巧用极限法解决“载去相同高度”压强问题（上）

在学习物理时，极限分析法是比较难运用的一种方法，尤其是解压强问题，同学们往往难以把握极限分析法解答问题的适用范围。在解压强类的问题时，首先需要抓住的是题干中的变量以及变量的约束范围，然后根据压强定律去规范出变量的变化范围，最后再利用极限分析法去分析，这样就能快速得出答案了。下面将结合几道例题来与同学们一起探讨如何运用极限分析法解决“截去相同高度”的压强问题。

例1 如图1所示，甲、乙两个均匀实心的正方体分别放置在水平地面上，且它们各自对地面的压强相等。若分别在两个正方体的上部，沿水平方向截去相同高度后，则甲、乙的剩余部分对地面的压强p的大小关系为（ ）。

A. [p甲p乙] C. [p甲=p乙] D. 无法确定

解析：这道题我们先用常规方法来解。依据“需截去相同高度”，则考虑高度h与压强p的关系，可选用公式[p=ρ固gh]求解压强问题，进一步审题可知，题意满足该关系式的应用条件。设原来甲、乙对地面的压强分别为[p′甲]、[p′乙]，高度为[h′甲]、[h′乙]，截去相同高度后，甲、乙对地面的压强分别为[p甲]、[p乙]，已知条件：[p′甲=ρ甲gh′甲=p′乙=ρ乙gh′乙]，其中[h′甲>h′乙]，则[ρ甲<ρ乙]（条件1）。截去相同高度[Δh]后，因[h′甲>h′乙]，所以[h甲=h′甲-Δh>h乙=h′乙-Δh]，那么，

[p甲=ρ甲gh甲=ρ甲gh′甲-Δh=p′甲-ρ甲gΔh]——①式，

[p乙=ρ乙gh乙=ρ乙gh′乙-Δh=p′乙-ρ乙gΔh]——②式。

现在比较截去[Δh]后压强[p甲与p乙]的大小关系，只需将①式[-]②式，即有[p甲-p乙=（p′甲-p′乙）+ρ乙-ρ甲gΔh]，其中[p′甲-p′乙=0]，根据条件1，可知[ρ乙-ρ甲gΔh>0]，所以[p甲-p乙>0]，即[p甲>p乙]。故答案选B。

从上面的解答过程可以看出，用常规方法计算较为繁琐，很容易出错，我们不妨试试用极限法来解决这道题。

因“沿水平方向截去相同高度[Δh]”，可以假设题设是以[Δh=h乙]去截，使得高度较小的物体截完之后高度为0，则容易判断剩余部分，[h甲>0]，[h乙=0]。那么，意味着只有甲剩余，乙则没有了，自然可以得出结果：[p甲>p乙]。

【小结】根据题意，截去相同高度[Δh]，[Δh]值不定，所以截多截少对问题的结果并不产生影响，因而索性认为它截去的高度正好将高度小的物体截完，如此一来，结果一目了然。这就是极限法在这道题的运用。

例2 甲、乙、丙三个实心正方体放在水平地面上，它们对地面的压强关系是[p甲0>p乙0>p丙0]。若在三个正方体的上部，沿水平方向分别截去相同高度后，剩余部分对水平地面的压强关系是[p甲=p乙=p丙]，则三个实心正方体的密度大小关系是（ ）。

A. [ρ甲>ρ乙>ρ丙] B. [ρ乙>ρ甲>ρ丙] C. [ρ丙>ρ乙>ρ甲] D. [ρ甲>ρ丙>ρ乙]

解析1：应用例1的极限法，根据题意，截去相同的高度，可认为是以[Δh=h最小]去截，使高度最小的物体截完，又因为截完后剩余部分对地面的压强[p甲=p乙=p丙]，所以[Δh=h甲=h乙=h丙]，意味着甲、乙、丙原来高度一样。又因为它们对地面的压强关系[p甲0>p乙0>p丙0]，因存在压强与高度关系，选用关系式[p=ρ固gh]判断，其中[g]不变，[h]相同，压强大的密度大，容易得出结果：[ρ甲>ρ乙>ρ丙]。故答案选A。

