基于高层次数学认知的课堂实录研究

胡曦茜+++周超

摘 要： 无论是国内的青浦实验还是国外的许多研究，都体现了我国中学生对高层次数学认知的缺失，因此，作者通过对九年级《反证法》的一节课的具体研究，分析目前课堂教学中各层次数学任务的所占比例及落实情况，对如何在课堂教学中提高学生的数学认知水平提出具体建议。

关键词： 高层次 数学认知 课堂教学

在目前的数学教育中，人们普遍认为中国学生善于解决常规问题，而不善于解决非常规、开放性问题，这一观点在国内外多项研究中都得到了验证。顾泠沅教授组织的青浦实验在1990年和2007年分别对八年级学生的数学认知水平进行了大样本的测试。这两次测试的结果表明，学生在“计算”、“概念”、“领会”水平上已经取得了较大的突破，但是在“分析”水平上，不但几乎没有任何进步，反而还有倒退的迹象。解决非常规、开放性问题和顾泠沅教授所划分的“分析”水平，均属于高层次数学认知。因此，什么是高认知层次数学任务，以及如何在课堂教学提高学生高水平数学认知亟待解决。

对此，鲍建生等人根据青浦实验小组的数学认知水平分析框架，认为“分析”水平应包括以下五点高认知层次数学任务：

（1）发现并形成合适的数学问题：从各种情境中发现所包含的数学要素、关系或结构，提出合适的数学问题；

（2）解决非常规的和开放性的数学问题；

（3）提出猜想与构造模型：分析条件和结论间主要关系或重点步骤，形成假设或初步的数学模型；

（4）特殊化与一般化：全面结合已分解的各要素及其关系，按照模型需要对已有的数学概念、程序、性质和命题进行推广或特殊化；

（5）数学推理与证明：用数学语言形成结论并给出严格的证明。

本文将以此为框架，对一节具体的九年级数学课进行课堂实录研究。

1.《反证法》内容及教材分析

本节课是华东师范大学版初中九年级教材下册29.2节《反证法》，在教学中，学生需要体会反证法的含义，掌握反证法的步骤与综合法的根本区别，并且能用反证法证明一些较简单的命题。反证法是一种常用的数学证明方法，但是，对九年级学生来说，反证法需要较高的数学思维水平，且反证法是他们从来没有接触过的证明方法，因此让学生理解反证法的含义和掌握证明步骤成为本节课的教学重点。同时，寻找问题的反面是本节课的难点。

2.教学过程分析

表1 各数学任务用时分布情况表

本节课包括：情境引入、方法形成、反证法证明过程的分解练习、例题、练习、扩展练习、总结7个部分，将每个部分细化，与上述框架对应，笔者发现，本节课教师对其中四点落实较好，但较少涉及解决非常规和开放性的数学问题。具体过程如上表：

2.1形成并发现合适的数学问题。

这节课在情境引入和方法形成的第一步中，教师帮助学生形成并发现合适的数学问题。

首先，引入课题的是两个现实生活中的情境，这两个问题用反证法更容易解释得清楚，但教师直接让学生解释，在学生解释不清的时候，再提示学生从结论的反面入手。这样的做法给了学生充足的思考时间，这就帮助学生发现并形成合适的数学问题，即，什么样的问题需要用反证法证明？反证法的好处是什么？怎么用反证法证明？在方法形成的第一步中，教师同样做到了引导学生发现和形成数学问题，请看第一步的教学实录：

师：我们看一个具体的数学问题。在一个△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，且∠C=90°，那么a■+b■+c■.这个命题是真命题吗？

生：是。

师：这是什么？

生：勾股定理。

师：这就是我们熟悉的勾股定理。接下来教师把他改一改我把刚才的∠C=90°改成∠C≠90°，a■+b■改成≠c■，这是真命题吗？

生：是。（回答人数不多，学生有些犹豫。）

师：是。为什么呢？

师：思考一下，这个问题很难直接回答，那我们是不是也可以从它的反面来讲一讲。想想看我们这个命题是要得到a■+b■≠c■，它的反面是什么呢？

生：a■+b■=c■.

师：那么我假设a■+b■=c■，你会得到一个什么结果？

生：∠C=90°.

师：为什么会得到∠C=90°呢？

生：因为勾股定理的逆定理。

师：也就是说因为勾股定理的逆定理知道这是一个直角三角形，因为C是斜边，所以∠C=90°。这与已知条件中∠C≠90°矛盾。一旦出现矛盾，说明假设还成立吗？

生：不成立。

师：那么就是导致了a■+b■=c■这个命题不成立，也就是a■+b■≠c■，这个命题是一个真命题。

这个过程中，教师一直在引导学生，给出提示，让学生自己说出结果。虽然处理方法与情境引入相似，但情境引入是两个生活实例，而这个问题是一个纯粹的数学问题。如果在情境引入中教师能启发学生发现并形成数学问题，那么在这个问题中，教师希望学生自己能发现这个问题与情境引入中问题的相似，从而自己发现问题中包含的数学要素、关系和结构，形成数学问题。

2.2解决非常规和开放性的数学问题。

在本节课的最后，进行完例题与习题的讲解，教师给出了一个有趣的问题，如下：

讨论问题：有A，B，C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C说A，B都撒谎，则C必定是在撒谎，为什么？

