面向关键设备维修服务的PBC合同与营业中断险集成设计模型及分析

秦绪伟，杨玉佩，康万根，窦 娜

(1.东北大学工商管理学院，辽宁 沈阳 110819；2.东北大学行为与服务运作管理研究所，辽宁 沈阳 110819)

面向关键设备维修服务的PBC合同与营业中断险集成设计模型及分析

秦绪伟1,2，杨玉佩1，康万根1，窦 娜1

(1.东北大学工商管理学院，辽宁 沈阳 110819；2.东北大学行为与服务运作管理研究所，辽宁 沈阳 110819)

高可用度运行是关键设备系统运营企业产生收益的根本保障。为了减小因小概率突发故障造成的严重收益损失以及可能地继发资金流风险，既要设计合理的服务合同增强对服务供应商的激励，又要同时考虑收益损失减缓策略。基于性能合同(PBC)是根据服务结果给予补偿的新兴激励合同，而购买营业中断保险(BI)是减缓关键设备故障继发资金流风险的有效策略。本文以委托-代理理论为建模框架，研究BI保险与PBC合同集成设计模型，探讨购买保险与否两种情景下的PBC合同最优设计和供应商的最优服务能力决策，分析BI保险决策对PBC合同设计方案的影响规律，调查运营商购买BI保险的决策条件。该成果是维修服务运作与金融保险领域跨界研究的首次尝试，其理论分析结果有助于为关键设备运营企业跨部门决策提供指导。

基于性能的合同；营业中断保险；维修服务；关键设备；运作-金融跨界研究

1 引言

关键设备是具有高资产密集、高技术复杂度并与企业关键生产任务直接相关的系统。关键设备系统往往是运营企业(商)获得收益的根本来源，甚至是唯一来源，一旦这类关键设备突发故障，如果不能及时有效恢复，会导致运营商生产或服务全面停顿，给运营企业带来巨额利润损失和声誉损失，可能引发严重的运营商短期资金流风险。据波音公司统计数据，因发动机、航电、起落架等关键子系统异常导致的“停场”(AOG)事件每小时造成15万美元收益损失[1]；据英国能源公司2000-2008年运营统计数据，因关键发电设备突发故障，如汽轮机等，导致每年损失产能的18%[1-2]。由此可见，增加关键设备系统可用度和减少突发故障收益损失是改善此类运营商困境的核心措施。

运营商如何激励维修服务供应商才能有效提高关键设备可用度？关键设备因维修技术复杂、突发故障频率低等特点，近年越来越多的运营商将维修服务完全外包给原始设备供应商(OEM)或专业维修服务供应商，采用新型合同——基于性能的合同(Performance-based contracting, PBC)确定双方权利和义务[3]。PBC合同规定运营商根据服务性能结果给予供应商补偿，它由固定支付(Fixed payment)、性能激励(Performance incentive)等参数项构成；传统基于时间与材料的合同(T&MC)规定运营商根据维修服务所消耗的备件、劳动等资源给予供应商补偿[4]。Guajardo等[5]研究两类合同应用企业案例证实：相对于T&MC合同，PBC合同能够减少备件库存，同时能显著激励供应商积极改善设备可靠性。本文与以委托—代理为建模框架的服务合同设计问题密切相关，其研究进展如下：Kim等[6]最早研究由固定价格合同、成本共担合同、PBC合同及组合构成的设备维修服务合同最优设计问题，分析了合同选择决策对供应商投资服务能力的影响。刘丽文等[7]考虑武器装备的关键部件备件库存与维修构成的闭环服务过程整体外包模式，对比分析PBC合同和T&MC合同对备件可靠性和库存水平的激励机制。Kim等[8]着重考虑关键设备故障率小且后果严重的风险特征，探讨如何设计PBC合同才能激励供应商投资应急维修能力，重点分析故障频率、恢复时间及组合对PBC合同有效性的影响。Jain等[9]考虑PBC模式引发的供应商资金流风险问题，以双边道德风险模型为框架，分别研究线性和分级线性两种PBC合同结构下的供应商服务能力投资行为规律。

