大半径短圆弧的误差分析及测量方法

【摘 要】大半径短圆弧（一般为30?以下圆心角所对应的圆弧）的测量一直是精密测量中的一道难题，主要原因是采样策略和敏感系数引起测量误差，所以测量的重复性差。本文以多年的实际操作经验为基础，通过分析误差原因，提出一种精度高、效率高的大半径短圆弧样板量具和零件的测量处理方法，并在工作中取得良好效果。

【关键词】大半径短圆弧；误差分析；测量方法

在工件测量中，经常有一些大半径短圆弧测量要求，在仅提出半径尺寸要求（有时包括圆心坐标要求），而无形状公差要求，或者仅有较大范围的半径尺寸公差要求的情况下，短圆弧的半径（圆心）的直接测量是无法实现的，甚至有文章提出在圆心角一定小的情况下，圆弧是不可测的。本文分析了测量误差原因，提出在有形状公差要求或合理的半径尺寸公差要求的前提下，可以通过测量短圆弧形状误差，达到判定工件是否合格的目的，进而也说明了圆弧的参数（半径和圆心位置）固然重要，其第三参数形状公差（轮廓度或圆度）在工件特征控制中的重要性。

1.大半径短圆弧的测量误差分析

由测量原理，三坐标测量机（CMM） 直接测得的是被测工件上一些特征点的坐标位置，为了获得被测参数值，需要通过测量软件的数据处理和运算。因此，被测参数的测量准确度主要与 CMM 的系统误差、测头系统误差、工件形状误差、算法误差、环境误差、采样策略和敏感系数等因素有关。而对于大半径短圆弧测量，采样策略和敏感系数对准确度的影响更大。

1.1采样策略引起的误差

采样策略是指如何在被测物体表面合理安排采样点，采集多少点最为合理，且使检测误差达到最小。所谓合理是指在同一台测量机上，在相同的环境下，测量同一个零件，怎样安排测量点的位置和测量点数，可以获得较高的测量准确度，且耗费的时间比较经济。采样数量和采样位置会影响测量结果的原因在于：（1）被测元素并非理想元素，存在形状误差。（2） CMM 采点及计算方法有局限性，存在测量误差。

下面以圆形工件为例说明采样策略对测量结果的影响。图 1所示工件的实际圆形具有三叶形误差，第一次测量选取 1，2，3 三点时，测得的直径为最小；第二次测量选取4，5，6三点时，测得的直径最大。由于工件在三坐标测量台上是任意摆放的，测量结果可能是两次测量结果之间的任意值。这是被测元素形状误差对测量结果的影响。

1.2敏感系数引起的误差

敏感系数也称为误差放大系数，是测量值误差与测量机精度的比值，常用“敏感系数”来量化表示结论和初始参数之间的关系，即用它来评价测量点误差对被测结果的影响。例如用三点来测圆弧，是用每两点连线的中垂线相交来求圆弧半径及中心点位置，当这三点所夹中心角越小时，各点的精度对两点中垂线相交点位置影响就越大。测量机测空间点坐标精度很高，但并不等于对具体几何特征（例如圆弧）的测量结果精度很高，这是因为从点坐标到具体几何特征的测量结果需要有一个计算的过程，其中很多问题是数学方法产生的。测量机的数学方法一般是基于空间解析几何的运算，这种数学方法方法应当重复性好，并为生产所接受。

采用三点测“两大夹一小”的大半径短圆弧时，大半径短圆弧的圆心角对圆心位置及半径测量的敏感系数如下公式所示，与“两小夹一大”的大半径短圆弧的敏感系数公式相同，仅误差数据符号相反。

其中：为圆心坐标误差放大倍数；为半径测量误差放大倍数；为圆心坐标误差；为半径误差；为测量机精度；为大半径短圆弧对应圆心角。

该公式表明，当圆心角较小，圆弧较短时，较小的精度误差被成倍放大，形成了很大的测量误差，可将原本符合形状公差及尺寸要求的圆弧，测量成为不合格产品。例如当e=0.005mm，圆心角小于10°时，半径测量误差将高达2.625mm，那么这扩大了500 倍后的误差结果显然是无法接受的，所以大半径短圆弧是无法用通常测量圆的方法来进行。

2.减小误差的测量方法

通过分析技术文献，研究人员提出了多种大半径短圆弧测量改进方法，例如密集采点法、分段密集采样的圆心的最小二乘法、圆的最小二乘法+最小条件逼近法、圆心固定法、极径测量法、坐标测量法。但这些测量方法有的精度低，有的耗时长，可操作性较低。为解决上述问题，在实际测量工作中可采用了如下测量处理方法，基本原理和步骤简要介绍于下。

上述分析说明，由于敏感系数的存在，使圆弧半径和圆心位置的测量数据不可信，不能通过直接测量大半径短圆弧的半径与圆心位置的方法来评价工件是否合格。但是这并不能说明大半径短圆弧是不能测量的，关键在于圆弧形状公差的设计以及形状误差的测量。那么，要避开敏感系数的唯一办法，就是间接测量圆弧的形状误差。当然，如此测量的前提是，图纸必须有该圆弧形状的公差要求。

在实际生产中，为完成大半径短圆弧的精密测量，确定工件加工是否合格，我们假设该段圆弧的圆心位置与半径尺寸为理论值，然后均匀测量圆弧上多点的坐标得到各半径值，确定其形状误差是否符合要求，以此推断假设是否成立。大半径短圆弧的圆心坐标与半径值，在图纸上标有名义值和公差值。从数学角度讲，零件上那大半径短圆弧已设计确定。这圆心坐标与半径值是一对完全相关量，只要确定了圆心坐标值，就能相应确定半径值。无论从设计大半径短圆弧的使用功能角度，还是从加工大半径短圆弧的工艺角度来说，都是以圆心坐标为基准值来计算圆弧。

3.总结

本文分析了大半径短圆弧测量误差的产生原因，发现圆弧圆心角越小，圆心坐标和半径误差越大。在此基础上提出了一种方便操作、精度高的改进测量方法，按照流程进行一系列操作，即可快速准确判定工件是否合格，大大提高了大半径短圆弧特征的测量效率。在实际工作中，笔者多次运用该测量方法测量小段圆弧，结果令人满意。相信随着测量技术的不断提升，会出现更多经济可行的测量方法。

参考文献：

[1]张国雄.三坐标测量机[M].天津：天津大学出版社，1999.

[2]王文书.三坐标测量机对大半径短圆弧的测量实践[J].上海计量测试，2010（4）：44-45.

作者简介：

张梅（1963-）女，长春市人，长春轨道客车股份有限公司转向架制造中心生产部工程师.研究方向：计量。