这是一个非常规和开放性的数学问题，在之前的授课中，学生练习的均为常规的程序性数学问题，这道非常规开放性的数学问题有利于拓宽学生思路，同时加深对反证法的理解，让学生感受数学与生活的联系，提高学生学习兴趣。但是可惜由于时间关系，教师仅仅用自己提问然后自己回答的方式，证明了一下C必定撒谎这一结论，整个过程用时很短，从课堂反应上看，学生似乎对此问题的理解不够。

2.3提出猜想与构造模型。

在方法形成的第二步，教师引导学生提出了勾股定理的否命题，便在黑板上板书了反证法的详细证明步骤。值得一提的是，教师并没有自己归纳，而是请一名同学回忆上述问题的证明过程，自己归纳。这便做到了提出猜想与构造数学模型。对具体问题的证明和抽象出一般的证明方法之间有着较大跨度，让学生自己归纳有利于培养学生分析条件和结论之间主要关系或重点步骤，形成初步数学模型的能力。

2.4特殊化与一般化。

在形成一般化的证明方法以后，教师适时地按照证明步骤回顾了情境引入和勾股定理否命题这两个问题的证明。这样的做法正好符合了一般化与特殊化的原则，全面结合已分解的各要素及其关系，按照模型需要对已有的数学概念、程序、性质和命题进行推广或特殊化。回顾例子的过程有利于让学生把程序化的证明方法和证明过程的实际联系起来，深化对反证法证明过程的理解。

接着进行了对反证法证明过程的分解练习，具体做法如下：

第一步：练习如何进行假设。让学生说出“a//b”、“∠A不小于60度”、“线段AB，CD互相平分”、“至少有一个”这四个命题的反面是什么。

第二步：给出证明的大致框架，让学生填空。

在△ABC中，AB≠AC，求证：∠B≠∠C。

分解练习对于初学者来说有一定的必要性，教师由于有较多的教学经验，知道学生对于反证法的薄弱环节在于第一步“假设”。“假设”其实是对结论进行否定，而对于初中学生来说，对“不大于”、“至少有一个”这样的命题进行否定存在比较大的困难，教师第一步进行假设的练习解决了学生普遍存在的这一类问题。在第二步中，给出证明框架，让学生填空的做法，是给予了学生一个对反证法整体思路的熟悉过程。这种循序渐进的教学方法对于学生的接受有积极作用。同时，上述的第四点特殊化与一般化要求：全面结合已分解的各要素及其关系，按照模型需要对已有的数学概念、程序、性质和命题进行推广或特殊化；而这两步分解练习是对模型（反证法的证明步骤）中的各个要素进行分解和详细阐释，为学生进一步进行特殊化做好了铺垫。

分解练习之后，又讲解了两道例题，并请同学在黑板上板书了一道习题。这同样也是对反证法证明模型的进一步运用，通过分解练习和例题的讲解，学生在练习中反应较好。

2.5数学推理与证明。

以上进行例题的讲解和练习的过程同时也是数学推理与证明的过程。教师多次强调证明的格式规范，学生也能够对所给习题进行严格证明。

3.教学建议与反思

综合对本节课以上五个方面的考察，笔者认为，教师在课堂教学中应注意以下方面。

3.1在发现并形成合适的数学问题之初，教师应留给学生足够的思考时间。

就本节课而言，反证法这种证明方法很可能是学生从来没有在数学学习中接触过的，因此，对于情境引入中的实际问题，即使他们明白其中道理，并且发现从正面去解释存在困难，他们也想不到用反证思想。这个时候，教师应适当提示，步步引导，并且在此过程中给予学生充足的思考时间。如果这个时候教师急于说出答案，那么让学生发现和形成合适的数学问题就变成了老师给出合适的数学问题，学生从一开始对该问题中包含的数学要素、关系和结构认识的不够深刻，这会影响学生掌握和运用该知识。

3.2在课堂中，教师应适当增加非常规和开放性数学问题的比例。

在本节课中，教师一共讲了3道例题和一道习题，再加上5道分解练习，这些题均为学生熟知的几何性质，对于这一类问题，学生掌握较好。而非常规的问题，教师用了一个辨别谁在说谎的开放性问题进行，题目选取得当，有趣味性。然而在对这个问题的处理上，教师并没有给学生思考时间也没有请同学回答，而是自己说出了解答过程，且仅用时1分48秒。虽然当时临近下课，教师这样处理可能是出于对时间的考虑，但是这也多少反映了教师对非常规和开放性的问题不够重视，把一节课主要定位在让学生熟练掌握常规的程序性问题上。然而，一道好的非常规和开放性数学问题不仅有利于加深学生对该知识点的理解，培养学生独立思考的能力和数学问题解决的能力，像这样源于生活的趣味性问题，更能激发学生学习兴趣，让学生体会到数学与生活的联系，从而更热爱数学。因此，适当增加非常规和开放性数学问题的比例十分必要。

3.3构造模型和将模型一般化需要结合起来。

在本节课中，教师先从一道具体问题启发学生用反证法的思想证明，然后让学生回忆刚刚的证明，归纳反证法的一般证明步骤，这就是构造了一个用反证法证明的模型。但老师并没有直接进入例题的讲解，而是立即用刚刚归纳的证明模型再次回顾了之前那道具体问题的证明。这个过程中学生充分理解了模型与具体问题之间的关系，加深学生对模型的理解。因此笔者建议，在教学中教师整理出一类初步的数学模型之后，立即用该模型回顾一个学生已经理解的具体问题，会取得更好的教学效果。