运营商是否需要购买营业中断保险来减少突发故障收益损失？营业中断保险(Business Interruption insurance, BI)是为企业因物资财产遭到意外损毁而造成停产、营业中断期间的间接经济损失提供担保的新型险种[10]。在“911事件”后欧美国家的运营商逐渐购买BI保险作为关键设备突发故障风险缓解策略，而在我国BI保险推广还处于起步阶段。Swiss Re(瑞士再保险公司)[11]和徐常梅[12]介绍了欧美国家和我国的BI保险在投保、承保、免责、赔偿计算方法、理赔处理等方面条款。上述文献仅涉及金融保险领域，而将BI保险引入企业运作领域进行运作-保险跨界研究直到2012年才有文献报道。Dong等[13]首次将BI保险作为生产设施突发中断风险防御策略，利用马尔科夫过程模拟多生产周期中的随机停产故障，采用购买BI保险、投资库存和紧急订货来缓解企业严重收益损失，从生产企业角度建立以投保费用、免赔额、最高赔偿限额、库存水平为决策变量的集中优化模型，分别探讨BI保险与库存水平、紧急订货决策之间的交互影响规律，结果表明保险与运作措施之间并不总是存在直观认识的相互代替关系，在特定条件下两者之间存在互补关系；当停机故障严重影响企业资金运转时，BI保险的价值突显；当停机故障发生概率小而持续时间长时，保险的价值也突显；当停机故障发生概率更小而持续时间更长时，紧急采购策略更有效，而保险和库存策略价值下降。Zhen Xueping等[14]针对配送中心的运输中断风险管理问题,分析了应急恢复、BI保险、备份运输、混合BI保险与备份运输这四种策略如何影响配送中心的运输恢复努力水平，证实BI保险与运输恢复存在互补关系，而BI保险与备份运输存在相互替代关系。上述研究表明分属企业财务部门的保险决策与运营部门的运作决策的联合决策意义重大，企业实践中运作-财务联合决策却常常被忽视。

综上，尽管PBC合同模式和购买BI保险是提高关键设备可用度、减少突发故障收益损失的密切相关的有效措施，由于分属不同企业部门和不同研究领域，目前PBC服务合同与BI保险集成设计研究还没有相关文献报道。

本文针对具有突发故障频率低、收益损失严重、可能继发资金流风险等特征的关键设备维修服务问题，从运营商角度解决如下问题：在期望服务性能指标下如何确定PBC合同的固定支付和罚金系数？在什么故障频率特征下需要购买BI保险以及购买什么条款的保险？PBC合同参数与BI保险决策如何相互影响？

2 问题描述

数学符号及其意义说明如下：

μ维修服务能力;μs最低维修能力;λ故障到达率;N故障发生总次数;c单位服务能力成本;Yi第i次故障恢复时间;w固定支付;β运营商成本分担率;p罚金率;k单位时间金融损失;α保险费率;K金融损失;G商誉损失;g单位商誉损失;r运营商单位时间收益;

运营商以某关键设备为产品生产核心设施，计划以PBC模式外包关键设备维修服务给供应商，想尝试以BI保险作为突发故障收益损失的减缓策略。PBC模式的关键设备维修服务过程如图1所示。维修服务通常包括：预防性维修和突发故障应急维修。常规预防性维修对运营商生产收益影响较小，而突发故障却难以避免，突发故障严重损坏运营商生产收益，进而可能导致运营商的资金流风险和商誉损失。突发故障维修工作一般较复杂且维修时间要求严格，这就要求服务供应商预先配置充足的维修能力μ，这里维修能力μ是由维修设备、维修工程师、备件库存等构成的综合能力。这种突发概率非常小、收益损失严重正是本文所研究的维修服务合同问题的突出特征之一。

图1 PBC模式的关键设备维修服务过程

关于故障过程、PBC合同、BI保险、资金损失、商誉损失、服务性能指标等方面详细特征如下：

(1)关键设备故障过程

为了精准描述关键设备故障过程，进行如下合理假设：(a)突发故障过程服从泊松分布，令故障到达率为λ；合同期内随机发生N次故障；(b)故障恢复时间{Yi}服从供应商维修服务能力μ的负指数分布，且每次故障恢复时间都是独立的，则平均恢复时间为1/μ；(c)在合同期内服务能力μ固定且有下限v，存在1/v<<1/λ，即最长期望恢复时间要远远小于故障间平均时间；此外初始服务能力v因故障恢复时间太长也难以满足运营商性能要求，供应商需要对服务能力进行额外投资；(d)供应商的服务能力投资总成本与服务能力提升水平呈正比，即服务能力总成本为c(μ-v) 。

