基于冰颗粒增强的冻土细观动态本构模型*

刘志杰，朱志武，，宁建国，马 巍

(1.西南交通大学力学与工程学院，四川成都 610031；2.中国科学院寒区旱区环境与工程研究所冻土工程国家重点实验室，甘肃兰州 730000；3.北京理工大学爆炸科学与技术国家重点实验室，北京 100081)

1 引 言

冻土由土颗粒、未冻水、冰及气体组成，是典型的多相体材料。我国的多年冻土面积约215万平方千米，居世界第3位，主要分布在青藏高原、天山、阿尔泰山，以及东北大、小兴安岭，其中青藏高原上的冻土占绝大部分。冻土的动态力学特性研究对于西部大开发和冻土地区国土资源的合理利用具有极其重大而深远的意义。

国内外研究者对冻土在静态和准静态下的力学性能进行了大量研究，比如：朱元林等人[1]通过对冻土蠕变性的研究，提出了冻土蠕变的工程理论模型；Matthew等人[2]研究了冻土的冷生构造对于蠕变行为的影响；Bronfenbrener等人[3]提出了考虑低温吸水作用等物理机制的冻胀模型；吴紫汪等人[4-5]对不同围压下的冻土三轴抗剪强度进行了研究。除了常规的静载荷和准静载荷之外，冻土往往还会受到爆炸、冲击等动载荷作用。目前国内外对于冻土的动态冲击性能研究主要集中在应变率效应和温度效应等方面，比如：陈柏生等[6]和Ma[7]通过大量的实验相继研究了冻土的冻脆性和动脆性，并从细观角度对所观察的现象进行了解释；美国Sandia国家实验室对阿拉斯加原状冻土进行了动态冲击力学实验，通过引入屈服盖帽模型描述了冻土的本构关系，该模型对实验曲线模拟得较好，只是过于复杂[8-9]；Xie等人[10]根据不同条件下冻土破坏时吸收能量的变化对冻土的动态本构关系进行了研究，但是所建模型不能很好地描述冻土的破坏过程；张海东等人[11-13]通过改进用于描述金属和混凝土动态本构关系的Johnson-Cook模型和ZWT模型，建立了能够描述冲击加载下冻土应力-应变关系的模型，根据动态力学性质，定性地从实验应力-应变曲线中得到了冻土的动态本构关系；Ning等人[14]从冻土的应变率效应出发，对Drucker-Prager屈服模型进行了修正，得到了适用于冻土的动态本构模型，但是该模型不能很好地反映冻土区别于其他材料的特殊性。

本研究从细观出发，将冻土的代表性体积单元视为包含土相和冰相的复合材料，根据土相在冲击作用下层层破坏的特性，通过假定土相的动模量由于逐层损伤而发生变化，得到包含应变率项和温度项的冻土细观动态本构模型；采用分离式霍普金森压杆(Split Hopkinson Pressure Bar，SHPB)，对人工冻土进行单轴冲击加载实验，得到不同冲击加载条件下冻土的应力-应变曲线；对比理论曲线和实验曲线，验证模型的有效性和适用性。

2 动态本构模型

图1 冻土的细观结构Fig.1 Mesostructure of frozen soil

冻土中冰的含量与初始含水量及温度有关，只有当初始含水量与温度均满足某特定条件时，冻土中的冰才能联结成片，冻土才近似为各向同性材料。Arenson等人[15]的研究表明，冻土在一般情况下为横向各向同性材料。考虑到本研究的冻土样品为圆柱形，为此在Zhu等人[16]建立的细观本构关系基础上，假设冻土的细观结构是由一系列圆柱形代表性体积单元组成，在与冲击方向垂直的面上为各向同性，代表性体积单元之间的间隙由气体和未冻水填充。冻土的细观结构如图1所示，圆柱形代表性体积单元以土作为基体，内部夹杂着冰颗粒作为增强体。作为基体的土体分为两部分：一部分是与冲击方向垂直的上、下盖板，另一部分是与冲击方向平行的环形薄壁。

从图1可以看出，如果令φI、φS1和φS2分别为冰颗粒、环形土薄壁和上/下土盖板在圆柱形代表性体积单元中的体积分数，则

式中：SI、S和SS1分别为冰颗粒、圆柱形代表性体积单元和环形土薄壁的横截面积(单位均为μm2)，l0为冰颗粒和环形土薄壁的轴向厚度(μm)，l为圆柱形代表性体积单元的轴向厚度(μm)，l2为上、下土盖板的轴向厚度(μm)。

