系列移动荷载下周期性弹性支撑连续梁的共振及消振效应

陆建飞，吴嘉彬，沙　萱(江苏大学土木工程与力学学院，江苏镇江　212013)



系列移动荷载下周期性弹性支撑连续梁的共振及消振效应

陆建飞，吴嘉彬，沙萱
(江苏大学土木工程与力学学院，江苏镇江212013)

摘要:基于Fourier变换、系列Fourier变换及传递矩阵方法，研究了移动荷载列作用下周期性弹性支撑连续梁的共振及消振效应。通过Fourier变换和系列Fourier变换，把单个移动载荷所引起的动力响应表示为响应函数沿代表跨的积分。利用梁和弹性支撑处的传递矩阵，建立了周期性弹性支撑连续梁的响应函数和特征方程。根据叠加原理并利用单个移动载荷的解，得出了等间距移动载荷列作用下周期性弹性支撑连续梁的动力响应表达式。根据单个移动载荷引起梁的频域响应，建立了周期性弹性支撑连续梁在等间距移动载荷列作用下的共振和消振条件。计算结果表明:当移动载荷列的速度及间距符合共振条件时，将会发生共振效应;当符合消振条件时，将会发生消振效应。

关键词:周期性弹性支撑连续梁;等间距系列移动载荷;Fourier变换;传递矩阵;共振;消振

列车荷载所引起的振动对桥梁结构的耐久性及乘客的舒适度与安全均有较大影响。由于移动载荷列常被用来模拟列车载荷，因此在移动荷载列作用下，桥梁的共振和消振现象引起了学术界的广泛重视。Yang等［1-2］将列车考虑为一系列移动载荷，利用模态叠加法，把移动荷载列引起单跨弹性支承梁和简支梁的变形进行叠加，得到了系列移动荷载所引起的共振与消振响应发生时相关影响因素间的关系式。李慧乐等［3-4］采用振型分解法求解简支梁的运动方程，得到了移动荷载作用下简支梁振动响应的解，通过对振动响应解的表达式进行分析，得到了移动荷载列作用下单跨简支梁发生共振与消振效应的条件。王英杰等［5］应用模态叠加法计算简支梁的变形，求解了弹性车体过桥时的车桥动力响应。研究表明，当弹性车体满足共振条件时，其动力响应被显著放大;当弹性车体发生消振效应时，其动力响应被显著抑制。

目前，桥梁在移动载荷列作用下的共振和消振现象研究仅限于单跨简支梁桥［1-4］，而对高架铁路在移动载荷列作用下的共振和消振现象则缺少研究。由于高架铁路可有效解决软土地基的沉降及冻土地基的冻胀和融陷问题，因此已经建成的青藏铁路、京沪高铁及沪宁城际铁路等均广泛采用高架铁路形式。为施工和维修便利，在常规路段通常把高架铁路的各跨设计成相同结构，因此高架铁路在常规路段可近似成周期性结构。鉴于此，本文将在常规路段的高架铁路简化为周期性弹性支撑梁(图1)。

已有学者对周期性弹性支撑连续梁的动力特性进行了深入研究。Mead［6-8］对周期性梁的自振特性进行了系统的研究，发现在周期性梁中传播的特征波存在通带和禁带，即波在一定频率范围内能沿周期性梁传播，而在另一些频率范围内则为凋零波，因而不能传播。将黏弹性半空间土体上的轨道看成周期性连续梁，Vostroukhov等［9］、Metrikine等［10］通过理论推导和数值计算，比较了列车不同荷载间距对梁产生的动力响应，其研究表明速度不变时改变列车轴距可以减小周期性连续梁的弹性阻力。

对于周期性弹性支撑连续梁，由于其特征波的波数-频率关系由其弥散曲线确定，不存在通常的离散固有频率，因此研究其共振和消振效应不能采用单跨简支梁桥的固有频率分析方法［1-4］。笔者基于Fourier变换、系列Fourier变换和传递矩阵方法，对移动载荷列作用下周期性弹性支撑连续梁的共振及消振效应进行研究，并通过算例进行分析计算。

1单个移动荷载作用下周期性弹性支撑连续梁的动力响应

1.1动力响应表达式

图1为周期性弹性支撑连续梁受等间距移动荷载列作用的示意图，荷载的个数、间距、速度分别为M、d、v。设周期性弹性支撑连续梁每跨的跨长为L，每跨包含一个支撑弹簧，支撑弹簧可承受竖向力和弯矩。为了分析梁在上述等间距移动载荷列作用下的共振及消振效应，首先必须分析其在单个移动载荷作用下的动力响应。

