横向比较纵向联系

朱军

[摘 要]“用字母表示数”是代数学的发端，是学生在小学阶段第一次正式接触代数学领域的知识。在教学前，教师不仅要深入挖掘教材内容，引导学生将所学知识横向比较、纵向联系，而且要为学生的后续学习做铺垫、渗透，使学生真正理解所学知识。

[关键词]字母 备课 思考 符号意识 数量关系 问题情境 比较 建议

[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2016）14-014

前不久，我再一次执教“用字母表示数”一课，与之前的教学相比，这次教学设计做了较大的改动，教学侧重点也有所变化。回想这几次不同的教学，我脑中突然出现了疑问：“究竟哪次教学才是真正为学生的学习而教？”带着这个疑问，我进行了以下思考：“‘用字母表示数是学生在小学阶段第一次正式接触代数学领域的知识，对学生来说，从具体的确定的数过渡到用字母表示数，从用生活语言到用符号语言描述关系，这是认知上的一次突破，学生理解起来有一定的难度。怎样使学生更好地理解这部分知识，以便进一步学习后续知识，就显得格外重要。”那么，作为教师，我们该怎样组织教学素材和落实教学目标呢？下面，我从以下几个方面来谈谈对本节课教学的思考。

一、不同版本教材的比较

苏教版教材在“用字母表示数”一课中安排了三道例题：例1，通过用小棒摆三角形的个数逐次增加的问题，思考用一个式子来表示三角形个数与所用小棒根数之间的关系，理解字母可以表示哪些数；例2，出示汽车在一段路上行驶的问题，由于汽车所走的路程是个未知数，思考含有字母的式子表示行驶一段路程后剩下的千米数，同时结合问题情境思考该字母可以表示哪些数，初步学会代入数值求解；例3，沟通新旧知识之间的联系，引导学生理解用字母还可以表示特定的对象和计算公式，并在此基础上学习含有字母的乘法算式的简写。大家都知道用字母可以表示任何形式的数（包括自然数、小数和分数），而当我研读苏教版教材后发现，教材中所选择的教学素材只涵盖了用字母可以表示自然数、小数的知识，为什么没有包含分数？难道是教材编者的疏忽？为此，我又翻阅了人教版、北师大版教材中关于“用字母表示数”的教学内容。虽然人教版和北师大版教材中所选择的教学素材各不相同，但是同样的问题却出现在两套教材中。而且，人教版、北师大版和苏教版教材从例题到练习，没有编排字母可以表示分数的情境或实例。

为什么人教版、北师大版和苏教版这三套教材中都没有谈及用字母可以表示分数的内容呢？教材读到这里，我豁然开朗，明白教材之所以这样安排应该有以下几个原因：第一，学生在前四年的数学学习中主要认识自然数和小数，对于分数的学习主要集中在五、六年级，五年级上学期的学生对于分数的认识尚不深刻，此时若在“用字母表示数”中提及用字母可以表示分数，学生未必能理解；第二，生活中很少有用分数计算的实际问题，大多都是用小数代替的；第三，从数学的角度出发，很难找到一个可以承载用字母表示数，又恰恰用分数计算的情境。为此，这三套教材对于用字母可以表示分数这一知识没有涉及。对于用字母可以表示分数的知识，学生在学习整数运算律对于分数四则运算的推广运用这一内容后，自然能够理解。

二、研读初中教材的思考

众所周知，“用字母表示数”在小学阶段只是初步学习，教材编排此内容的主要目的是为了方便学生以后学习初中的代数知识。那么，在初中数学教材中，学生将会学习哪些知识？学生在小学阶段对“用字母表示数”这部分内容要达到怎样的认识，才能对初中学习产生持续的影响？为此，我以人教版教材为主，研读初中数学教材中的这部分内容。在初中数学教材的相关章节中，有对小学“用字母表示数”这部分内容的简单复习，但教材更多的是对式的学习，需要学生学会用单项式（含有字母的式子）表示结果（数）。因此，如果学生对于用字母表示数的知识仅仅停留在用字母可以表示数和数量关系的认知上是远远不够的，甚至随着时间的推移，这种认识势必对学生的后续学习造成一定的干扰。

三、问卷调查情况

那么，这节课的教学该从哪出发，最终落脚点在哪呢？教学中，学生对于用字母表示数的认识需要达到什么水平？为了解学生对“用字母表示数”这一内容的认知情况，我把相同的问卷（共有两题）分别给五年级和六年级的学生作答。如下：

