基于改进黄金分割法的钻井液流变模式优选

李琪， 王再兴， 沈黎阳， 王耀稼， 李旭阳（西安石油大学石油工程学院，西安710065）

李琪等.基于改进黄金分割法的钻井液流变模式优选[J].钻井液与完井液，2016，33（1）：57-62.



基于改进黄金分割法的钻井液流变模式优选

李琪， 王再兴， 沈黎阳， 王耀稼， 李旭阳
（西安石油大学石油工程学院，西安710065）

李琪等.基于改进黄金分割法的钻井液流变模式优选[J].钻井液与完井液，2016，33（1）：57-62.

摘要钻井液流变参数的计算和流变模式的优选对于钻井作业的顺利进行至关重要。结合数值计算方法、回归分析和最优化的理论，在穷举法的基础上，引入相关指数、残差平方和以及残差方差3个评价标准，利用黄金分割法加快有根区间的收缩速度，提出了改进的黄金分割搜索算法。利用该方法，不用给定迭代初始值，收敛性好，克服了已有钻井液流变模式优选算法的缺点，同时适用于2参数、3参数、4参数流变方程的参数计算与流变模式优选。借助MATLAB语言编制相应计算程序对大量数据进行计算，并与前人的计算结果进行比较，结果表明：所采用的3种回归评价标准是有效的，与改进的黄金分割搜索算法相结合，能够回归出钻井液的流变参数，并准确地优选出流变模式，残差方差的计算结果平均降低了19.70%，计算结果精度更高。

关键词黄金分割法；钻井液；流变参数；流变模式

Optimization of Drilling Fluid Rheology Pattern Using Improved Golden Section Method

LI Qi, WANG Zaixing, SHEN Liyang, WANG Yaojia, LI Xuyang
(College of Petroleum Engineering, Xi’an Shiyou University, Xi’an Shaanxi 710065,China)

Abstract Rheological parameters of drilling fluid and selection of rheology pattern play an important role in drilling operation. Using exhaust algorithm and other methods, such as numerical computation method, regression analysis and optimization theory, three evaluation indices, i.e., correlation index, sum of squares of residues and variance of residues are introduced. Using golden section method, the contraction of the root interval can be accelerated. These studies give birth to the so called improved golden section method. In this improved golden section method, initial iterative values become unnecessary, and the method has good convergence, getting rid of deficiencies of the rheological model presently in use. This method is suitable for the parameter calculation and optimization of rheological patterns using 2-parameter, 3-parameter and 4-parameter equations. Using computer language MATLAB, large scale computation can be realized. Comparison of the computation results and those of others shows that the three evaluation indices presented are useful, and when used in combination with the improved golden section method, rheological parameters can be calculated, and rheological model optimized with good accuracy. The computational result of the variance of residue is reduced by 19.7%, a higher computational accuracy.

Key words Golden section method; Drilling fluid; Rheological parameter; Rheological pattern

常见的非牛顿钻井液流变模式包括宾汉模式、幂律模式、卡森模式、Herschel-Bulkley模式（缩写为H-B模式）、Robertson-Stiff模式（缩写为R-S模式）、双曲模式、Sisko模式、L-M模式以及4参数流变模式等[1-9]。流变模式的优选方法包括流变曲线对比法、剪切应力误差对比法、线性回归分析方法、灰色关联分析方法和非线性最小二乘回归方法等[10-13]。其中流变曲线对比法和剪切应力误差对比法虽然比较简单，但准确性不高[10]；线性回归分析法对于非线性的流变方程（如幂律模式的流变方程），需要经过数学变换将非线性方程转换为线性方程，从而改变了实验误差的统计学性质，计算得到流变参数的估计值是线性模型的最优无偏估计，而不是原非线性模型的最优无偏估计；灰色关联分析方法仅用于2参数流变方程的参数回归；非线性最小二乘回归方法涉及到迭代初始值的给定、 易陷入局部极小点、 多解性的判定等问题[14]。此外， 尚没有人提出4参数流变模式优选问题的解决方法。提出了改进的黄金分割搜索算法，该算法同时适用于2参数、3参数、4参数流变方程的参数计算与流变模式优选，且不需要设定初始值，算法收敛性好，计算结果精度高。