图1　系列移动载荷下周期性弹性支撑连续梁示意图Fig．1Sketch of periodically elastically supported continuous beam under a series ofmoving loads

由于分析周期性弹性支撑连续梁对移动载荷的动力响应涉及系列Fourier变换，因此引入如下系列Fourier变换［11］:

式中:f(nL)——定义在周期为L的一维点列上的离散空间函数;n——任意整数;κ——与系列Fourier变换相关的波数。

对连续的空间和时间函数，定义如下Fourier变换［11］:

式中:ω——角频率;k——和Fourier变换相关的波数;x——坐标;t——时间。

设单个载荷从x轴的－∞到+∞以速度v匀速运动，且在零时刻荷载位于坐标原点，则荷载的位置与时间的关系为

式中:ξ——荷载位置坐标;τ——任意时刻。

根据式(3)，作用于周期性弹性支撑连续梁上的点载荷可表示为

式中:δ——Dirac函数;g(τ)——点载荷幅值随时间的变化。

在上述单个移动载荷作用下，可通过Duhamel积分［12-14］表示周期性弹性支撑连续梁的动力响应:

式中:χ(x，t)——周期性弹性支撑连续梁截面x处的动力响应，包括截面的位移和相应的内力;h(x，ξ，tτ)——周期性梁的脉冲响应函数。

利用弹性支撑连续梁的周期性，根据系列Fourier变换，可得梁的频域动力响应表达式［12-14］:

其中

式(6)表明，周期性弹性支撑连续梁对单个移动载荷的频域动力响应可表示为响应函数与权函数e－i(ω/v)ξ(e)的乘积沿代表性跨的积分。对其频域内的动力响应进行Fourier逆变换，可得其时域内的动力响应［12-13］:

1.2单跨梁的传递矩阵及特征方程

如图1所示，第n跨中的弹性支撑梁发生弯曲振动时，其频域内的运动方程为［15］

式中 ——频域内梁的弹性模量;Ib——梁横截面惯性矩;——梁截面的竖向位移;ρb——梁的密度;Ab——梁横截面面积。

由于利用标准的固体模型来描述梁体材料的阻尼，因此E

式中:Eb1、Eb2——梁黏弹性模型的弹性参数;ηb——梁的黏性参数。

第n跨梁的内力与位移关系为

利用式(8)和式(10)，可求得梁的传递矩阵Tb［17］。

对发生弯曲振动的梁，在梁截面x(e)处的频域状态向量可定义为

设周期性弹性支撑连续梁支承处弹簧的垂直和弯曲刚度分别为k(v)和k(w)，因此在第n跨支承弹簧处有如下的连续性条件:

式中:0－——弹簧支撑处的左梁截面;0+——弹簧支撑处的右梁截面。

基于式(12)，并考虑到弹簧支承处梁横向位移和转角的连续性，可得

式中:TJ——弹簧支承处的传递矩阵;I4×4——四阶单位矩阵。

对于第n跨梁左、右端截面的状态向量，根据TJ、Tb，可得［12］

根据Bloch定理［18-19］，可得周期性弹性支撑连续梁的特征方程为

式中:κ——特征波波数，其实部表示特征波的相位变化，虚部则表示特征波的衰减。

求解式(15)可得周期性弹性支撑连续梁的特征波波数。当某一频率范围内的虚部较小时，则该频率带称为通带，相应虚部较大的频率带则称为禁带，通带和禁带统称为能带。

1.3响应函数的求解

周期性弹性支撑连续梁对移动载荷响应的确定依赖于其响应函数。根据Lu等［12］的研究，当影响点的作用位置位于支撑弹簧左侧、右侧时，响应函数所对应的0跨左端截面的状态向量分别由式(16)、式(17)确定。

式中:Rf={0，0，－1，0}T——与单位载荷相应的状态向量跳跃。

2等间距移动荷载列作用下周期性弹性支撑连续梁的动力响应

基于单个移动载荷作用下响应函数的解，可得到等间距移动荷载列作用下周期性弹性支撑连续梁的动力响应。设第i个载荷所引起的第n跨x(e)截面的响应为χ(i)(nL，x(e)，t)，(i=1，2，…，M)，则在时域内移动载荷列所引起的周期性弹性支撑连续梁的动力响应为

