大跨度斜拉索自重下的垂度分析

刘　平，许　慧，璆　玮

(1.江苏科技大学　土木工程与建筑学院，江苏　镇江　212003；

2.安徽理工大学　土木工程学院,安徽　淮南　232000)



大跨度斜拉索自重下的垂度分析

刘平1，许慧2，璆玮1

(1.江苏科技大学土木工程与建筑学院，江苏镇江212003；

2.安徽理工大学土木工程学院,安徽淮南232000)

摘要：为研究斜拉索垂度对大跨、超高斜拉桥拉索长度及索力的影响，采用解析方法研究了斜拉索伸长量及索力与斜拉索荷载、拉索长度及高度的关系，并给出其理论表达式。采用同时考虑斜拉索张拉预应力与重力耦合作用的方法，从而无需假设斜拉索在垂度方向上的变形为悬链线曲线。分析结果表明，斜拉索垂度的关键影响因素是拉重比，即拉索重度与拉索高度之积与拉索应力比；拉索最大挠度处不在拉索中点位置，而是向重力方向有一些偏移，偏移量大小与拉重比成正比；拉索最大挠度值与拉索长度的二次方成正比，与拉重比成反比；当拉重比较小时，本文结果可简化为Ernst公式。

关键词：桥梁工程；大跨斜拉桥；Ernst公式；垂度分析；非线性

0引言

斜拉索以其优越的跨越能力、合理的受力特点及新颖的结构形式、美观的表观造型，成为现代桥梁工程中发展最快、革新最快、最具竞争力的桥型之一[1-4]。斜拉索作为斜拉索桥梁当中最重要的受力构件，承担着结构大部分的荷载。由于斜拉索刚度小、重力拉力比低等特点，其几何非线性特点非常突出[5-6]。在各种非线性影响因素中，以大位移与斜拉索垂度的影响最大[7-10]。传统考虑垂度影响的方法是采用Ernst公式，该公式由德国工程师Ernst于1932年首先提出，考虑了重力对于斜拉索垂直方向影响效应。该方法形式简单，物理意义明确，为业界广泛接受。但是，在他的方法中，忽略了重力在斜拉索方向分量的影响，因此，斜拉索挠度曲线为悬链线。在最大挠度与拉索长度比为小量的情况下，进一步假设拉索挠度曲线为二次抛物线。事实上，在工程上拉索应力、密度、长度范围内，以抛物线代替悬链线是合理的，而忽略重力在斜拉索方向分量的影响却值得商榷。

1方程与求解

斜拉索作为斜拉桥的主要受力构件，在施工过程中及桥梁成形后，所受的力主要有自重及张拉力(风、雨荷载不直接作用于张拉索)及拉索端点振动力或偶尔如地震等作用。在静力分析时，不考虑拉索端点约束及偶然振动，其受力示意如图1所示。其中，L为拉索直线长度(也就是两端点距离)，H为拉索竖直方向投影长度，B为拉索水平方向投影长度，α为拉索长度方向与水平方向的夹角，y为拉索挠度，fm为挠度最大值。

图1　斜拉索受力示意Fig.1　Schematic diagram of cable force

1.1平衡方程

(1)

显然，如果α=0，则方程简化为水平拉索，可以知道，此解为悬链线方程[11]；如果α=π/2，此解为一直线(加上边界条件，可以确定其解为竖直直线)。

1.2方程讨论与求解

在α≠0的情况下，从理论上讲，式(1)也可以求得解析解。不过，由于解过于复杂，物理意义不明显。因此，根据实际物理条件限制，对此方程作一些适当简化，以突出方程及解的物理意义，适应工程需要。

式中，σ0为拉应力值，取值为700～1 100 MPa；ρ为拉索折合密度(包括套管、油脂及装饰物重量)，可取20×103kg/m3；g为重力加速度，可取10[12-14]。将此假定与变换式代入式(1)，有：

(2)

边界条件为：左右两端端点值y(x1)=y(x2)=0， 且有x2-x1=L。求解式(2)并且代入边界条件可得拉索挠度方程为：

(3)

1.3方程解的讨论

(4)