(2)PBC合同

PBC合同执行过程如下：首先，运营商提供给供应商一个PBC合同，包括固定支付、性能罚金率(Penalty rate for performance)、成本分担率(Rate of cost sharing)等参数，然后供应商选择最优服务能力μ* 使得自己利润最大，该服务能力难以被运营商准确观测，因为PBC合同没有明确规定供应商的服务能力大小；然后执行PBC合同，期间若突发故障，则触发供应商的维修服务工作；最后在合同期末，运营商根据性能指标来评估供应商服务，进而支付供应商服务费用。为分析方便，本文标准化合同期为1。PBC合同的支付形式为：

T=w-pX+βc(μ-v)

(1)

(3)营业中断保险(BI)

BI保险的核心条款主要涉及：保额、保费等。保额按承保项目分别列明，主要由毛利润保额、工资保额、审计师费用保额三部分组成[12]，本文中保额仅考虑设备正常运转创造的毛利润r；保险费率由三个因素确定：纯风险损失率、经营成本率和计划利润率[12]，保险费率=纯风险损失率/(1-经营成本率-计划利润率)，保费=费率*保额=费率*毛利润。设α表示保险费率、F表示保费，则运营商的保费为：F(α)=α*r。

(4)金融损失及商誉损失

关键设备突发故障可能导致运营商的严重资金流风险，进而导致运营商外部融资需求增加或者对正的净现值价值的项目投资不足问题[13]，本文称之为金融损失，标记为K，设单位毛利润减少导致的金融损失为k，则:

(2)

突发故障还可能导致顾客需求不能或不及时满足，导致运营商的商誉损失G，设单位故障时间导致的商誉损失率为g，则商誉损失为:

(3)

(5)服务性能指标

维修服务性能指标主要从两个方面考虑：系统可用度和单次故障修复最长时间。

单次故障修复最长时间是另外一个重要性能指标。由于关键设备故障到达率λ比较小，可能在整个合同期内关键设备几乎不发生突发故障，维修服务几乎不会发生，期望可用度可能接近于100%，这时运营商的最优选择是不再激励供应商追加服务能力投资。若供应商也侥幸选择不投资服务能力，一旦小概率故障突发，恢复时间可能会非常长。为了避免这种情况出现，运营商规定故障修复时间必须小于等于最长时间限制，即：

E[Yi|μ*]=1/μ*≤Ys

其中Ys代表故障修复最长时间，且满足Ys<1/v，这与之前假设(初始维修能力v所对应的修复时间对运营商来说太长)一致。令μs=1/Ys，则E[Yi|μ*]=1/μ*≤Ys可转化为最低服务能力约束μ*≥μs，该约束也称为有限责任约束，根据之前假设，得出μs>v>>λ。

3 无保险时的PBC合同设计

3.1 供应商服务能力决策

供应商按照个人理性原则，根据保留效用来决定是否接受运营商提供的PBC合同，本文将供应商的保留效用标准化为0，这种简化并不会影响分析结果。当供应商决定接受PBC合同时，供应商选择最优维修服务能力。供应商的利润函数为：

U(μ)=E[T|λ,μ]-c(μ-v)

(4)

(5)

证明：将(1)、(5)代入(4)得：

U(μ)=w-pλ/μ-(1-β)c(μ-v)

(6)

U(μ*)=

证明：略

由命题2的(a)可知，罚金率越大，供应商选择的最优维修服务能力越大；由(b)可知，故障率越大，供应商的最优服务能力越大。突发故障次数增多，故障时间也会增大，此时供应商所遭受的性能惩罚也会增大，为了避免该惩罚，供应商会加大投资维修服务能力，进而减少故障修复时间；由(c)可知，运营商对供应商的成本分担率越大，供应商的最优维修服务能力越大。

3.2 运营商的PBC合同参数决策

运营商选择PBC合同参数{w,p}来使得其利润最大化，同时满足供应商的有限理性约束和激励相容约束来确保供应商能够接受合同，以及有限责任约束μ*≥μs。以委托-代理理论为建模框架，PBC合同设计模型如下：

(7)

s.t.

