一类基于比率与时滞依赖的捕食-食饵系统的随机模型

孙 杰

(南京财经大学 应用数学学院，江苏 南京　210046)

一类基于比率与时滞依赖的捕食-食饵系统的随机模型

孙 杰

(南京财经大学 应用数学学院，江苏 南京210046)

摘要：研究一类两种群随机Lotka-Volterra捕食-食饵模型.在时滞作用的影响下，在外界环境噪音的假设下，证明系统存在唯一正的全局解，并且这个解是随机最终有界的.

关键词：随机捕食-食饵系统；伊藤公式；随机最终有界

研究者对捕食-食饵系统的研究持续不断.20世纪20年代Vito Volterra提出，是否存在这样一种模型，可以解释Adriatic海中鱼种群数量的波动，因为渔民们非常关注这种波动，特别是出现较少鱼群的时段.在假设鲨鱼和其他小鱼群处于捕食者-被捕食者关系的基础上，Volterra(1926)构造了一个模型，A·J·Lotka(1925)在同一时间不同场合也构造了类似的模型，后来人们称它Lotka-Volterra模型.

这里描述的模型是按Volterra建议的，设x(t)和y(t)为在t时刻其他小鱼群与鲨鱼的数量，假设为鱼种群提供的浮游生物是无限制的，因此，鱼种群的平均增长率在没有鲨鱼时是常数，从而，如果没有鲨鱼则鱼种群满足微分方程dx/dt=λx.另一方面，鲨鱼以鱼种群为食物，假设没有鱼种群时鲨鱼的平均死亡率是常数，因此，在没有其他小鱼群时鲨鱼种群满足微分方程dy/dt=-μy.假设鱼的出现使得鲨鱼的平均增长率由-μ增长到-μ+cx，鲨鱼的出现使得鱼种群的增长率由λ变为λ-by，这就给出了Lotka-Volterra方程

不能解析求这个系统，但可以得到其解的性态的某些信息.Lotka-Volterra 模型代表早期种群生物学尝试用数学建模的一个成功模型.

1965年，Holling在实验的基础上，对不同类型的物种，提出了三种不同的功能性反应函数“R-M模型”，在文献中通常被称为具有Holling II类功能性反应的捕食者-食饵系统.对于“R-M模型”，许多学者进行了深入研究.Rosenzweig和MacArthur[1]，Rosenzweig[2-3]和Maynard[4]分析了捕食者-食饵的作用，提出一类比Volterra模型和Leslie模型更为真实的模型，即Rosenzweig-MacArthur模型

其中a，b，e，k均为正常数.Rosenzweig和MacArthur[1]用图表法结合数值法研究了“R-M模型”的稳定性，陈兰荪和井竹君[5]用微分方程定性分析的方法对“R-M模型”作了详细完整的分析，讨论了极限环的存在性和唯一性；Hsu和Huang[6]研究了“R-M模型”的全局稳定性.最近，这一模型的非自治情形受到学者的重视.贾建文、胡宝安[7]考虑非自治系统的周期解存在性与全局吸引性问题，范猛、王克[8]进一步考虑了时滞的系统，利用重合度理论得到保证系统存在正周期解的充分性条件.

近年来，随机微分方程被广泛的研究，特别是随机捕食-食饵种群动态系统.传统的两种群自治或非自治的确定性的Lotka-Volttera捕食-食饵模型的形式为

式中x(t)和y(t)分别表示食饵种群和捕食者种群的密度.然而，种群的变化难免会受到环境噪声的影响，这种影响是生态系统中的一个重要成分.

本文把环境噪音的因素考虑在系统(1)中，研究基于一类比率与时滞依赖的捕食-食饵系统

式中：a，b，c，d，f，m都为参数；a/b>0表示食饵种群承载能力；d>0表示捕食者种群的自然死亡率；a，c，m，f都为非负数且分别表示内禀增长率、最大食饵消耗率、半饱和常数和转化率.这里的Bi(t)(i=1，2)是环境污染，称为白色噪音，σi(t)(i=1，2)表示白色噪音的强度，Bi(t)(i=1，2)是标准的布朗运动.

