单球面折射成像公式及其应用

张家乐　王化银

(淮北市第一中学　安徽 淮北　235000)



单球面折射成像公式及其应用

张家乐王化银

(淮北市第一中学安徽 淮北235000)

摘 要：物理竞赛几何光学球面折射问题的求解，直接利用单球面折射成像公式，往往能使得求解过程快速而简洁．

关键词：几何光学球面折射物理竞赛

单球面折射问题在竞赛试题中时常出现，参考解法中用到的式子较多，且进行了较多的近似处理，学生不易理解．若直接利用球面介质对光线折射的普通规律——单球面折射成像公式，则能使得求解过程快速而简洁．

1公式推导

如图1，设其中折射球面的球心为C，球面两侧介质的折射率分别为n1和n2，且n1

图1

由于i1和i2都很小，故由近似关系应有sini1=i1，sini2=i2，则上式变为

n1i1=n2i2

又由图中的几何关系可以看到i1=α+θ和i2=α-β，代入上式便为

以h表示图中B点到主光轴的距离，R表示球面半径，则由小角的近似关系可以得到

代入上式并整理可得

上式即为单球面折射时的物像距公式，式中各物理量的正、负取值有一定的规则，这一规则是：入射光线从左方射来时，球心在界面的右侧，则R取正值，球心在界面左侧，则R取负值；实物和实像的物距和像距都取正值；虚物和虚像的物距和像距都取负值．

2竞赛试题解答

2.1题目1

【例1】(第32届全国中学生物理竞赛预赛第16题)如图2所示，一垂直放置的高为15.0 cm的圆柱形中空玻璃容器，其底部玻璃较厚，底部顶点A点到容器底平面中心B点的距离为8.0 cm，底部上沿为一凸起的球冠，球心C点在A点正下方，球的半径为1.75 cm．已知空气和容器玻璃的折射率分别是n0=1.0和n1=1.56．只考虑近轴光线成像．已知：当λ≪1时，sinλ≈λ．

(1)当容器内未装任何液体时，求从B点发出的光线通过平凸玻璃柱，在玻璃柱对称轴上所成的像的位置，并判断像的虚实；

(2)当容器内装满折射率为1.30的液体时，求从B点发出的光线通过平凸玻璃柱的上表面折射后所成像点的位置，并判断这个像的虚实．

图2

2.1.1原解答

(1)容器底部凸面两侧介质的折射率分别是n1=1.56和n0=1.0．如图3，由B点发出的经过球心C的光线BA经过顶点A后，方向不变，进入空气中；由B点发出的与BA成α角的另一条光线BD在D点折射，设折射角为φ，并与前一条出射光线交于E点，E点即B点的像点的位置．

图3

由折射定律和几何关系得

n1sinθ=n0sinφ

(1)

γ=α+θ

(2)

φ=γ+β

(3)

在三角形BCD和三角形CDE中 ，由正弦定理可得

(4)

(5)

由于只考虑近轴光线成像，所以α，β，θ，φ都是小角度，式(1)、(4)、(5)可写为

n1θ=n0φ

(6)

(7)

(8)

由式(6)、(7)可得

所考虑的光线是会聚的，故所成的像为实像．由式(2)、(3)、(6)、(7)、(8)可得

将题给数据代入上式得

1.75 cm=9.75 cm

(9)

由式(9)和题给数据得

(8.0-1.75+9.75) cm=16.0 cm

(10)

B点发出的光线通过平凸玻璃柱，在玻璃柱对称轴上所成的像点的位置在C点正上方9.75 cm处或在B点正上方16.0 cm处．

(2)容器底部凸面两侧介质的折射率分别是

n1=1.56和n2=1.30．如图4，由B点发出的经过球心C的光线BA经过顶点A后，方向不变，进入液体中；由B点发出的与BA成α角的另一条光线BD在D点折射，设折射角为φ，并与前一条出射光线交E点，E点即B点发出的光线第一次折射后所成像点的位置．

图4

由折射定律和几何关系可得

n1sinθ=n2sinφ

(11)

γ=α+θ

(12)

γ=φ+β

(13)

在三角形BCD和三角形CDE中 ，由正弦定理可得

(14)

(15)

由于只考虑近轴光线成像，所以α，β，θ，φ都是小角度， 式(11)、(14)、(15)可写为

n1θ=n2φ

(16)

(17)

(18)

由式(16)、(17)可得

所考虑的光线是发散的，故所成的像为虚像．由式(12)、(13)、(16)、(17)、(18)得

将有关数据代入上式可得

1.75 cm=26.25 cm

(19)

由式(19)和题给数据得

(1.75+26.25-8.0) cm=20.0 cm

(20)

B点发出的光线通过平凸玻璃柱，第一次折射后所成的像点的位置在C点正下方26.25 cm处或在B点正下方20.0 cm处．

2.1.2利用单球折射成像公式解答

(1)当容器内未装任何液体时，根据单球面折射成像公式得

即

解得

v=8.0 cm

所成的像点的位置在A点正上方8.0 cm处，即B点正上方16.0 cm处．

(2)当容器内装满折射率为1.30的液体时，根据单球面折射成像公式得

即

解得

v=-28.0 cm

所成的像点的位置在A点正下方28.0 cm处，即B点正下方20.0 cm处．

2.2题目2

【例2】(第25届全国中学生物理竞赛预赛第19题)

如图5所示，一细长的圆柱形均匀玻璃棒，其一个端面是平面(垂直于轴线)，另一个端面是球面，球心位于轴线上．现有一根很细的光束沿平行于轴线方向且很靠近轴线入射．当光从平端面射入棒内时，光线从另一端面射出后与轴线的交点到球面的距离为a；当光线从球形端面射入棒内时，光线在棒内与轴线的交点到球面的距离为b．试近似地求出玻璃的折射率n．

图5

2.2.1原解答

入射的两条光线如图6所示．α1和β1是从平端面入射的光线通过球形端面时的入射角和折射角；α2和β2是从球形端面入射的光线通过球面时的入射角和折射角．根据折射定律有

nsinα1=sinβ1

(21)

sinα2=nsinβ2

(22)

图6

由几何关系有

β1=α1+δ1

(23)

β2=α2+δ2

(24)

设球面的半径为R，注意到α1，α2，δ1，δ2都是小角度，故有

Rα1=aδ1

(25)

Rα2=aδ2

(26)

根据题给的条件，式(1)、(2)可近似表示成

nα1=β1

(27)

α2=nβ2

(28)

由式(3)~(8)得

(29)

2.2.2利用单球折射成像公式解答

根据单球面折射成像公式得

当光从平端面射入棒内时

当光线从球形端面射入棒内时

解以上两式得

竞赛试题的原解答，相当于将单球面折射成像公式从头至尾又推导了一遍，其中涉及到折射定律、几何关系及近轴光线情况下近似处理，过程呈现中用到的式子也必然较多．但这种解法辅助以光路图，成像位置、虚实，一目了然，较为直观．直接利用单球面折射成像公式求解此类问题，省去了中间推导的繁杂过程，简洁、明了，像的虚实也可以根据像距v的正负进行判断．对于高强度的物理竞赛拔尖选优考试，后一种方法更为高效、省时，同时也能反映出学生对物理钻研的深度与广度．

参 考 文 献

1程稼夫．中学奥林匹克竞赛物理讲座．合肥：中国科学技术大学出版社，2000

(收稿日期：2015-10-17)