同时，由式(3)可知，方程的形式为对数函数，与一般常用假设挠度为二次抛物线是不同的。但是，如果忽略二阶小量，将式(4)代入式(3)中，有：

则式(3)有：

(5)

对于x1，x2，C分别忽略二阶小量，可以有：

(6)

可以看出，x1，x2的值相当于在拉索中心有个偏移量，此偏移数值与拉索半长的比值为|x1-L|=β/6。此偏移值也可以认为是挠度最低点位置由拉索中心处向重力方向的偏移值。从图2可以看出，偏移比在拉重比β<1.5时，呈一次线性关系；只有在β较大时，与一阶理论值误差才逐步增大。

图2　偏移比与拉力/重力比曲线Fig.2　Curves of offset ratio vs. tensile-weight ratio

2方程解与Ernst公式比较

在工程应用中考虑拉索垂度效应最常用的方法是利用Ernst公式，其基本考虑是假定垂度引起的拉索曲线为左右对称二次抛物线；并且，其垂度与拉索长度相比为小量。这种假定实际上只考虑了拉索重力在拉索法向上的分量而忽略了重力在拉索长度方向分量的影响。根据其基本假定，由于垂度效应所引起的拉索挠度与拉索伸长量为[15-16]：

(7)

本文综合考虑拉索自重在拉索方向与垂直拉索方向的影响，在忽略β的二阶项时，垂度影响下的挠度值为：

由于假定x/A为小量，因此忽略L中的x/A高阶小量后的结果为：L=x+x3/6A,代入积分上下限x1,x2后的化简结果为：

与Ernst公式相比，即相当于乘以一个系数值(1+β2/12)。值得注意的是，考虑重力横向效应时，拉索的挠度减小,而伸长量却是增加的。

3结论

斜拉索在张拉力与重力作用下的垂度效应是一种典型的几何非线性现象。一般做法是考虑拉索重力对于垂直拉索的影响，而忽略拉索重力在拉索方向上的分量。在这种假设下，拉索方向上的拉力分量为定值，所得的拉索形状为悬链线[17]。本文综合考虑到重力在垂直拉索方向与平行拉索方向的效应，计算结果表明决定能否忽略此项分量的关键参数为β=ρg·H/σ0；在理论结果基础上，与Ernst公式比较，得出以下结论：

(1)拉索最大挠度处不在拉索长度中点位置，而是向重力方向有一些偏移。偏移量大小与β值成正比，偏移量与拉索半长比值为：β/6。

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Analysis of Deadweight Induced Sag of Long-span Stay Cable

LIU Ping1, XU Hui2, QIU Wei1

(1. School of Civil Engineering and Architecture,Jiangsu University of Science and Technology, Zhenjiang Jiangsu 212003，China；2. School of Civil Engineering, Anhui University Of Science & Technology, Huainan Anhui, 232000，China)

Abstract：In order to study the influence of sag of stay cable on cable length and force of long-span ultra-high cable stayed bridge, by using analytical method, the relationship of elongation and cable force with load, length and height of stay cable is researched, and the theoretical formula is presented. The coupling of both the gravity and the tensional pre-stress are considered without the assumption that the stay cable is in catenary shape in vertical direction. The result shows that (1) the key factor of the sag of stay cable is the ratio β which is the ratio of product of unit weight and height to stress of cable; (2) the max vertical displacement of cable is not at the midpoint of the cable, but at the point moving a little to the gravity direction, the offset is proportional to β ; (3) the maximum sag of cable is proportional to the square of cable length and is inversely proportional to β; (4) when β is little, the result can be simplified as the Ernst formula.

Key words：bridge engineering; long-span cable-stayed bridge; Ernst formula; sag analysis; non-linearity

文献标识码：A

文章编号：1002-0268(2016)03-0060-04

中图分类号：U443.38

doi:10.3969/j.issn.1002-0268.2016.03.010

作者简介：刘平(1983- )，男，湖南攸县人，博士.(liupinghaiyan@163.com)

基金项目：江苏省交通运输厅科技项目(2014T06)

收稿日期：2014-11-27