U(μ)=E[T|λ,μ]-c(μ-v)≥0

(IR)

μ*=argmax(U(μ))

(IC)

μ*≥μs

(LL)

其中，运营商的期望利润目标函数(7)的第一项为设备正常运转时间所创造的收益，第二项为运营商支付给供应商的PBC合同费用，第三项为金融损失，最后一项为商誉损失；式(IR)和(IC)分别是供应商的有限理性约束和激励相容约束；式(LL)是有限责任约束。

根据突发故障频率特征不同，分别讨论在故障到达率相对较高和相对较低两种情形下的PBC合同最优参数和运营商最优期望利润，具体如下：

证明: 参见附录。

对命题3两种情景对比分析可进一步获得如下管理启示：

(1)故障到达率是影响供应商最优维修能力决策的重要因素。当故障到达率很小时，由于修复服务几乎不会发生，关键设备的期望可用度接近于100%，此时供应商的维修服务能力配置只需达到μs即可。当故障到达率大于临界点后，供应商的最优服务能力随着故障到达率增大而非线性增大。故障到达率临界点大小与成本收益率c/r、最小维修服务能力μs成正比，而与故障总损失率(1+k+g)成反比。

(2)故障到达率也是影响PBC合同参数的重要因素。当故障到达率低于临界点时，性能罚金率随故障到达率减小而增大，这主要用于激励供应商保证配置最小服务能力μs，防止供应商因维修能力长期闲置而不予投资的冒险行为。此时运营商的固定支付与故障到达率频次高低无关；当故障到达率高于临界点时，性能罚金率与故障到达率大小无关，它随故障总损失和供应商的成本分担率的增加而增加。此时运营商的固定支付随故障到达率频次增高而非线性增加。

4 PBC合同与BI保险合同集成设计

4.1 供应商服务能力决策

运营商投保BI保险，对供应商的服务能力决策结构和方法没有影响，仅仅改变服务能力大小。为了和无保险时的供应商服务能力决策区别，这里将供应商服务能力替换为μI，PBC合同参数{w,p}替换为{wI,pI}，类似于命题1结论，获得购买BI保险情景下的最优服务能力μI*、供应商最优利润U(μI*)和运营商固定支付wI。

4.2 运营商的PBC合同参数决策

运营商考虑采用BI保险作为资金流风险防御策略时，基于委托-代理的PBC合同与BI保险合同集成设计模型如下：

(8)

(IR)

μI*=argmax(U(μI))

(IC)

μI*≥μs

(LL)

证明:类似命题3。

对命题4分析可进一步获得管理启示如下：

(1)故障到达率临界点因运营商购买BI保险而提高，这主要因为BI保险赔偿了生产故障损失，防范了后续资金流风险。

5 BI保险对PBC合同设计的影响规律

对比购买BI保险与否两类PBC合同最优设计，总结购买BI保险对PBC合同最优参数、供应商最优服务能力决策的影响规律，具体如下：

(1)突发故障到达率相对较高时

可见故障到达率相对较高时，相对于无保险情景，有保险时运营商给予的固定支付和罚金率都低。原因在于：故障到达率相对较高时，运营商希望供应商多投资服务能力，且超过最低标准μs。当运营商投保BI保险后，保险公司会赔偿突发故障收益损失，此时运营商对服务能力要求相对要低些，因此运营商给予供应商的固定支付和罚金率相对较少。

对于供应商期望利润而言，购买保险时，虽然性能罚金率降低，但固定支付也随之降低，而无保险情景，罚金率虽高，但固定支付也高，通过比较两种情景下的供应商利润函数可发现，有无保险对供应商的期望利润没有产生影响。这是因为保险的费用及赔偿完全是由运营商来承担。供应商并不承担保费；另外通过比较有无保险时的供应商的参与约束可发现，运营商为了使自己利润最大化，都没有给供应商留下任何租金，即参与约束都为等式。因此供应商并不关注运营商是否投保BI保险。

(2)突发故障到达率相对较低时

因此，w>wI；

故障到达率相对较低时，即故障到达率对于有保险的运营商来说较低，但对于无保险的运营商来说还是较高时，对于PBC合同的固定支付和罚金率，有保险时运营商对这项参数要求都要低于无保险时运营商。这是因为：该频段的故障到达率对有保险的运营商来说很低，因此运营商要求供应商的服务能力只要达到μs即可，而无保险时，供应商的服务能力要求高于μs，这就需要运营商增加PBC合同的激励强度，即增加固定支付和罚金率。

