

本例数据来自Gohel和Amin[28]对双氯芬酸钠缓释片的缓释率进行的试验研究。双氯芬酸钠缓释片是非甾体抗炎药的主要成分。双氯芬酸钠缓释片的制备可以通过使用不同的包封剂和制备技术来改变药品缓释速率。响应Y表示双氯芬酸钠缓释片的释放比例，其在三个不同的时间点1h，6h，8h上观测值分别为Y(1)，Y(2)，Y(3)，其溶解度的允许范围及其目标值如表1所示，Y(1)，Y(2)，Y(3)是望目特性。

本实验包括3个可控因子如表2所示。采用中心复合试验(CCD)，详细数据参考文献[15]。试验的目的就是研究搅拌速度(x1)，氯化钙包封剂浓度(x2)，分散介质中液体石蜡的所占百分比(x3)在给定的药品靶释值(如表1所示)前提下，对缓释药品的影响，确定双氯芬酸钠缓释片的最优因子设置。

表1　响应规格域

表2　可控因子表

根据式(14)～(15)拟合得到每个时间点上的响应均值和标准差的最佳回归方程为：

根据式(5)～(6)利用JMP软件得到各个观测。

点响应的均值和标准差的满意度值如表3所示。

利用JMP软件，对3个观测点响应值的均值满意度值进行主成分分析，得到结果如表4所示。

根据式(16)得到相应的主成分函数为：

根据式(17)得到各响应位置特性值的加权主成分为：

表3　均值和标准差的满意度值

表4　均值满意度值的主成分分析表

根据式子利用JMP软件，得到标准差的渴求函数值与可控变量的拟合回归方程为：

进而得到：

同上，对3个观测点响应的标准差满意度值进行主成分分析，可得到如表5结果。

表5　标准差满意度值的主成分分析表

根据式(18)同上求出相应方差渴求函数值的主成分函数为：

根据式(19)得到各响应标准差特征值的主成分综合得分为：

利用JMP软件，得到方差的渴求函数值与可控变量的拟合回归方程为：

进而得到：

根据式(20)最终的绩效指标OPI：

令λ1=0.2,λ2=0.8，得

3.2结果讨论

优化结果如表6所示。本文提出的优化方法，同时考虑均值和标准差，并根据λ取值的不同，决定方差和标准差的重要性。而Goethals的方法用重叠等直线图来确定最优因子水平的设置，这种方法只考虑到响应的均值，没有考虑响应的方差。而Goethals的方法同时考虑响应的均值和标准差，与本文的方法初衷相同，其结果与本文结果具有横向比较的价值。本文令λ1=0.2,λ2=0.8，得到的结果可以使得响应的均方差更小，结果更优。本文利用主成分分析法将原响应转换成一系列不相关的部分，因而减少了函数响应问题中设计参数优化冲突的问题。

表6　优化结果比较

4结论

本文目的在于如何利用试验设计的方法对函数响应进行优化。这种优化方法思路就是将profile每个观测点看成一个独立的响应，将profile问题转化为多响应问题。基于此优化思路本文提出了一种基于双曲面方法的主成分分析和渴求函数相结合的profile优化方法。首先通过主成分分析法对函数响应问题进行降维，考虑观测点之间的相关性。然后通过将双响应曲面模型和满意度函数进行结合，将具有函数响应性质问题转化为多响应问题，并整合成单一指标来决定最佳因子水平组合。实例分析的结果显示，本文提出的方法切实可行有效，可操作性强，简单实用。此方法的不足之处在于，最后的评价指标中关于权重系数λi没有给出有效的确定方法。对于profile，我们是选取了其中个别具有代表性的点作为研究对象，这种方法不能很好地描述函数响应的关系，具有一定的局限性。

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A Study of Optimizing Functional Response Problems Based on Principal Component Analysis

XU Jing HE Zhen CHEN Zhezhi YUAN Rong

(College of Management and Economics, Tianjin University, Tianjin 300072, China)

Abstract：A method is presented to optimize the profile based on functional response optimization method combining the dual response surface method with the satisfaction function based on principal component analysis. The response value of each observation point is treated as an independent response. The Profile has been as multi-response optimization problem of nominal-the-best type. First, desirability function is used to measure the mean and variance for each observed point. Finally, the principal component analysis (PCA) is adopted to derive the overall performance index (OPI) for multiple response which is the weighted sum of principal values of both the desirability values of mean and variance for each observed point. A methodology is utilized for optimizing the problem of correlated observed points while involving the simultaneous optimization of the process mean and variance. Examples show that the method is simple, with satisfactory optimization results.

Key words：functional response; principal component analysis; dual response surface method; desirability function approach

中图分类号：F406.3

文献标志码：A

文章编号：1007-7375(2016)01- 0074- 07

doi:10.3969/j.issn.1007- 7375.2016.01.011

作者简介：许静(1982-)，女，河南省人，博士研究生，主要研究方向为企业管理、质量管理.

基金项目：国家自然科学基金杰出青年基金资助项目(71225006)

收稿日期：2014- 09- 18