图2 冻土细观结构形变的逻辑图Fig.2 Logic chart of the deformation of frozen soil mesostructure

根据图1所示的细观模型，可将冻土描述为包含土相和冰相的复合材料，当受到单轴动态压缩时，土相和冰相的变形关系简化为(见图2)：内部冰颗粒和环形土薄壁并联后形成的整体再与上、下土盖板串联，内部冰颗粒和环形土薄壁的变形相同，并且变形大小等于冰颗粒和环形土薄壁的整体变形。由于内部冰颗粒和环形土薄壁的轴向厚度相同，因此其应变也相同，即

式中：ε0为冰颗粒和环形土薄壁组成整体的应变，εI为冰颗粒的应变，εS1为土薄壁的应变。同时，作用在冰颗粒和环形土薄壁整体体积单元上的合力等于作用在冰颗粒体积单元上的合力和作用在环形土薄壁上的合力之和，即

式中：σ0为冰颗粒和环形土薄壁组成整体的总应力(MPa)，σI为冰颗粒的应力(MPa)，σS1为土薄壁的应力(MPa)。将(1)式和(2)式代入(6)式，可得

由内部冰颗粒和环形土薄壁并联后形成的整体与上、下土盖板串联可以得到，作用在冰颗粒和环形土薄壁整体体积单元上的合力与作用在上、下土盖板体积单元上的合力相同，并且合力的大小等于作用在整个圆柱形代表性体积单元上的合力。由于上、下土盖板的横截面积与内部冰颗粒和环形土薄壁整体的横截面积相同，因此应力也相同

式中：σ为整个代表性体积单元的应力(MPa)，σS2为上、下土盖板的应力(MPa)。同时，圆柱形代表性体积单元的整体变形等于冰颗粒和环形土薄壁的整体变形与上、下土盖板的变形之和，即

式中：ε为整个圆柱单元体的应变，εS2为上、下土盖板的应变。将(3)式和(4)式代入(9)式，可得

分别引入土相的动态宏观弹性模量ES和冰相的动态宏观弹性模量EI(单位均为MPa)，则

联立(5)式、(7)式、(8)式和(11)式，可得

将(5)式、(8)式、(12)式代入(10)式，可得冻土的细观本构方程

需要指出的是：由于毛细作用和孔隙水压力，融土的冲击强度受液态水的影响很大，而冻土的冲击强度主要取决于冰；在本研究的细观本构模型中，代表性体积单元受到正面冲击作用时，上、下土盖板上覆盖的未冻水相当于与整个体积单元串联，未冻水和体积单元所受应力相同，考虑到水的不可压缩性，水不发生应变，则代表性体积单元的应变即为冻土的应变，代表性体积单元破坏后，未冻水随碎块剥离。因此，在本研究的细观本构模型中，不考虑未冻水本身的影响，同时由于圆柱形体积单元之间的孔隙由未冻水和气体填充，未冻水并未充满整个孔隙，所以不考虑环形土薄壁周围的未冻水对正面冲击的影响。

3 模型参数的确定

3.1 φI、φS1和φS2的确定

由Wen等人[17]的研究可知，在不同的温度下冻土中未冻水的质量分数(wu)可表示为

式中：T为冻土的温度(℃)，A为大于零的常数，B为小于零的常数。

已知冻土中未冻水的质量分数，则冻土中冰的质量分数(wI)为

式中：w为冻土中初始水的质量分数。相应地，冻土中冰的体积分数为

式中：md为干土的质量(g)，在本实验中为20.35 g；ρI为冰的密度(g/cm3)，取0.9 g/cm3；V为样品体积(mm3)，在本实验中为12.72 mm3。

设代表性体积单元中薄壁土在土相中的体积分数为φ，那么环形土薄壁和上、下土盖板在圆柱形代表性体积单元中的体积分数φS1和φS2可以用冰颗粒在圆柱形体积单元中的体积分数φI表示

3.2 ES和EI的确定

土相在静态或准静态加载过程中的弹性模量ES等于加载前的初始弹性模量E0；而在高应变率动态加载下，裂纹扩展强度损伤会引起弹性模量的变化。假定强度损伤D符合双参数的威布尔分布[18]