本文将系统(2)化为

本文研究系统(2)，在适当的环境污染假设下，随机Lotka-Volterra 捕食-食饵系统有唯一的正的全局解，而且这个正解随机最终有界.

1　预备知识

那么系统(2)被称为随机最终有界[9].

定义3(伊藤公式) 设dx(t)=udt+vdB(t)是n维Ito过程，g(t，x)=(g1(t，x)，…，gp(t，x))是从[0 ,∞ ]×Rn到Rp的C2映射，那么过程x(t，w)=g[t，x(t)]也是一个Ito过程，它的分量Yk为

2　定理的证明

定理1 若假设H1成立，那么系统(2)对于任意初值在t≥0上有唯一的正的全局解(x(t)，y(t))[11].

并且

式中

这里的F(x，y)有界，那么存在一个常数K1∈R+，因此有F(x，y)≤K1，从而得到

再次应用伊藤公式，得到

令k→∞，有

这说明

因为且

所以有

这说明

令证明完毕.

定理3 如果假设H1成立，那么系统(2)随机最终有界.

证明 根据定理2，令θ=1/2，那么存在一个常数K2使得

因此

这说明

3　结论

本文研究一类两种群随机Lotka-Volterra捕食-食饵模型，在时滞作用的影响下，在外界环境噪音的假设下，通过应用伊藤公式、 Chebyshev不等式等随机微分方程相关知识，证明系统存在唯一正的全局解，并且这个解随机最终有界.

参考文献

[1]ROSENZWEIG M L，MACAR R.Graphical representation and stability conditions of predator-prey interactions[J].Amer Nat.1963，97：209-223.

[2]ROSENZWEIG ML.Why the prey curve has a hump[J].Amer Nat，1969，103：81-87.

[3]ROSENZWEIG M L.Paradox of enrichment：destabilization of exploitation ecosystems in ecological time[J].Science，1969，171：385-387.

[4]MAYNARDSJ.Models in ecology[M].Cambridge：Cambridge Univ Press，1974.

[5]陈兰荪，井竹君.捕食者-食饵相互作用微分方程的极限环存在性与唯一性[J].科学通报，1984，24(9)：521-523.

[6]HSU S H，HUANG T W.Global stability for a class of predator-prey systems[J].SIAM J APPl Math，1995，55：763-783.

[7]贾建文，胡宝安.具Ⅱ类功能反应性的非自治捕食扩散系统的全局稳定性[J].Journal of Biomathematics，2000，15(4)：434-442.

[8]范猛，王克.一类具有HollingⅡ型功能性反应的捕食食饵系统全局周期性解的存在性[J].数学物理学报，2001，21(4)：492-497.

[9]郭丽娜.具有Holling机能反应的捕食-被捕食随机模型[D].武汉：华中科技大学，2013.

[10]华盈盈，杨志春.具有随机扰动和比率依赖的Holling型捕食食饵的正解存在性[J].重庆师范大学学报，2011(5)：41-44.

[11]MAO X.Stochastic diferential equations and applications[M].Chichester：Horwood Publishing，1997.

(责任编辑：沈凤英)

A Stochastic Model on Predator-prey System of Two Species with Ratio and Time Delay Dependence

SUN Jie
(School of Applied Mathmatics，Nanjing Unversity of Finance & Economics，Nanjing 210046，China)

Abstract：A class of two species stochastic Lotka-Volterra predator-prey system is discussed.It shows that under a suitable hypothesis on the environmental noise，the stochastic Lotka-Volterra system has a unique global positive solution and this positive solution will be stochastically ultimately bounded.

Key words：stochastic Lotka-Volterra predator-prey system；ITO formula；stochastically ultimatically boundedness

作者简介：孙 杰(1990-)， 男，江苏淮安人，硕士生，主要从事非线性分析与经济应用研究.

收稿日期：2015-11-21；修回日期：2015-12-22

DOI：10.16219/j.cnki.szxbzk.2016.01.012

中图分类号：O175

文献标志码：A

文章编号：1008-5475(2016)01-0054-04

引文格式：孙杰.一类基于比率与时滞依赖的捕食-食饵系统的随机模型[J].苏州市职业大学学报，2016，27(1)：54-57，66.