1　回归评价标准

钻井液流变模式优选的方法应分2步进行[13]：①对于每种流变模式，按照一种回归评价标准，回归出流变方程的参数；②按照相同的回归评价标准，比较不同流变模式的计算结果，优选最优流变模式。因此，回归评价标准的确定是首要工作。

由回归分析的知识可知，在回归流变方程的过程中，可以用相关指数R2，残差平方和SSE以及残差方差D（e）来衡量回归方程的可靠性[15]，对应的计算方法如下。

1）相关指数R2。相关指数R2表示回归方程的可靠程度，其值介于0到1之间。R2越接近于1，表示回归效果越好，拟合的回归方程的可信度越高。其表达式为：

式中，SST为离差平方和， 当测量值已知时，SST为常数； N为测量数据点的个数；τi为测量出的剪切应力，Pa；为测量值的平均值， Pa。

2）残差平方和SSE。SSE大于0，由于SST为常数， 因此SSE越小，R2就越大， 回归效果越好，拟合的回归方程可信度就越高。其表达式为：

3）残差方差D（e）。D（e）越接近于0，回归效果就越好。其表达式为：

2　改进的黄金分割搜索算法

黄金分割搜索算法是收缩最快的区间收缩方法之一，原理是通过提高含有最优解的区间的收缩速度，从而更快达到最优解。为求函数f（x）在区间[a，b]上的最小值，可在该区间上取点x1=a+0.382 （b-a）和点x2=a+0.618（b-a），通过比较函数f（x）在这2点的函数值，来决定去掉一部分区间[a，x1] 或[x2，b]，从而使搜索区间长度变小，如此迭代，直至区间收缩为一点或区间长度小于给定的精度为止[16]。文献[17]第1次用这种方法来回归H-B流变方程的参数。文献[18]将黄金分割搜索算法进行了推广，使其能够回归2参数和3参数流变方程的参数。然而，通过计算发现，文献[18]中的方法存在以下几个不足。①算法的收敛性强烈依赖于迭代初始区间的选取。迭代初始区间很难预知，一旦迭代初始区间选取不当，算法会出现不收敛的情形。②在回归3参数流变方程的第一个流变参数时，其他参数是通过线性回归得出的，不是原来非线性方程的最优无偏估计。

在文献[17]和[18]的基础上，对黄金分割搜索算法进行改进：通过引入回归评价标准，在流变参数的定义域内，穷举流变参数的有根区间，利用黄金分割搜索算法加快有根区间的收缩速度。在参数回归过程中，所有参数均通过非线性回归得到，因而得到的参数仍然是原非线性方程的最优估计。

2.1 4参数流变方程的回归算法

4参数流变模式的流变方程为[9]：

式中，τ0是动切应力，Pa；a是牛顿流体部分的黏度，即剪切速率无限大时的黏度，Pa·s；b为非牛顿流体部分的黏度，Pa·sc；c是流性指数，无因次。

下面以4参数流变方程中流变参数的回归步骤为例，介绍流变参数的回归算法。

设集合S={S1， S2， S3， S4}={c， a， τ0， b}，即S中的元素Sj代表第j个流变参数，j=1， 2， 3， 4。流变参数Sj的回归步骤如下，流程框图如图1所示。

1）步骤1（Step 1）。设定sj的初始搜索区间[L，U]为[0，1]，并记Uj=U。

图1　参数回归的流程图

2）步骤2（Step 2）。求解流变参数。由黄金分割搜索算法可以得到Sj（1）=L+0.382（U- L），Sj（2）=L+0.618×（U- L）。令Sj=Sj（1），转到参数Sj+k的回归步骤求得Sj+k（1）；令Sj=Sj（2），转到参数Sj+k的回归步骤求得Sj+k（2），k=j，j+1，……，4-j。

