基于Bezier曲线的翼型参数化及前尾缘处理方法研究

方 凌 杨 波 高天泽/上海交通大学燃气轮机研究院

基于Bezier曲线的翼型参数化及前尾缘处理方法研究

方 凌 杨 波 高天泽/上海交通大学燃气轮机研究院

0 引言

叶片是叶轮机械的主要部件，叶型参数是影响叶轮机械性能的主要因素之一。近年来国内外流行的翼型优化设计方法为叶片设计提供了较多新的思路[1-2]，Kulfan[2]提出的形状类别函数（Class and Shape Transformation,CST）方法以其出色的几何描述能力等特征获得了广泛的应用，其主要思想正是使用各种有理样条多项式构造的形函数来描述翼型几何特征;刘传振[3]等利用形函数修正类别函数实现了超声速翼型的气动布局优化设计。优化设计过程就是根据目标函数，通过优化方法，获得合理的控制参数，从而达到优化目标。在优化设计过程中，首先是将叶片的几何形状表达成控制参数，翼型几何特征表达成随设计参数而变化的目标函数[4]。

传统的采用离散点描述翼型方法的优点在于能够简单直接地表达曲线。但是为了保证翼型的精度和细节特征，通常需要大量数据点才能表示压力面和吸力面。大量的叶片几何参数，无法直接应用于叶片的优化设计。另外，在优化过程中，一旦需要调整翼型，就不得不对整个离散数据进行全面的调整，加大了优化设计的难度和工作量。叶片参数化，就是为了适应叶片的优化设计：采用尽可能少的数据来尽可能高精度地描述翼型曲线[2-3]。本文引入采用Bezier曲线进行翼型参数化的方法[3,5]，以翼型的几何参数为初始条件，计算Bezier曲线的特征多边形，并以多边型的顶点为曲线的控制参数，即在满足翼型几何参数的条件下，只需通过移动这些顶点的控制来完成曲线的调整。本文还针对翼型参数化过程中前后缘出现的尖点问题，引入了对前尾缘增加平行控制点，使参数化翼型曲线光滑的方法，并通过对多个翼型的参数化分析，验证了该方法的准确性和实用性。

2 Bezier曲线控制叶片参数化造型

Bezier曲线是计算机图形图像造型的基本工具，被整合进各种工程或设计类软件，例如在机械设计方面的Auto CAD、UG、SolidWorks等，是图形造型运用得最多的基本线条之一，其控制点并不一定在所绘曲线上，而且只需要几个控制点就可以表达一条复杂变化规律的曲线[6-7]，对翼型等复杂曲线参数化效果好。

2.1 Bezier曲线的主要性质及原理

Bezier曲线的主要性质有：1）端点性；2）凸包性；3）几何不变性；4）变差缩减性；5）保凸性[7]。

塞尔曲线的形状是由与之对应的特征多边形各顶点的位置唯一确定的。特征多边形上的顶点一旦发生改变，整条Bezier曲线的形状都将随之改变，因此可以理解为Bezier曲线的走势是由特征多边形的边矢量决定的。所以早期的Bezier曲线的表达形式[8-9]着重体现了这一点：

其中，a0是特征多边形首点点矢向量；ai是特征多边形的各边的矢量，他们首尾依次相连，fn,i（u）是Bezier曲线的基函数。

但是这种表达方法设计曲线时操作性很差，因此Bezier本人对其进行了修改，利用伯恩斯坦函数和控制点坐标线性组合的方法表示为了现在我们较为常见的形式：

其中，R（t）是贝塞曲线上的点；Aj表示的是特征多边形的控制点位置；Bn,j（t）是伯恩斯坦函数，也是Bezier曲线的基底函数。其具体表达式为：

2.2叶片的Bezier曲线参数化

本文将目光集中于Bezier曲线的端点性质，利用最小二乘法的思想对已知坐标点进行参数化。马苏奇[8]研究了Bezier样条在曲线曲面造型中的应用，进一步完善了Bezier样条进行曲线曲面拟合的方法。周明华[9]等人研究了基于遗传算法的B-spline和Bezier曲线的最小二乘拟合方法，其核心思想是通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。对于Bezier曲线上的各点和原始数据点而言，二者之间的距离的方差达到最小值时便可以得出误差最小的拟合曲线，即使参数化效果最好。

