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镜像对称性多边形构型等边凸多面体解析计算方法

2016-05-05王晓东周丰峻

关键词:镜像

王晓东,周丰峻,张 伟

(1.河南科技大学 土木工程学院,河南 洛阳 471023;2.总参工程兵科研三所,河南 洛阳 471023)



镜像对称性多边形构型等边凸多面体解析计算方法

王晓东1,周丰峻2,张伟1

(1.河南科技大学 土木工程学院,河南 洛阳 471023;2.总参工程兵科研三所,河南 洛阳 471023)

摘要:基于组合多面体理论,利用计算机图形学相关矩阵变换,建立了镜像对称性多边形构型等边凸多面体解析计算方法,并得到了等边凸多面体由构型和径长唯一确定的结论,该方法可直接运用到大跨度单层球形网壳结构设计中。等边凸面体由平面多边形板块组成,便于设计和加工;主体杆件只有一种,便于预制及快速构建。

关键词:计算机图形学;镜像;等边凸多面体;单层球形网壳

0引言

沿座边和沿角展开多面体由正五边形和六边形网格组成[1],且具有镜像对称性[2](与正20面体对称性相同,所属对称群为Ih),本文将其统称为镜像对称性多边形构型多面体。

具有正20面体对称性的球形网壳结构因具有高度对称性、造型优美、网格均匀以及受力合理等优点而倍受青睐[3-5]。其中,三角形构型网壳结构主要是美国工程师R.Fuller于1954年提出的短程线网壳[5],其节点由5根或6根杆件汇交而成。而具有正20面体对称性的多边形构型网壳结构,节点由3根杆件[1]汇交而成,具有自身质量轻、用钢量少等优势[6],目前其计算方法主要基于“突角和相等”假定[6-8]。本文在此基础上建立了等边凸多面体解析计算方法,使得结构主体杆件只有一种,便于工厂预制及结构快速构建[8],从而缩短工期。

该方法基于组合多面体理论,以独立角点坐标为未知变量,利用多面体对称性及计算机图形学相关矩阵变换[9]求解单元内相关角点的坐标。然后,建立方程组使独立六边形各角点共平面,使独立杆件两两相等,使正五边形角点到球心距离为定值,并据此编写相关计算程序求解各独立角点坐标。凸多面体六边形网格具有平面性,故板块可做成便于加工的平面形式,从而减少模具费用。

1基于组合多面体理论的凸多面体约束条件

1.1拓扑约束

由文献[1]可知:从平面单元映射到空间单元,包括拓扑邻接和拓扑关联等在内的拓扑关系不变。

1.2对称性约束

图1 92面体平面单元

在沿座边或沿角展开平面单元图中,可按下述原则确定一个正三角形:三角形形心与单元中心重合,三角形棱边穿过单元最外层六边形形心。例如,图1为92面体平面单元,图1中确定的正三角形为加粗虚线。显然也可以反过来对正三角形进行网格划分,得到平面单元。

若无特殊说明,本文中的平面单元是对图2所示△O5O51O52进行网格划分得到的。对称性约束是指:若平面单元中的几何元素(包括点、棱边和六边形)关于△O5O51O52的棱边或高对称,则对平面单元进行拓扑变换后,几何元素关于△O5O51O52的棱边或高与点O确定的平面对称。例如,对图2中的△O5O51O52进行网格划分,得到的162面体平面单元见图3,其中,点P1与点A1关于O5O52对称,对平面单元进行拓扑变换后,点P1与点A1关于面OO5O52对称(面OO5O52见图2)。

对于平面单元,将位于△O5O2O3内及边界上的角点称为特征角点,将形心位于△O5O2O3内及边界上的六边形称为特征六边形,将中点位于△O5O2O3内及边界上的六边形称为特征棱边。例如,图3所示单元中,六边形I~III为特征六边形,点P1~P4及点M为特征角点,A1P1等加粗棱边为特征棱边。

图2 正20面体图3 162面体平面单元

1.3平面性约束

平面性约束是指平面单元拓扑变换为空间单元后,特征六边形依然具有平面性。同时满足拓扑约束、对称性约束和平面性约束的多面体是凸多面体。

1.4等边约束

等边约束是指平面单元拓扑变换为空间单元后,所有特征棱边长度相等。同时满足拓扑约束、对称性约束、平面性约束和等边约束的多面体是等边凸多面体。

1.5径长约束

定义正五边形角点到球心距离为标准径长。径长约束由标准径长确定。

2正20面体相关参数求解

求解图2所示正20面体的相关参数,利用对称性建立多边形构型凸多面体约束方程。

2.1绕过原点任一轴的旋转变换矩阵

空间一轴过坐标原点,且单位方向向量为(a,b,c),则绕该轴的旋转变换矩阵[9]Br为:

Br=a2+(1-a2)cosθ ab(1-cosθ)+csinθ ac(1-cosθ)-bsinθab(1-cosθ)-csinθb2+(1-b2)cosθbc(1-cosθ)-asinθac(1-cosθ)+bsinθbc(1-cosθ)-asinθc2+(1-c2)cosθéëêêêêùûúúúú

(1)

2.2正20面体中心对称轴相关参数求解

2.3镜像对称面方程求解

2.4关于对称平面的对称变换矩阵

(Ⅰ)设平面#1的方程为ax+by+cz=0(a2+b2+c2≠0),点A(x,y,z)关于面#1的对称变换矩阵推导方法如下:先将面#1连同点A一起旋转至面#1与xOy面重合;然后,按关于xOy面对称变换的方法处理;最后,将面#1连同变换后的点反转到原来位置上[9]。对称变换矩阵为:

(2)