式中:χ(nL，x(e)，t)——周期性弹性支撑连续梁对M个移动载荷的动力响应。

对式(18)进行Fourier变换［11］，可得

式(19)表明，当移动载荷列的速度及间距满足d/v=2πj/ω(j为任意整数)时，M个载荷所引起的周期性弹性支撑连续梁的动力响应为

当移动载荷列的速度及间距满足d/v=2πj/ω+π/ω时，含偶数及奇数个载荷的移动载荷列所引起的周期性弹性支撑连续梁的动力响应为

式中:Mod(*)——求余函数。

式(20)表明，当移动载荷的速度及间距满足d/v=2πj/ω时，周期性弹性支撑连续梁会出现共振现象，当移动载荷的速度及间距满足d/v=2πj/ω+π/ω时，周期性弹性支撑连续梁会出现消振现象。值得指出的是，对于多数频率，由于的幅值不是很大，因此式(20)所预测的共振现象并不明显;但对单个移动载荷的共振频率，由于的幅值较大，因此公式(20)所预测的共振现象较为明显。Lu等［12］的研究表明，对慢速移动载荷，共振峰值个数较多，移动载荷能量谱分布较宽，因此共振效应不太明显;但对高速移动载荷，其共振峰值个数较少，能量谱相对集中，因此容易产生较明显的共振和消振现象。

3数值算例及分析

计算中，一跨梁的长度L=24m、梁截面宽度wb=3.0m、梁的高度hb=1.0m，梁的泊松比为0.2、ρb=2.7× 103kg/m3、k(v)=6.0×108N/m、k(w)=6.0×108N·m/rad、E1b=2.0×1010Pa、E2b=4.0×1010Pa、ηb=3.0×107N·s/m2，设定高速系列荷载的速度为100m/s，移动载荷的个数M=10。为了计算频域内单个移动载荷产生的动力响应，需对式(6)中的积分进行计算，算例中将跨梁等分为140段，每段采用梯形积分公式进行计算。在快速傅里叶变换计算中，选定第100跨为观察跨，选取计算频率范围为0～30Hz，并且在频域内取9000个样点。

图2给出了由式(15)所确定的周期性弹性支撑连续梁的能带。由图2可知，周期性弹性支撑连续梁中存在2种特征波，第1种特征波的虚部较大，因此该特征波为高衰减波，不能够沿周期性弹性支撑连续梁传播很远的距离，第2种特征波存在着较大的通带频率范围。

为了分析周期性弹性支撑连续梁在移动荷载列作用下所产生的共振与消振效应，必须首先确定单个移动载荷作用时所对应的共振频率。图3是周期性弹性支撑连续梁在单个移动载荷作用下观察跨左端截面的剪力响应图。由图3(a)可知，周期性弹性支撑连续梁在计算频率范围内存在2个较明显的共振峰，即2.35Hz和7.85Hz。观察图2(b)，可以发现共振频率2.35Hz及7.85Hz均位于第2种特征波通带的边界处，与文献［6，8，12-13］中所得结论一致。

图2　周期性弹性支撑连续梁的能带Fig．2Energy bands of periodically elastically supported continuous beam

选取2.35Hz作为周期性弹性支撑连续梁发生共振与消振效应时的振动频率。根据条件d/v=2πj/ω，当相邻载荷间距d=42.55m(j=1)时，周期性弹性支撑连续梁中将产生共振现象，图4给出了此情形下的剪力;根据d/v=2πj/ω+π/ω，当相邻载荷间距d=21.28m(j=0)时，周期性弹性支撑连续梁将产生消振现象，相应剪力如图5所示。

比较图4和图3发现，在2.35Hz处，图4(a)的峰值是图3(a)的10倍，图4(b)中时域响应的幅值是图3(a)单个移动载荷时的6倍左右，说明发生了共振。观察图3和图5，可以发现图5(a)中，2.35Hz处无峰值，符合消振条件的预测结果。图3(b)和图5(b)中剪力的幅值相当，但图5(b)的阴影面积较图3(b)小，峰值减小到0的时间比图3(b)短，说明响应的衰减速度比单个移动载荷的要快，因此，发生了消振。

图3　单个移动荷载产生的动态响应Fig．3Dynam ic response produced by singlemoving loads

图4　周期性弹性支撑连续梁的共振动态响应Fig．4Dynam ic response to resonance of periodically elastically supported continuous beam