①你认为字母a能表示下面哪种含义（略）？

②你认为a+3这个式子能表示下面哪种含义（略）？

（下面三组统计图为不同班级学生对这两道题的回答，每组中左边图是第①小题的统计结果，右边图是第②小题的统计结果）

被调查学生的情况：五（2）班学生共68人，第一学期该班尚未学习“用字母表示数”这部分内容；五（1）班学生共52人，第一学期该班在一个月前有教师上过公开课，刚好讲的是“用字母表示数”这一单元的第一课时，截止到调查时，该单元的后续内容仍然没学；六年级学生共103人，第一学期截止到调查时，学习“用字母表示数”这部分内容有近一年时间。

从上述数据来看，学生在未学习“用字母表示数”这部分内容之前，对该知识是不太了解的，甚至他们的理解是有问题的。以上图中的五（2）班学生为例，对于a的含义，有52.94%的学生认为它只可以表示特定的对象（如长方形的长等），这部分学生有此认识可能是受教材的编排内容影响所致。在进行问卷调查时，该班学生刚好学习“多边形的面积”这一单元，可想而知，在前摄抑制影响下，有这么高比例的学生形成错误认识也就不足为奇了。对于a+3的含义，也有近一半的学生认为它仅仅是一个加法算式而已，还有13.24%的学生对这个含有字母的式子的含义产生理解上的困难。这是尚未学习的情况，那么学习过的学生的情况又会怎样呢？

接着，我又对五（1）班的学生进行调查。从数据来看，学生对用字母表示数的认识并没有很大的改善，我想大概有以下两个原因：一是因为学生只学习了一节课，对于该知识的理解还有待后续的学习加以强化；二是学生学这部分知识已有月余，且这段时间大多都在学习“多边形的面积”的相关知识，没有得到明显改善也是可以理解的。学习“用字母表示数”这部分内容后，学生对该知识的理解究竟会怎么样呢？带着这个疑问，我再次对我校六年级的学生进行问卷调查。从调查的数据来看，学生对这部分知识的理解较之刚学习时确实有了很大的改善，可仍然暴露出两个问题：一是学生对用字母表示数这一数学思想较之以前用具体的数表示仍有认知上的障碍；二是六年级学生通过方程等相关内容的学习后，对用字母表示数的含义的理解确实得到了进一步的强化，但由于学生经常用方程解决实际问题，导致他们更多的以为字母a表示一个未知数、a+3表示一种数量关系。学生有此认识，应该是学习方程和列方程解决实际问题这一部分知识的“后遗症”。另外，学生对于a+3这个式子也可以表示一个数或运算结果的认识较之五年级刚学的时候，并没有随着学习时间的推移而得到强化。

四、关于“用字母表示数”一课的教学建议

1.抓住“用字母表示数”这个根，培养符号意识

不论是用字母表示数，还是用字母表示数量关系，都是建立在学生能理解并主动运用字母表示数的基础之上。为此，在本课教学中，教师应该抓住“用字母表示数”这个根，只有将这个根扎得越深，学生将来或后面的学习才有可能枝繁叶茂。此外，用字母还可以表示任意数和未知数，这些都是学生在以往学习中没有探究过的。要让学生理解这些知识不难，但要让学生由被动接受转为主动的选择，就需要借助合理的情境，寻求新的思维方式，培养学生的符号意识。

2.借助数量可变的问题情境，理解用含有字母的式子表示数量关系所具有的一般性

之所以用字母表示数，是为了更进一步用代数式来构建等量关系，这是学习后续知识的基础。用字母表示数量关系较之以前的算式，最大的区别在于含有字母的式子所表示的数量关系更具一般性，就需要让学生在一个熟悉的且数量会随着条件变化而变化的情境中进行感知和理解。如人教版教材中的父女年龄问题，引导学生用一个式子来表示任何一年爸爸的年龄，使学生经历了从特殊到一般的过程，体会到用一个含有字母的式子可以表示父女两人任何一年的年龄，因而这样的式子更具有一般性。

3.借助数量关系的支撑，引导理解含有字母的式子也可以表示一个数或一个运算结果

我在翻阅人教版初中数学教材后发现，如果学生对于用字母表示数仅停留在用字母可以表示数和数量关系的认识上，到了初中学习式与方程时，对于理解a+3可以表示一个数（运算结果）会有比较大的认知障碍，这一点从上述调查六年级学生的数据就可以看出来。为此，我在教学之前一直思考这样一个问题：“我们是否可以借助情境中数量关系的支撑，逐步引导学生理解含有字母的式子也可以表示一个数或一个运算结果呢？”

总之，作为数学教师，我们在教学前应充分思考，既要挖掘教材本身蕴含的知识内容，又要为学生的后续学习做好铺垫、渗透。

（责编 杜 华）