假设，已知叶片坐标点为Qn，其中Q1和Qm为叶片数据点的始点和末点。通过参数化方法得出的曲线的起点和末点并没有约束在原始的始点和末点上，所以为了保证叶片的吸力面和压力面能够无缝衔接，我们在这里规定Pa=Q1，Pn=Qm，这样得到的Bezier拟合曲线就是从原始坐标的始点开始到末点结束的。

首先，需要得到Bezier曲线基函数的参变量t的表达式，根据坐标点之间的弦长可以定义：表示的是相邻两点之间的弦长，分母表示的是原始数据点与相邻点之间的弦长之和。由此可知，t的取值范围是t[0，1]。

最小二乘法对给定数据点（xi，y）i，i=1，2，3，…，m，在取定的函数类中，求，使误差的平方和E2最小。

其中，Dk是每一个原始坐标点Qk的权重。Pj为控制点坐标，Bn,j（tk）为Bernstein基函数，当方差取最小值时，曲线的拟合程度最好，求解得到各个控制点，再带入到Bezier曲线的参数方程中，即可得到拟合的Bezier曲线。

2.3叶片前缘及尾缘的平行点处理方法

考虑到翼型的几何构造特点，对吸力面和压力面是分开进行参数化过程的[10]，所以参数化后的翼型曲线也是分为上下两条曲线。这两条曲线的始末点是重合的，但是在始末两点的一阶导数、二阶导数并不是连续的。如果在重合点的一阶导数不相等，该处会出现明显的尖角，如图1、图2中未修正时所示的情况。对于亚音速叶片，其前缘多数情况下是饱满光滑的，尖角显然是不应该出现的；叶片的尾缘一般比较薄，在几何上相对于叶片的其他部分可以理解为是一个尖角，但是出于流体力学和加工工艺的现实情况，后缘也应该有一小段圆弧或者椭圆弧的存在。

虽然前后缘的处理方法有很多种，但它们有一个共同的准则：通过尖点附近控制点的调整，使得两曲线在公共点切线的斜率保持一致或相近[11-12]。本文同样根据这个准则，提出了一种基于Bezier曲线的前尾缘修正方法。

以前缘为例，本文提出的方法是：在保持原公共控制点位置不变的情况下，在控制点y方向两侧分别插入一个修正控制点，这个控制点的坐标分别为PC1（xc1，yc1）和PC2（xc2，yc2）。如图1（b）中所示，PC1,PC2为翼型前缘处增加的平行控制点。然后，将这两个平行控制点连同其它各个求解出的控制点一同带回到Bezier曲线中进行计算，得到新的参数化曲线。通过对多种翼型的参数化分析，这两个平行控制点的横纵坐标应根据下式选取：

式中，（xc1，yc1），（xc2，yc2）为新增平行控制点PC1，PC2的横纵坐标，（x0，y0），（x1u，y1u），（x1d，y1d）为初始控制点P0，P1u，P1d的坐标参数。，其选值与进行参数化的翼型有关，厚弦比大的翼型a，b的取值较大。

如图1（b）所示，对翼型前缘进行平行点方法处理,加入平行控制点PC1,PC1后，参数化曲线确实能避免前尾缘尖点出现。

本文对后缘提出了与前缘类似的处理方法，如图2中所示，增加平行控制点后得到的参数化曲线显著避免了后缘尖点的出现。

观察图1，图2，对比前尾缘处理前后，增加平行控制点的方法确实是有效避免了参数化过程中前尾缘转折处出现尖点的情况。值得注意的是，由于加了一个控制点，此时Bezier参数化曲线的阶次已经由n-1上升到了n阶。在增加控制点后，参数化得到的Bezier曲线不仅避免了尖点的出现，发现与原始数据线的贴合度更高。

3 算例及分析

3.1简单翼型不同阶次的Bezier曲线控制下的拟合翼型及其误差分析

对翼型几何特征比较简单的NACA2424分别作了不同阶次的Bezier曲线参数化拟合，并进行前尾缘处理前后的对比以及误差分析，参数化结果如下：

本文首先采用三阶Bezier曲线，对NACA2424翼型进行参数化分析，图3、图4分别为前后尾缘未处理和采用平行点方法后的结果。

由图3所示，三阶Bezier曲线能大致描述翼型几何形状，但是在某些区域Bezier曲线与原始曲线误差较大，在翼型尾缘处尤其明显，如图3（b）、（c）所示。而且拟合曲线在前尾缘处形成尖点，参数化效果不理想。采用平行点方法后，Bezier曲线参数化效果明显得到改善，如图4所示。由图4（b）、（c）还可以看出增加平行控制点后，前尾缘曲线与原始数据线基本一致，本文的前尾缘处理方法是有效的。本文还对参数化后的翼型曲线与原始数据线进行误差分析，得到误差分布图，如图5所示。由图中可观察到：采用三阶参数化时，即使经过了前后尾缘的处理，翼型大部分位置误差还是在2%～3%之间，前缘处误差甚至达到6%。