解析2：学完浮力一章后，由[p=ρ固gh]可知，对于某种物质而言，压强只与高度[h]有关，从而推理知：[Δp=ρgΔh]，其中[ρ]、[Δp]、[Δh]分别指物质的密度、压强变化量、高度差。分析题意知，满足公式[Δp=ρgΔh]的应用条件，由[Δp=p大-p小]，且[p甲0>p乙0>p丙0]，[p甲=p乙=p丙]，则[Δp甲>Δp乙>Δp丙]。又因为[Δp=ρgΔh]，[Δh]相同，所以容易得出：[ρ甲>ρ乙>ρ丙]。

例3 两个完全相同的圆柱形容器中，分别盛有质量相等的煤油和水，如图2所示，已知图中液体内[M]、[N]两点到容器底部的距离相等，煤油的密度小于水的密度。设[M]、[N]两点处的液体压强分别为[pM]和[pN]，则这两处的液体压强大小关系是（ ）。

A. [pM]小于[pN] B. [pM]等于[pN]

C. [pM]大于[pN] D. 无法判断

解析：根据题意，M、N两点的压强是由M、N上方的液体产生的，可运用公式[p=ρ液gh]，其中[ρ油<ρ水]，但[hM>hN]，使得[pM=ρ油ghM]与[pN=ρ水ghN]大小关系无法确定。

此时，我们可以采用极限法来解决。条件已知M、N两点到容器底部的距离相等，我们可以假想M、N同时上移至（b）容器的水平面位置，此时[hM>hN=0]，再由公式[p=ρ液gh]可得，[pM=ρ油ghM>pN=0]。故答案选C。

【小结】极限法的运用，不一定是要从上往下“截”，还可以自下而上地“截”，原则是在保证“截去相同高度”的前提下进行，最终结果是要使得高度最小的部分被截完，出现极值，这样才便于讨论。

例4 如图3所示，均匀圆柱体甲和盛有液体乙的圆柱形容器放置在水平地面上，甲、乙质量相等。现沿水平方向切去部分甲并从容器中抽取部分液体乙后，甲对地面的压强大于乙对容器底部的压强。若甲、乙剩余部分的体积分别是[V甲]、[V乙]，则（ ）。

A. [V甲]可能等于[V乙] B. [V甲]一定大于[V乙]

C. [V甲]可能小于[V乙] D. [V甲]一定小于[V乙]

解析：首先要明确“截”的是体积，而不是高度，另外甲是固体，乙是液体，且甲与乙“截”的部分可以不一样，这还能用极限法吗？我们试一试便知。

依据题目条件可知，[M甲=ρ甲V甲=M乙=ρ乙V乙]，其中[V甲>V乙]，可知[ρ甲<ρ乙]。题目需讨论压强与体积的关系，能建立起联系的关系式是[p=ρgh]，且甲、乙均可用该关系式，要使得[p甲=ρ甲gh′甲>p乙=ρ乙gh′乙]，其中[ρ甲<ρ乙]，因而要求“截”完后[h′甲>h′乙]，又因为[S甲>S乙]，所以剩余部分的体积[V甲=S甲h′甲>V乙=S乙h′乙]一定成立。

验证一下，我们一步到位，假想是以[Δh=h乙]截，使得[h′甲>h′乙=0]，显然可以使[p甲>p乙]，此时[V甲>V乙]，得证。故答案选B。

【小结】“截”体积问题，我们也可以转化为“截”高度问题，再巧妙的运用极限法，使得解答过程清晰明了。

不过，极限分析法并不是万能的，比如截“质量”问题并不适合采用极限法。这个内容我们下期再来分析。