(3)突发故障到达率相对非常低时

故障到达率非常低时，由于维修服务几乎从来不会发生，关键设备期望可用度接近于100%，运营商要求服务能力只要达到μs即可。这就导致有无保险两种情况下的运营商要求供应商提供的服务能力相同，因此故障到达率非常低时，无论是否购买保险，运营商提供给供应商的PBC合同完全相同。

6 BI保险购买决策条件

从运营商的期望利润角度，分析是否购买BI保险。相对于不购买BI保险时的运营商期望利润，如果购买BI保险决策不降低期望利润，则运营商购买BI保险，否则放弃。基于上述规则，获得BI保险购买条件如下：

(1)突发故障到达率相对较高时

(2)突发故障到达率相对较低时

(a)当保险费率

(b)当保险费率

(3)突发故障到达率相对非常低时

综上可见，运营商是否购买保险不仅取决于突发故障频次特征还深受保险公司的保险费率α制约。该结论符合实际情况，这是因为：当保费率α小于某一个值时，运营商因付保费减少的利润才会小于运营商得到保险公司突发故障赔偿，进而运营商购买BI保险的利润才会大于运营商不购买BI保险的利润，理性的运营商才会购买BI保险。

7 仿真案例及分析

M航空公司运营160架飞机，正常一年可获得收入15540万美元。如果飞机发生停场故障，每架飞机单位时间停场所造成的金融损失为0.9万美元，商誉损失为0.75万美元。以起落架为例，供应商获得单位维修能力需要投资3.108万美元，目前供应商已经拥有100架次的初始维修能力，M公司要求供应商必须保证150架次的最低维修能力(μS)。M公司同意分担30%的维修能力成本。某保险公司同意以0.04的保险费率出售BI保险 (部分数据来源于Kim[6]和Kim[8])。

考虑购买BI保险与否两种情况，分别获得故障到达率从1到10次时的最优服务能力、固定支付和性能罚金率的变动曲线如图2-4所示。

图2 维修服务能力随故障到达率的变动情况

图3 罚金率随故障到达率的变动情况

图4 固定支付随故障到达率的变动情况

分析图2-4可知，当故障到达率0≤λ≤1.7时，购买BI保险决策对供应商的最优维修能力、PBC合同的固定支付和罚金率没有影响；当故障到达率1.7<λ<6时，运营商购买BI保险，其PBC的固定支付仍然不变，而罚金率依然在不断减小，但减小速率相比故障到达率0≤λ≤1.7明显减弱，供应商的最优服务能力维持不变；当6≤λ≤10时，有BI保险时运营商的固定支付、供应商的最优服务能力开始随着故障到达率的增加而增加，而罚金率不再受故障到达率的影响，并且罚金率低于无保险时的对应情景。通过对比BI保险购买与否两种情况还可发现，无保险时的各项参数更易受故障到达率的影响，变化速率也更快。购买保险延迟了故障到达率对供应商和运营商的影响。

图5 运营商收益随故障到达率的变动情况

分析图5知，无论购买BI保险购买与否，运营商收益都随故障到达率增加而减小，但无保险时运营商利润减少速度更快；以两条利润曲线的交点为界，运营商可以根据故障到达率选择是否购买保险。

综上所述，案例仿真结果有效验证了文中理论分析结论。

8 结语

本文围绕关键设备维修服务PBC合同设计问题，着重考虑了突发故障可能造成的严重利润损失以及继发资金流风险特征，引入BI保险作为资金流风险防御策略，分别研究了购买BI保险与否两种情形下的PBC合同设计模型，获得PBC合同的最优参数、供应商的最优服务能力；从运营商角度，获得购买BI保险决策条件以及对PBC合同参数影响规律：当故障到达率非常低时，BI保险购买决策不影响PBC合同设计；除此之外，运营商购买BI保险能够显著减少对供应商的服务能力投资要求，并且运营商的固定支付和罚金率也相应地减少；运营商是否购买保险决策不仅取决于关键设备突发故障频次特征还依赖于保险公司的保险费率。该模型的构建主要基于关键设备具有突发故障频率低、维修过程复杂、核心生产设施等条件，这些假设合适于运营航空飞行器、大型医疗设备、核心制造装备等相关企业，期冀本文研究对这些企业的设备维修服务合同设计及购买BI保险决策提供一种定量分析工具。