采用5阶曲线进行翼型的参数化分析。得到的参数化翼型曲线如图6（a）所示，采用五阶Bezier曲线进行拟合时，在整个翼型上参数化效果确实比采用三阶时要好，但是放大观察前尾缘，观察图6（b）、（c）存在尖点现象，虽然不如三阶参数化时明显，但还是没有达到理想的参数化效果。下面进行前尾缘增加平行点方法进行处理，得到图7（a）翼型曲线图。

进行前尾缘局部放大后，观察图7（b）、（c），前尾缘处理后确实很好的改善了，有效避免了转折较大处出现明显尖点的现象。对参数化的翼型曲线与原始数据线进行误差分析，得到图8所示的误差分布图，由图中可观察到采用带前尾缘修正五阶曲线参数化时，翼型大部分位置误差在1%以内，前尾缘处误差能控制在1%～1.5%。

分别采用七阶，十阶曲线对翼型进行参数化拟合时，得到的各种参数化结果情况如图9、图10所示，Bezier曲线与原始曲线基本能完全重合，采用七阶和采用十阶时，观察参数化曲线和原始曲线已经看不到明显偏差。

观察图9（a）、（b）、（c），不难发现选取参数化阶次为七阶时，参数化曲线与原始曲线基本能完全重合。

图11为七阶Bezier曲线参数化误差分布图，由其中可发现采用七阶参数化最大误差小于1.5%。与五阶参数化误差分布图图8相比较，可以发现采用七阶Bezier进行拟合时参数化误差进一步缩小。从三阶参数化时的4%～5%减小到2%。

而且，采用前尾缘处理后的五阶Bezier曲线拟合的精度已经能降低到1%以内，翼型大部分拟合状况甚至优于七阶。

查看十阶参数化时的误差分布图12，可知对于NACA2424翼型，十阶的参数化效果和七阶参数化以及前尾缘处理后的五阶相差不大，说明随着阶次的进一步上升，参数化效果的改善也很有限，且采用七阶和十阶参数化时，前尾缘尖点情况依然存在。综合考虑控制点个数和拟合精度，平行点方法处理后的五阶参数化效果是最优的。

3.2某工业用压气机翼型拟合情况

在对NACA2424翼型进行不同阶次的拟合后，兼顾到控制变量个数和拟合效果，我们对形状更复杂的某工业用压气机翼型进行五阶拟合并进行前尾缘处理，与十阶拟合情况进行比较。

图13是带前尾缘处理的五阶参数化翼型，在图13（a）中可以观察到采用五阶参数化并进行平行点方法处理时，参数化曲线与原始数据线基本能完全重合了。整体来看几乎可以达到图14（a）的十阶参数化效果。查看两个参数化翼型的百分比误差分布图，图15与图16的误差分布基本都能控制在1%以内。

分析前尾缘误差情况，采用五阶参数化并进行前尾缘处理时明显小于直接采用十阶拟合时的误差，这说明本文中对前尾缘的处理方法是有效的。

如该算例中图15所示，在将此参数化方法应用到某工业用压气机翼型的参数化时，带前尾缘修正的五阶参数化精度能达到1.5%水平。在工业设计过程中，2%以下的参数化误差即认为是可以接受的[6]，故认为本算例中采用五阶Bezier曲线参数化并进行前尾缘平行点处理时，对压气机翼型的参数化工作能达到理想的参数化效果，可以准确表达该压气机翼型几何形状。

3.3对Gottingen 234翼型进行Bezier拟合情况

对翼型更为复杂的Gottingen 234翼型进行Bezier曲线参数化。Gottingen 234翼型曲线变化更大，对拟合要求更高，也更能检验本文所采用拟合方法的正确性。