式中：n为无量纲的形状参数，a为无量纲的尺度参数。由此可以得到强度损伤后土相的弹性模量

式中：E0为薄层土相的初始弹性模量(MPa)，取50 MPa；ET为损伤后薄层土相的弹性模量(MPa)。

在单轴冲击加载下，冻土的动态力学性能区别于静态或准静态力学性能的一个显著特点是具有明显的应变率效应，因此在冻土的动态本构模型中，必须引入与应变率相关的项。在高应变率单轴冲击加载下，冻土的动态应变得不到及时传递，具有分层推进破坏的特征，因此冻土的主要组成部分——土相必然也为分层破坏。假设撞击破坏面是强度发生损伤的唯一微层面，土相在冲击方向的强度由无数个同性薄层线性叠加而成，则根据马悦[19]的研究，可以得到：对于任意时刻t，当前土体的宏观动态弹性模量是瞬态冲击薄层损伤后的弹性模量与剩余土体弹性模量的线性叠加，即

式中：Nt为分层推进破坏条件下薄层厚度对有效土层厚度的比值。

于是，包含应变率项的冻土动态本构方程为

此外，考虑到冰相在高应变率单轴压缩下为脆性破坏[20]，变形量很小，可将冲击加载前、后冰相的弹性模量近似为恒量，取为10 GPa。

4 冻土SHPB实验及结果分析

SHPB的入射杆和透射杆均为7075铝合金杆，直径为30 mm；撞击杆为35CrMnSi低合金超高强度钢杆，长度为200 mm。圆柱形冻土样品由扰动黏土制作而成，尺寸为∅30 mm×18 mm，其中扰动黏土的干密度为1.6 g/cm3，所制冻土样品的初始含水率(即水的质量分数)为30%。

图3 不同加载条件下冻土的SHPB实验结果Fig.3 SHPB results of frozen soil under different loading conditions

5 本构模型验证

用(14)式对含水量为30%的冻土的未冻水含量-负温实测曲线[21]进行拟合，得到A为0.162，B为-0.233，进而得到-5、-15和-25 ℃下冻土中冰相的体积分数，如表1所示。

在不同的加载条件下，冻土的损伤演化过程不可能完全相同，因此与损伤有关的参数n和a常常不是固定值，而是在一定的范围内变动。利用最小二乘法对损伤项中a、n和φ进行拟合，得到a和n的取值范围分别为0.01～0.04和0.5～2.5，φ为0.95。

表1 不同温度下冻土的未冻水含量和冰体积分数Table 1 Unfrozen moisture content and ice volumefraction of frozen soil at different temperatures

不同条件下的实验曲线与理论计算曲线的对比如图4所示。

图4 不同加载条件下冻土应力-应变曲线的理论结果和实验结果比较Fig.4 Comparison of theoretical and experimental stress-strain curves of frozen soil under different loading conditions

通过对比发现，在改变温度或应变率的条件下，SHPB实验得到的应力-应变曲线与基于冰颗粒增强的细观动态本构模型得到的拟合曲线具有很好的一致性。改进后的动态本构模型能够很好地反映冻土的动态冲击应力-应变关系，具有很好的预测能力，验证了所建立动态本构模型的合理性和适用性。

6 结 论

基于冰颗粒增强的细观模型，将冻土视为冰相和土相的复合材料，并假定土相在冲击加载下层层破坏，在土相的动弹性模量中引入应变率项，最终得到了包含应变率项和温度项这一符合实际情况的冻土细观动态本构模型。利用SHPB，在不同温度或高应变率条件下对冻土进行了冲击加载实验。结果表明：温度恒定时，在不同的高应变率加载下冻土的应力-应变曲线表现出明显的应变率效应；在恒定应变率加载下，不同温度冻结的冻土应力-应变曲线表现出明显的温度效应，并且出现了汇聚现象。由动态细观本构模型得到的冻土应力-应变曲线与实测应力-应变曲线具有较好的一致性，说明所建立的动态细观本构模型能够反应冻土的冲击力学性能和应力-应变关系，具有很好的工程应用价值。

[1] 朱元林,吴紫汪,何 平,等.我国冻土力学研究新进展及展望 [J].冰川冻土,1995,17(增刊):6-14.

ZHU Y L,WU Z W,HE P,et al.New progress and prospects for research on frozen soil mechanics of China [J].Journal of Glaciology and Geocryology,1995,17(Suppl):6-14.

[2] MATTHEW T B.The influence of cryostructure on the creep behavior of ice-rich permafrost [J].Cold Reg Sci Technol,2012,79/80:43-52.

[3] BRONFENBRENER L,BRONFENBRENER R.Modeling frost heave in freezing soils [J].Cold Reg Sci Technol,2010,61(1):43-64.

[4] 吴紫汪,马 巍.冻土强度与蠕变 [M].兰州:兰州大学出版社,1994.