本文是维修服务运作管理领域与金融保险领域之间的首次跨界研究尝试，还需要考虑更多具有管理实践特征的因素，如供应商如何分担BI保险费用，供应商的风险态度等。

附录:

(a)

基于上述结果，PBC合同设计模型可以转化为：

(b)

对上述目标函数和约束函数性质分析如下：

则约束函数g(p)是关于p的凸减函数。

对目标函数π关于p的一阶和二阶导数如下：

综上可知在满足罚金率p<3(1+k+g)r(1-β)时，上述模型为凹目标函数和凸减约束函数的非线性约束规划问题，对其构造如下拉格朗日函数：

L(p,θ)关于p*的一阶条件为：

L(p,θ)关于θ的一阶条件为：

对于拉格朗日乘子θ分两种情况进行讨论：

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The Performance-based Contracting Design Models Integrated with Business Interruption Insurance for the Maintenance Services of Mission-critical Equipment

QIN Xu-wei1, 2, YANG Yu-pei1, KANG Wan-gen1, DOU Na1

(1.School of Business Administration, Northeastern University, Shenyang 110819, China;2.Institute of Behavioral and Service Operations Management,Northeastern University, Shenyang 110819, China)

Maintaining a high level of system availability is the fundamental gurantee of the profitability of firms operating mission-critical equipment in an environment characterized by low-frequency, high-impact events such as equipment failures. Once an operational disruption occurs, the firm hardly affords significant operational downtime and often causes financial distress. To mitigate the severe impact of the unexpected disruptions, a proper incentive mechanism has to be in place so that the service supplier would commit the necessary capacity for recovery. Meanwhile, the financial distress risk can be mitigated by transferring the financial liability away to a third party insurer. Performance-based contracting (PBC) is an emerging incentive mechanism where the supplier receives compensation based on realized availability. Business interruption insurance (BI) can protect against the potentially financial risk for the firms. In the paper, the principal-agent contracting models are proposed for an outsourcing setting in which the firm cannot write the supplier’s service capacity decision directly into the contract but instead must incentivize the supplier using the PBC and where the firm makes decision on purchasing the BI to eliminate the downtime loss and transfer financial distress. The service performance of the PBC between the firm and the supplier is measured by not only the cumulative downtime but also the individual service experience. The PBC contract design model is presented firstly as the benchmark, in which the firm has to choose the optimal pair of contract terms consisting of the fixed payment and the penalty rate to maximize profit composing the expected production profit of the equipment uptime, the payment to the supplier, production downtime loss, financial distress loss and the goodwill loss, while the supplier chooses optimal service capacity to maximize his utility composing the payment from the firm and the capacity cost. Secondly, the PBC contract model with the BI is proposed, where the insurance premium term is added and the downtime loss and financial distress loss are eliminated in the firm’s objective function. Finally, it is explored how the BI impacts on the optimal PBC contract terms and whether the BI need be purchased. The major insights from our analysis are followed: (1) the frequency of disruptions is an important factor in determining contract terms and the supplier’s capacity investment decision. (2) The BI and the performance incentive of the PBC contract are partly substitutable. (3) The BI can reduce the sensibility of which the frequency of disruptions influences on the the supplier’s capacity, contract terms and the firm’s profit. The study is a first attempt on the understanding of the interplay between operation and insurance in the maintenance service of the mission-critical equipment. The theoretical results contribute to the decision-making of the operation-finance interface in the firm operating mission-critical equipment.

performance-based contracting; business interruption insurance; maintenance services; mission-critical equipment; operation-finance interface

1003-207(2016)11-0019-10

10.16381/j.cnki.issn1003-207x.2016.11.003

2015-06-26；

2016-01-08

国家自然科学基金资助项目 (71472034，71371190，71671033)；中央高校基本科研业务费项目(N130406006)

秦绪伟(1976-)，男(汉族)，山东省单县人，东北大学工商管理学院，副教授，博士，研究方向：服务运作管理、物流与供应链管理，E-mail: xwqin@mail.neu.edu.cn.

F406.14

A