对一道高考数学压轴题的分析

修 昊●

辽宁省庄河高中三年十一班(116400))



对一道高考数学压轴题的分析

修 昊●

辽宁省庄河高中三年十一班(116400))

对多年来高考的实际情况进行分析可知，人们的关注度非常高，而在高考数学中，压轴题的难度较大，需要学生具备较强的综合能力、开放性思维，才能找到解题方法.因此，本文就对一道高考数学压轴题进行合理分析，以便为高考生提供可参考依据.

高考；数学；压轴题；分析

在实际解答高考数学的各种题型时，压轴题会给学生带来极大压力，甚至使学生出现畏惧心理，从而失去自信心.因此，对高考数学压轴题的解答进行正确引导，可以有效调节学生的心理压力，从而避免高考生的数学成绩受到过大影响.

一、高考数学压轴题的现状

同其它类型的考试相比而言，高考的选择性非常强，因此，高考数学压轴题在设计时有着一定阶梯性，即使平时表现良好、基础知识比较牢固的学生，在解答压轴题时也会出现胆怯的心理.目前，大部分学生在日常的压轴题解答中，没有养成比较良好的学习习惯，也没有形成属于自己的解题思路、方法等，以及学生没有形成挑战和解答压轴题的习惯，从而在高考中解答压轴题时出现无从下手的情况，最终降低高考生的压轴题得分率.

二、对一道高考数学压轴题的分析

本文就近几年的高考数学压轴题进行抽样调查发现，其涉及的数学知识点主要有如下几个方面：一是，不等式证明；二是，数列方面；三是，函数方面；四是，圆锥曲线方面，而有两个问题的高考数学压轴题为十道左右，有三个问题的为八道左右.本文就2014年某个省的高考数学压轴题进行分析，其涉及的是抛物线、方程式方面的内容.

(一)题目

在平面直角坐标系xOy中，点M到y轴的距离比其到点F(1,0)的距离少1，其中，点M的轨迹是C.

(二)求解的问题

第一，求轨迹C的方程；第二，假如斜率为k的直线l经过的定点为P(-2,1)，那么直线l和轨迹C有一个公共点、两个公共点和三个公共点的时候，k的取值范围具体应该是多少？对该题目进行整体的分析可知，其考查的主要是课本上相关知识点之间的通性，以及轨迹方程的求解方法、直线与抛物线之间的关系、函数与方程的相关性、学生的推理能力等.同时，该类型的高考压轴题需要的运算量不大，难度属于中等，与课本上的内容比较接近，并且，充分考验学生的学科能力、思维能力等，以全面体现学生的运算求解能力.

(三)具体的求解分析

根据第一个问题的内容可知，轨迹C的方程求解，是对曲线、方程之间的关系进行考查，考验通过题目的意思将点M的坐标满足关系式列出来，即|MF|=|x|+1,接着将这个关系式化简，便可以得到轨迹C的方程.通过考查学生比较熟悉的知识点，有利于增强学生的自信心，从而缓解学生的心理压力.

在进行第二个问题的解答时，想要对直线l与轨迹C之间的交点个数进行正确判断，通常采用的解题方法是解析法，以对直线l方程、轨迹C方程共同组成的方程组进行解题讨论，从而根据方程组的解答情况来进行直线l与轨迹C之间的交点个数的判断，是一种属性转化、化归思想的具体体现.

一般轨迹C的方程可以转化为如下两种：第一，C1；第二，C2，以对直线l方程、轨迹C1方程共同组成的方程组和对直线l方程、轨迹C2方程共同组成的方程组进行合理讨论.其中，在进行对直线l方程、轨迹C1方程共同组成的方程组的讨论时，k要分为两种情况，即k等于0和k不等于0，并且，在k不等于的时候，Δ有三种情况需要分别讨论，即Δ>0、Δ=0、Δ<0,是分类与整合思想的充分体现，在考查学生综合能力、归纳能力、逻辑思维能力等方面有着极大要求.

(四)具体的解题流程

第一个问题.将点M假设为(x,y)，那么根据题意有：在x≥0的情况下，点M到直线x=-1的距离和其到点F(1,0)的距离是一样，根据抛物线的定义可以将点M的轨迹C的方程是C1，即y2=4x；在x<0的情况下，点M到直线x=1的距离和其到点F(1,0)的距离是一样，因而点M的轨迹C的方程是C2，即y2=0.总之，点M的轨迹C的方程是y2=4x(x≥0)和y2=0(x<0)共同组成的.

第二个问题.根据题目的内容可知，直线l的方程可以列为：y-1=k(x+2).

首先，对直线l和C2之间的公共点个数进行判断.在k等于0的时候，直线l和x轴是相对平行的，则直线l和C2之间没有公共点；在k不等于0的时候，根据方程组y-1=k(x+2)和y=0(x<0)，可以求解出x=-(2k+1)/k,因此，在k<-1/2或k大于等于0的时候，直线l和C2之间有的公共点个数是一个；在-1/2≤k<0的时候，直线l和C2之间是没有公共点的.其次，对直线l和C1之间的公共点进行判断.根据方程组y-1=k(x+2)和y2=4x，可以得出：ky2-4y+4(2k+1)=0，即k等于0时，直线l和C1之间的公共点有一个，而在k不等于0的情况下，如果Δ>0，则公共点个数为两个；如果Δ=0，则公共点有一个；如果Δ<0,则没有公共点.

总之，高考生在准备参加高考之前，需要对各个数学知识点进行统筹复习，加强各个知识点之间的联系，并增强自己的信心，正确面对高考数学压轴题，才能获得较好的高考成绩.

[1]李仲凯.正确看待高考数学压轴题[J].高中生,2014,15:28-29.

[2]闫东,李艳玲.小题大做——基于高考数学压轴题的教学设计[J].时代教育,2014,18:38.

[3]段留安.一道高考数学压轴题的简便解法[J].中学生数理化(教与学),2014,07:94.

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