谱负Lévy过程位势测度的推广

周林　陈晔　邝雪冰

1 引 言

位势测度也称预解测度，它是随机过程理论研究中的热门话题.谱负Lévy过程是没有向上的跳的Lévy 过程，被广泛应用于金融模型和风险理论.在过去的几十年中，一些学者对谱负Lévy过程在不同区间上的位势测度进行了研究，他们发现该过程的位势密度函数存在，并能维纳霍夫分解得到，而且位势密度函数的表达式可以由谱负Lévy过程的拉普拉斯指数的逆函数和尺度函数表示.读者可以参考文献[1-4]等了解更多关于位势测度的细节.

在本文中，主要采用文献[2]第八章中的维纳-霍夫分解方法，研究谱负Lévy过程在区间（τ+a，τ+b）上的位势测度，并求出了具体表达式，其表达式仍然用谱负Lévy过程的拉普拉斯指数的逆函数和尺度函数表示.在文章的最后，利用本文的结论计算了带漂移的布朗运动位势测度，其结果与已有结论符合.

4 总 结

谱负Lévy过程是一具有独立平稳增量的随机过程，具有如马尔可夫性，无穷可分性等许多良好的性质，在金融数学中一直扮演着重要的角色.另一方面，风险理论中的许多风险模型，如经典风险模型（复合泊松过程），带干扰的经典风险模型，布朗运动等，均是一些特殊的Lévy过程，那其破产问题会是什么样子的.所以近几年来，许多学者对基本盈余过程为谱负的Lévy过程的风险模型进行了研究.通过研究谱负莱维过程的占位时来研究其破产的时间问题.而位势测度就是一种特殊的占位时，并且是求解复杂联合占位时的一个很有力的工具，所以位势测度的研究在经济研究是非常重要的内容，故其研究是具有重要意义的.

参考文献

[1] A KUZNETSOV， A E KYPRIANOU，V RIVERO.The theory of scale functions for spectrally negative Lévy processes [M]. Berlin： Springerverlag， 2013.

[2] A E KYPRIANOU. Fluctuation of Lévy process with applications[M]. Berlin： Springerverlag，2006.

[3] Y LI ，X ZHOU，N ZHU.Twoside discounted potential measure for spectrally Lévy process[J]. Statistics and Probability Letters， 2015， 100： 67-76.

[4] Y LI，X ZHOU.On preexit joint occupation timers for sepctrally negative Lévy processes[J].Statistics and Probability Letters，2014，94（1）：48-55.

[5] J BERTOIN. Lévy process[M].London： Cambridge University Press， 1996.

[6] J BERTOIN. Exponential decay and ergodicity of completely asymmetric Lévy processes in a finite interval[J]. Ann.Appl， 1997， 7（1）： 156-169.

[7] A N BORODIN，P SALMINEN.Handbook of brownian motionfacts and formulae[M].Second edition.Basel： Birkhauser Verlag， 2002.