图5　周期性弹性支撑连续梁的消振动态响应Fig．5Dynam ic response to resonance cancellation of periodically elastically supported continuous beam

4结　论

a．与单跨简支梁类似，周期性弹性支撑连续梁在移动载荷列作用下也存在共振和消振现象。由于周期性弹性支撑连续梁不存在通常的离散固有频率，因此研究其在移动载荷列作用下的共振和消振特性，必须首先对单个移动载荷作用下周期性弹性支撑连续梁的响应特性进行研究。

b．对慢速移动载荷，其引起的频域动态响应共振峰值个数较多，移动载荷能量谱分布较宽，因此共振效应不太明显;对高速移动载荷，其引起的频域动态响应共振峰值个数较少，能量谱相对集中，因此较容易产生共振和消振现象。

c．当系列移动荷载的间距和速度满足共振条件时，周期性弹性支撑连续梁会产生共振现象，其共振响应峰值明显大于单个移动载荷产生动态响应的峰值;当系列移动荷载的间距和速度满足消振条件时，周期性弹性支撑连续梁会产生消振现象，此时，响应峰值和单个移动载荷所引起的动态响应的峰值接近。

d．本文的研究对超长铁路桥梁和高架铁路的设计及列车设计及列车速度设定具有一定的指导意义。

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·简讯·

2016中国水生态文明城市建设高峰论坛将在广州市举行

如何更好地解决城市发展过程中河湖的安全、经济、生态、景观等功能平衡，契合国家可持续发展战略和水生态文明建设成为现代水利工程发展的新机遇。由珠江水利委员会珠江水利科学研究院、北京大学建筑与景观设计学院、中国水利学会水生态专业委员会等主办的2016中国水生态文明城市建设高峰论坛将于2016年5月11—14日在广东省广州市举行。

会议旨在为国内外相关领域的研究工作人员提供一个学术交流平台。在总结历届成果经验基础上，倡导产、学、研结合，加快我国河道治理与生态修复技术、解决河湖黑臭问题以及水生态文明建设的发展步伐，从而推动城市在景观河湖/小流域方面的高效治理与可持续发展。会议重点邀请政府相关管理部门、专业规划科研院所介绍在景观河湖及小流域治理、解决河湖黑臭问题、海绵城市建设方面的管理办法和整体规划方案，聚集规划、设计、设备提供以及投资方面的行业专家、学者、企业代表、媒体人士共同探讨分析城市在景观河湖/小流域治理与修复方面几个重点环节中存在的问题、面临的挑战以及有效的解决方案等，并且就治理和修复的技术方向和路线进行梳理与广泛交流。

(本刊编辑部供稿)

Resonance and cancellation effects of periodically elastically supported continuous beam under a series ofmoving loads

LU Jianfei，WU Jiabin，SHA Xuan
(Faculty of Civil Engineering and Mechanics，Jiangsu University，Zhenjiang 212013，China)

Abstract:Based on the Fourier and Fourier sequence transforms，and the transfermatrixmethod，the resonance of a periodically elastically supported continuous beam produced by a series ofmoving loads and its cancellation effects were investigated．By using the Fourier and Fourier sequence transforms，the dynamic response produced by single moving loadswas represented by the integral of the response function over the representative span．The response function and eigenvalue equation of the periodically elastically supported continuous beam were obtained using the transfermatrices between the beam and its elastic supporting points．According to the superposition principle and the expression of the dynamic response of the beam under singlemoving loads，the dynamic response of the beam under a series of equidistantmoving loadswas obtained．Using the frequency domain dynamic response of the beam under single moving loads，the resonance and cancellation conditions of the periodically elastically supported continuous beam subject to a series of equidistantmoving loadswere established．Numerical results show that，when the loading velocity and distance satisfy the resonance condition，resonance will occur;when the condition for resonance cancellation is fulfilled，the effect of resonance cancellation will occur．

Key words:periodically elastically supported continuous beam;series of equidistant moving load;Fourier transform;transfermatrix;resonance;resonance cancellation

作者简介:陆建飞(1967—)，男，江苏南通人，教授，博士，主要从事土木工程理论研究。E-mail:ljfdoctor@yahoo．com

基金项目:国家自然科学基金(11272137)

收稿日期:2015-03-02

DOI:10．3876/j．issn．1000-1980．2016．02．008

中图分类号:TU3 11.3

文献标志码:A

文章编号:10 00-19 80(20 16)02-014 1-08