WU Z W,MA W.Strength and creep of frozen soil [M].Lanzhou:Lanzhou University Press,1994.

[5] 蒲毅彬,吴紫汪,马 巍,等.冻土CT实验的数学方程 [J].冰川冻土,1995,17(增刊1):135-139.

PU Y B,WU Z W,MA W,et al.CT mathematial equation of CT experiment on frozen soil [J].Journal of Glaciology and Geocryology,1995,17(Suppl 1):135-139.

[6] 陈柏生,胡时胜,马芹永,等.冻土动态力学性能的实验研究 [J].力学学报,2005,37(6):724-728.

CHEN B S,HU S S,MA Q Y,et al.Experimental research of dynamic mechanical behaviors of frozen soil [J].Acta Mechanica Sinica,2005,37(6):724-728.

[7] MA Q Y.Experimental analysis of dynamic mechanical properties for artificially frozen clay by the split Hopkinson pressure bar [J].J Appl Mech Tech Phys,2010,51(3):448-452.

[8] FURNISH M D.Measuring static and dynamic properties of frozen silty soils:SAND98-1497 [R].Albuquerque,New Mexico:Sandia National Laboratories,1998.

[9] LEE M Y,FOSSUM A,COSTIN L S,et al.Frozen soil material testing and constitutive modeling:SAND2002-0524 [R].Albuquerque,New Mexico:Sandia National Laboratories,2002.

[10] XIE Q J,ZHU Z W,KANG G Z.Dynamic stress-strain behavior of frozen soil:experiments and modeling [J].Cold Reg Sci Technol,2014,106/107:153-160.

[11] 张海东,朱志武,康国政,等.基于Johnson-Cook模型的冻土动态本构关系 [J].四川大学学报(工程科学版),2012,44(增刊2):19-22.

ZHANG H D,ZHU Z W,KANG G Z,et al.Dynamic constitutive relation of frozen soil based on Johnson-Cook model [J].Journal of Sichuan University (Engineering Science Edition),2012,44(Suppl 2):19-22.

[12] 张海东.冻土冲击动态实验及其本构模型 [D].成都:西南交通大学,2013:36-45.

ZHANG H D.Dynamic tests and constitutive relations of frozen soil [D].Chengdu:Southwest Jiaotong University,2013:36-45.

[13] ZHANG H D,ZHU Z W,SONG S C,et al.Dynamic behavior of frozen soil under uniaxial strain and stress conditions [J].Appl Math Mech,2013,34(2):229-238.

[14] NING J G,HE Y X,ZHU Z W.Dynamic constitutive modeling of frozen soil under impact loading [J].Chin Sci Bull,2014,59(26):3255-3259.

[15] ARENSON L U,SPRINGMAN S M,SEGO D C.The rheology of frozen soils [J].Appl Rheol,2006,17(1):12147.

[16] ZHU R T,ZHANG X X,LI Y F,et al.Impact behavior and constitutive model of nanocrystalline Ni under high strain rate loading [J].Mater Des,2013,49:426-432.

[17] WEN Z,MA W,FENG W J,et al.Experimental study on unfrozen water content and soil matric potential of Qinghai-Tibetan silty clay [J].Environ Earth Sci,2012,66(5):1467-1476.

[18] 宁建国,王 慧,朱志武,等.基于细观力学方法的冻土本构模型研究 [J].北京理工大学学报,2005,25(10):847-851.

NING J G,WANG H,ZHU Z W,et al.Investigation of the constitutive modle of frozen soil based on meso-mechanics [J].Journal of Beijing Institute of Technology,2005,25(10):847-851.

[19] 马 悦.冻土冲击动态力学性能及其破坏机理研究 [D].成都:西南交通大学,2014:19-26.

MA Y.Dynamic mechanical properties and failure mechanism of frozen soil [D].Chengdu:Southwest Jiaotong University,2014:19-26.

[20] 李洪升,杜小振.冰体材料损伤与断裂破坏的本构理论 [J].冰川冻土,2003,25(增刊2):304-307.

LI H S,DU X Z.Constitutive model of damage and fracture of ice [J].Journal of Glaciology and Geocryology,2003,25(Suppl 2):304-307.

[21] 冷毅飞,张喜发,杨凤学,等.冻土未冻水含量的量热法试验研究 [J].岩土力学,2010,31(12):3758-3764.

LENG Y F,ZHANG X F,YANG F X,et al.Experimental research on unfrozen water content of frozen soils by calorimetry [J].Rock and Soil Mechanics,2010,31(12):3758-3764.