将S1（1）， S2（1）， S3（1）和S1（2）， S2（2）， S3（2）分别带入式（8），求出对应的S4（1）和S4（2）。

3）步骤3（Step 3）。计算相关指数R2。由相关指数R2的计算公式和4参数流变方程可得：

将S1（1），S2（1），S3（1），S4（1）和S1（2），S2（2），S3（2），S4（2）分别代入式（9），求得对应的R12和R22。

4）步骤4（Step 4）。通过比较R12和R22的大小来改变搜索区间：若R12＜R22， 则L=Sj（1）， Sj（1）=Sj（2）， Sj（2）=L+0.618×（U- L）；若则L=Sj（1），U=Sj（2），Sj（1）若R21＞R22， 则

5）步骤5（Step 5）。若|L-U|＜eps（eps为设置的精度），转到Step 6；否则，转到Step 2。

6）步骤6（Step 6）。令Sj=（Sj（1）+Sj（2））/2，若|Sj-Uj|/Uj＜0.1，则需扩大搜索区间[L，U]，取U=2×Uj， Uj=U， 转到Step 1；否则， 得到最优的Sj。

2.2 3参数和2参数流变方程的回归算法

3参数和2参数流变方程中流变参数的回归步骤与4参数流变方程类似， 分别少了1个参数和2个参数。当各个流变方程的流变参数回归出来之后，就可以分别计算第1节提到的回归评价标准，然后对流变模式进行优选。

3　数据处理分析

基于第2节提出的算法，用MALAB语言编制了相应的计算程序，对表1中5组钻井液的流变参数进行了回归计算（见表2），并计算了优选流变模式需要的3个评价标准（见表3）。根据表3中的数据对钻井液流变模式进行优选，结果见表4。

表1　钻井液的原始数据

对表4进行分析，可得到如下结论。

1）3种回归评价标准优选出的结果相同，不存在文献[13]中回归“失效”的问题。从而证明了本文提出的算法和相应的回归评价标准是合理有效的。

2）与2参数流变方程相比，3参数、4参数流变方程能更好地描述钻井液的流变性能。在5组钻井液流变模式优选结果中，并没有出现H-B流变模式，这说明了H-B流变模式并不是描述所有钻井液流变性能最优的流变模式。因此，对其它流变模式的研究至关重要。

3）在只考虑幂律模式、 H-B模式、 卡森模式3种常用流变模式的情况下， 与文献[14]中的结果进行了对比。绘制了残差方差计算结果直方图， 见图2～图4。对于所选用的3种流变模式， 由本文算法计算出的残差方差平均值比文献[14]中计算出的残差方差平均值小19.70%， 表明了该算法的计算结果具有更高的精度；对于所选的5组钻井液，最优的流变模式都是H-B模式， 这说明现场常用的H-B模式比幂律模式和卡森模式有更好的适用性。

表2　改进的黄金分割搜索算法回归出的流变参数

表3　回归评价标准的计算结果

表4　钻井液流变模式优化结果

图2　幂律模式下残差方差计算结果

图3　H-B模式下残差方差计算结果

图4　卡森模式下残差方差计算结果

4　结论

1.提出的改进黄金分割搜索算法同时适用于2参数、3参数、4参数流变方程的参数计算与流变模式优选，且不需要设定迭代初始值，算法收敛性好。

2.利用提出的算法对5组钻井液数据进行了计算，并与前人的计算结果进行了比较。结果表明：提出的算法是有效的，残差方差的计算结果平均降低了19.70%，具有更高的精度。

3.采用的3种回归评价标准是有效的，与改进的黄金分割搜索算法相结合能回归出最优的钻井液流变模式。

参 考 文 献

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收稿日期（2015-9-11；HGF=1506M8；编辑 马倩芸）

作者简介：第一李琪，教授，博士生导师，1963年生，2002年获西南石油大学石油与天然气工程专业博士学位，现在从事石油钻井信息技术、导向钻井等研究工作。电话 （029）88382690；E-mail：liqi@xsyu.edu.cn。

基金项目；国家自然科学基金项目资助（51574194）；西安石油大学优秀硕士学位论文培育项目。

doi:10.3696/j.issn.1001-5620.2016.01.012

中图分类号：TE254.3

文献标识码：A

文章编号：1001-5620（2016）01-0057-06