替换电阻简化电路*

(石狮市第一中学　福建 泉州　362700)



替换电阻简化电路*

(石狮市第一中学福建 泉州362700)

摘 要：对于某些复杂电路，用串联或并联的两个电阻替换电路中的某个电阻，能有效地简化复杂电路，可简便计算等效电阻等有关问题．

关键词：替换电阻串联替换并联替换简化电路

等效替换是一种重要的物理方法．在解决某些复杂电路问题时，可将电路中的某个电阻用串联或并联的两个电阻来替换，能有效地简化复杂电路，计算等效电阻，从而方便地解决问题．

1串联替换

所谓串联替换，就是将如图1(a)所示的电阻R，用串联形式的两个电阻R1和R2来替换，且R=R1+R2，其中R1=mR，R2=(1-m)R，m是一个正的实数，如图1(b)所示．替换之后，a与b两端点间的电压等于各分段电压之和．

图1

【例1】在如图2所示电路中，R1=R4=R5=1 Ω，R2=R3=2 Ω，若a与b两端点间的电压为U，求a与b两端点间的等效电阻Rab及c与d两端点间的电压Ucd．

图2

解析：本题如果仅利用一般的电阻串、并联公式，不可能计算出Rab，若直接应用基尔霍夫定律则需要解多个冗长的一次方程组．

下面用替换电阻的方法来求解．

将电阻R2用两个电阻mR2和(1-m)R2串联的形式来替换，如图3．取c′为mR2和(1-m)R2的连接点，令c′点和c点电势相等．

图3

设电阻R1，R2，R3，R4，R5中的电流分别为I1，I2，I3，I4，I5，由于电路的对称性，可以看出

I1=I4I2=I3

由于

I1R1=mR2I2

I5R5=(1-m)R2I2

I2+I5=I4=I1

由此可得

解得

因而图1电路可等效为图4电路，通过串、并联计算求出

图4

或者，不仅将电阻R2替换为两个电阻mR2和(1-m)R2串联的形式，同时也将电阻R3替换为两个电阻mR3和(1-m)R3串联的形式，这样图1电路可等效为图5的电路，通过串、并联计算可求出

图5

2并联替换

图6

图7

在上面例1的解答中应用串联替换法，将单个电阻R2(以及R3)替换为两个电阻串联的形式．下面用两种不同的并联替换的方法解答例1．

解法1:在图2电路中，设电阻R1，R2，R3，R4，R5中的电流分别为I1，I2，I3，I4，I5，由于电路的对称性，可以看出

I1=I4I2=I3

因为I1=I3+I5，如图8(a)，将R1用并联的两个电阻R11，R12来替换，且R11，R12中各自流过的电流I11，I12满足：

I11=I5I12=I3

由I2=I3=I12和a与d间的电压，得出

I11(R11+R5)=I12R2

所以

代入电阻具体数值，得

n=3R11=3 ΩR12=1.5 Ω

于是，图2电路可简化为等效的图8(b)电路．

或者，由于对称性，将R1用并联的两个电阻

R11=3 Ω、R12=1.5 Ω替换的同时，将R4也用并联的两个电阻R41=3 Ω，R42=1.5 Ω来替换，这样图2电路也可等效为图8(c)电路．

由图8(b)或图8(c)，经过串、并联计算，可得

Rab=1.4 Ω

图8

解法2：根据I1=I4，I2=I3，将R5看成是由通有电流I1的R51和通有电流I2的R52的两个电阻并联而成，如图9所示．因为电流I1与电流I2的流向相反，于是n<1．

图9

I1R51+I2R52=0

I1(R1+R4+R51)=I2(R2+R3+R52)

代入电阻具体数值，得

3替换电阻方法的应用

3.1处理任意惠斯通电桥问题

【例2】如图10所示的惠斯通电桥，电阻R1，R2，R3，R4，R5的具体阻值未知，若流入a端点的电流为I0，求流过电阻R1，R2，R3，R4，R5中的电流．

图10

图11

由于

I5(nR1+R5)=I2R2

I5(R5+mR4)=I3R3

I1+I2=I0

所以

I0=nI5+(m-1)I5

即

因为

或

mR2-nR1=R5-R2

nR3-mR4=R5+R3

故

当求出m和n，就可知通过所有电阻的相应电流值

显然，m=n=∞，相当于一个平衡电桥．

因此

R2R3-R1R4=0

或

3.2简化框架类电路

【例3】如图12所示，立方体框架由12根相同的金属丝连接而成，每根金属丝的电阻为r．若电流从A点流入，从B点流出．求A与B点间的等效电阻．

图12

解析：由于电路的对称性，可用I1，I2和I3表示出每根金属丝中的电流，如图13所示．

图13

即m=2．

图14

A与B两点间的电压为

整理得

解得

n=5

于是

根据图14电路，通过串、并联计算可得

陈龙法**福建省教育科学“十二五”规划2015年度常规课题“高中物理教材二次开发案例研究”，项目编号：FJJK15-454作者简介：陈龙法(1961-),男，中学高级教师，主要从事高中物理教学与研究.

(收稿日期：2015-12-04)