(Ⅱ)关于面OO5O52、面OO5O22和面OO51O2的对称变换矩阵分别为:

3沿座边展开多面体

图4 组合42面体平面单元

3.1设定未知变量并由对称性约束求相关角点坐标

设点P1、M经拓扑变换后的坐标分别为:

点P1与点A1关于面OO5O52对称,点P1与点C1关于面OO51O2对称,故点A1和点C1坐标分别为:

3.2根据平面性约束建立方程

由六边形I的对称性知:六边形Ⅰ具有平面性⟺P1M⊥OO2。由此建立约束方程:

(3)

3.3根据等边约束建立方程

令特征棱边两两相等,建立约束方程:

(4)

3.4根据径长约束建立方程

令标准径长为100,建立约束方程:

(5)

联立方程(3)~方程(5)解得等边凸42面体特征角点坐标为:

P1(17.476 777 162 483 51,95.477 393 660 613 52,24.054 720 114 545 802);

M(35.852 948 150 265,79.845 688 955 441 87,49.347 349 629 615 15)。

根据已求特征角点坐标、拓扑约束和对称性约束建立的等边凸42面体全球模型见图5,网壳结构半球模型见图6。

图5 等边凸42面体全球模型图6 等边凸42面体网壳结构半球模型

4沿角展开多面体

以组合122面体作为沿角展开多面体的算例。图7为组合122面体平面单元,其中,六边形I~III为特征六边形,点P1~P3为特征角点,P1A1等加粗边为特征棱边。根据对称性约束,对平面单元进行拓扑变换后,点P1、P2位于面OO5O52上;面OO5O22为六边形Ⅰ的对称面;面OO5O52和OO51O2为六边形Ⅱ的对称面;六边形Ⅲ有3个穿过棱边中点的对称面。面、轴等空间几何元素元图2。

图7 组合122面体平面单元

4.1设定未知变量并根据对称性求相关角点坐标

设特征角点P1、P2、P3坐标分别为p1=(0,y1,z1),p2=(0,y2,z2),p3=(x3,y3,z3)。 点P1、P3分别与点A1、A3关于面#53对称,点P3与点B3关于面#23对称。故点A1、A3、B3坐标分别为a1=(0,y1,z1)Bm5,22,a3=(x3,y3,z3)Bm5,22,b3=(x3,y3,z3)Bm51,2。

4.2根据平面性约束建立方程

由各特征六边形经拓扑变换后的对称性:

(Ⅰ)六边形Ⅰ具有平面性⟺面P1P2P3⊥面OO5O22。由点P1、P2、P3的坐标可求出面P1P2P3的法向量σ1。令σ1与面OO5O22法向量的点积等于0,即:

(6)

(7)

(Ⅲ)六边形Ⅲ恒为平面六边形。

4.3根据等边约束建立方程

令特征棱边两两相等,建立约束方程:

(8)

(9)

(10)

(11)

4.4根据径长约束建立方程

令标准径长为100,建立约束方程:

(12)

联立方程(6)~方程(12),解得特征角点坐标为:

P1(0,98.455 080 744 761 96,17.509 913 636 063 487);

P2(0,94.593 651 368 860 11,37.728 620 338 600 194);

P3(19.229 132 760 508 03,90.732 221 992 958 26,43.976 544 313 966 69)。

根据已求特征角点坐标、拓扑约束和对称性约束建立的等边凸122面体全球模型见图8,网壳结构半球模型见图9。

图8等边凸122面体全球模型图9等边凸122面体网壳结构半球模型

5镜像对称性等边凸多面体由构型和径长唯一确定

表1为镜像对称性等边凸多面体未知变量与约束方程数量统计表。由表1可知:使镜像对称性多边形构型多面体为等边凸多面体的约束方程个数,等于设定的未知变量个数,故当单元构型和径长一定时,对应的等边凸多面体是唯一确定的。

表1 镜像对称性等边凸多面体未知变量与约束方程数量统计

注:未知变量为特征角点坐标,约束方程包括平面性约束方程、等边约束方程和径长约束方程。

6结论

(1)本文方法是根据多面体的性质建立的,以特征角点坐标为未知变量,利用拓扑约束、对称性约束、等边约束、径长约束及计算机图形学相关矩阵变换理论,建立约束方程。(2)对于镜像对称性多边形构型多面体,当单元构型和径长一定时,对应的等边凸多面体是唯一确定的。等边凸多面体不仅所有多边形网格具有平面性,而且所有棱边长度均相等。(3)这一系列球形等边凸多面体可直接运用到单层球形网壳结构设计中。由于主体杆件只有一种,因此,便于杆件批量预制及网壳结构快速构建。由于多边形网格具有平面性,因此,玻璃或其他材质屋面可以做成平面形式,便于加工。

参考文献:

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[5]支荣权.单层短程线型球面网壳优化设计及抗震性能研究[D].济南:山东建筑大学,2011:12-13.

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[8]王启睿,张晓忠,宋红民,等.组合272面体半球面空间结构的构建与试验研究[J].空间结构,2013,19(1):10-15,64.

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[10]刘鑫锦,周丰峻,张伟.基元模数与组合多面体外接球半径的几何关系[J].河南科技大学学报(自然科学版),2012,33(1):45-48.

中图分类号:TU33

文献标志码:A

收稿日期:2015-07-08

作者简介:王晓东(1991-),男,河南安阳人,硕士生;周丰峻(1938-),男,山东黄县人,院士,博士生导师,主要从事空间结构的研究.

基金项目:国家自然科学基金项目(51208182,51309233)

文章编号:1672-6871(2016)03-0064-05

DOI:10.15926/j.cnki.issn1672-6871.2016.03.014

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