高中数学中“分类讨论”的思想方法

苏怀堂

（北京市第二中学亦庄学校）

高中数学中“分类讨论”的思想方法

苏怀堂

（北京市第二中学亦庄学校）

分类讨论的思想方法在高中数学中占有重要的位置，特别是在高中代数中的作用更加突出。其题目大致分为三类：对所求的变量（或代数式）在其范围内分类讨论；对主变量在其范围内分类讨论，求参变量的范围（或值）；对参变量在其范围内分类讨论，求主变量的范围（或值）。

分类讨论；主变量；参变量

分类讨论的思想方法在高中数学中占有重要的位置，特别是在高中代数中它的作用更加突出。下面对以上三种类型分别进行探究：

一、对所求的变量（或代数式）在其范围内分类讨论

例1.若集合A＝｛x|ax2-2x＋1=0｝（a∈R）只含有一个元素，则实数a的取值范围是［0，1］

解析：由已知，关于x的方程ax2-2x＋1=0只有一个实数根，故应分a=0与a≠0两种情况讨论。

当a≠0时，由Δ=0得a=1，此时方程只有一个实根x=1。

综上所述，a的取值范围是［0，1］。

综上所知，原不等式解集为｛x|-3≤x≤1｝。

由以上例题可知，对所求的变量（或代数式）在其范围内分类讨论时，由于每个结论都符合题意，结果要求并集。

二、对主变量在其范围内分类讨论，求参变量的范围（或值）

分析：本题中x是主变量，a是参数。

由以上例题可知，对主变量在其范围内分类讨论，求参变量的范围（或值）时，由于几个结论要同时成立，结果要取公共部分，即求交集。综上所述，a∈（-3，-1）。4

三、对参变量在其范围内分类讨论时，求主变量的范围（或值）

例4.讨论函数f（x）=ex（x2＋ax＋a＋1）的极值点的个数。

其判别式Δ=（a＋2）2-4（2a＋1）=a2-4a

①当Δ≤0时，即0≤a≤4时，f′（x）≥0恒成立，f（x）在R上是增函数，此时f（x）无极值；

②当Δ＞0，即a＜0或a＞4时，f′（x）=0有两个不等实根，设为x1，x2（x1＜x2）

当x∈（-∞，x1）时，f′（x）＞0，则，f（x）在（-∞，x1）单调递增

当x∈（x1，x2）时，f′（x）＜0，则f（x）在（x1，x2）单调递增

当x∈（x2，＋∞）时，f′（x）＞0，则f（x）在（x2，＋∞）单调递减

由上表可知，a＜0或a＞4时，f（x）有两个极值点。

综上所述，当0≤a≤4时，f（x）无极值；当a＜0或a＞4时，f（x）有两个极值点。

由以上例题可知，对参变量在其范围内分类讨论，求主变量的范围（或值）时，由于几个结论相互独立，结论分别成立。

综上所述，发现高中数学中分类讨论的题目符合基本本文所归纳的情况，而第三类情况出现的较多，高考中也经常涉及。根据分类的对象及所求对象的情况，我们把分类讨论的题目类型主要分为三类：

一、对所求的变量（或代数式）在其范围内分类讨论，其结果要取并集；

二、对主变量在其范围内分类讨论，求参变量的范围（或值），其结果要取交集；

三、对参变量在其范围内分类讨论,求主变量的范围（或值），其结果是独立的，也就是此时本题的结论。

［1］李冬明.高中数学中分类讨论思想的探究［J］.数学学习与研究，2016.

［2］叶文.也谈高中数学中的分类讨论思想［J］.读写算（教育导刊），2014.

·编辑 李建军