相比较于3.2算例，3.3的算例中尽管也采用了七阶参数化并进行前尾缘处理，但是参数化效果微有下降，部分区域参数化曲线和原始线之间相差较大。

观察图17（b）、（c），参数化翼型前缘尾缘曲线平顺光滑，与原始数据线基本重合。从误差分布图，图19中也可以观察到进行带前尾缘修正五阶参数化时，翼型不同区域误差分布在3%左右。

观察图18，采用十阶Bezier曲线进行参数化时，参数化翼型曲线和原始数据线更加吻合，但是放大前尾缘，如图18（b）、（c），可以发现前尾缘还是会出现明显的尖点现象。

比较十阶参数化误差分布图（图20）和带平行点处理的五阶参数化时的误差分布图（图19），发现十阶参数化时整体效果更好，大部分测试点的拟合误差在1%以内，但是前尾缘处出现尖点，特别是尾缘处，拟合误差超过5%；而采用前尾缘处理的五阶拟合（图19）发现虽然平均误差大，但是误差分布比较均匀，基本在3%附近。

3.4分析

根据以上算例中拟合曲线和原始曲线的比较和误差柱状图可知，随着曲线阶数的上升，曲线拟合精度明显提高。误差精度有所提高，但是精度的提高的幅度随着阶数的上升而变慢，如果用十阶Bezier曲线（11个控制点）来表达原始坐标点的曲线显然是得不偿失的，虽然在精度上有所提升，在优化过程中会因为控制点过多而增大计算量[13]。因为翼型在优化过程中，很多情况下调整是很小的，只有10-2数量级[13-14]，而七阶Bezier曲线拟合精度完全可以控制在2%误差以内。相比之下，十阶拟合的结果在整体精度上确有提高，但是在部分位置甚至精度不及带前尾缘处理的五阶拟合。这种误差在进行这种小的调整的情况下仍可以较为准确的表达叶片形状，所以在满足精度要求的同时采用较少的控制点是更好的选择[13]。

观察高阶Bezier曲线的拟合结果，特征多边形的形状越来越难反应出所描述的曲线的形状，会出现很多反复折叠的区域。这一特点是Bezier曲线整体控制性的一种体现[15]，不会影响参数化效果。

4 结论

1）本文采用基于Bezier曲线的参数化方法来进行翼型的造型，表达精确，简便而且快捷。可通过调整控制点位置对翼型进行几何的调整，也便于对翼型进行优化计算时的编程。根据算例的计算结果进行分析，对于几何形状相对简单的翼型采用五阶Bezier曲线进行拟合加上前尾缘处理就能将误差控制在1.0%以内，达到满意的拟合效果。

2）在算例中发现，不管在参数化过程中采用多高阶次，甚至超过十阶时，得到的参数化翼型曲线在前尾缘处仍然会有尖点问题的存在，本文以Bezier曲线的数学原理为基础，在结合叶片参数化前提下对Bezier曲线在叶片前缘和后缘的处理上提出了处理方法。在两条Bezier曲线公共控制点两侧插入辅助控制点以保证该处的斜率一致，曲率相近，这种方法保证了翼型的光滑连贯，相较于原有的处理方法的弊端有了明显的改进，能在参数化过程中准确表达翼型前尾缘处的几何特征。

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：本文基于Bezier曲线，采用MATLAB软件，对翼型的参数化展开研究。同时，针对翼型的前缘、尾缘在参数化过程中出现的尖点问题提出了平行点处理方法，以提高参数化精度，准确地表达翼型的几何特征。本文对几种翼型在不同阶次下的参数化曲线结果进行了误差分析，通过与原始数据的对比，进一步证明了本文提出的翼型参数化方法具有精度高，实用性强的特点。

翼型；Bezier曲线；参数化；前尾缘光滑处理；误差分析

Param eterization of Blade Based on Bezier-curve and Smooth Process of Leading and Trailing Edges

Fang Ling，Yang Bo，Gao Tian-ze/Shanghai JiaotongUniversityGasTurbine Institute

airfoil；bezier curves；parameterization；smooth process of leading and trailing edges；erroranalysis

TH452；TK05

A

1006-8155（2016）06-0019-08

10.16492/j.fjjs.2016.06.0049

2016-05-16上海200240

Abstract:An approach based on Bezier-curve is proposed for the parameterizing of various typesof airfoilsby using ofMATLAB software. Specially,a simple and convenientmethod is discussed,which can be adopted to smooth the leading and the trailing edges.Comparingwith some traditional parametrized curve results in different orders,the method described in this paper is proved to be correct and effective in theprocessofparametrization.