一类分数阶电报方程差分格式的收敛性分析

杨云冲　徐忠昌

(海军工程大学理学院　武汉　430033)



一类分数阶电报方程差分格式的收敛性分析

杨云冲徐忠昌

(海军工程大学理学院武汉430033)

摘要研究了带阻尼项的分数阶电报方程差分格式的收敛性,首先用数学归纳法对其进条件收敛的性质做出了证明,随后对该收敛条件做出了简要的分析和说明,并指出该条件是可以满足的。

关键词分数阶电报方程; 差分格式; 归纳法; 收敛性

Convergence Analysis of One Type of Fractional Telegraph Equation

YANG YunchongXU Zhongchang

(School of Science, Naval University of Engineering, Wuhan430033)

AbstractThe convergence ability of difference approximation for the time-space fractional telegraph equation with damp is analyzed. Firstly, by using the method of induction, it proves that this difference approximation is convergent under certain conditions. Then briefly analyzes and explaines these conditions.

Key Wordsfractional telegraph equation, difference approximation, method of induction, convergence

Class NumberTP302.7

1引言

由于分数阶微积分算子是拟微分算子,具有非局部性,因此分数阶微积分算子成为研究非线性问题的一个强有力的工具。近几十年来,许多研究者发现,分数阶导数的模型比整数阶导数的模型更能准确地描述具有记忆和遗传性质的材料和传送过程,故分数阶计算具有广泛的应用背景[1~5]。本文所讨论的带阻尼项的时间空间分数阶电报方程的形式如下:

u(0,t)=u(L,t)=0;1<α,β<2

并且当n=2时:

进一步处理,当n>2时,差分格式可以写成如下形式[6~9]:

其中

此基础之上,本文主要对该差分格式的收敛性进行分析,运用数学归纳法证明其条件收敛的性质,并对收敛条件作出了一定的解释与说明。

2收敛条件的给出与收敛性的证明

定理:当各系数满足不等式(1)、(2)时,差分格式条件收敛。

(1)

(2)

当n=2时

(3)

其中:

定义范数:

由初始条件可得:

对式(3)两端同时求范数,并考虑式(1)可得:

即:

(4)

其中:

+F(xm,t2)

转化后的形式同潘有思的结果一致,并且有结论[10]:

再继续证明,假设当n≤s时,有已知条件:

对式(4)两端同时求范数,并考虑式(2)可得:

进一步处理可得:

即:

≤C(τ2αh+τ2α+1+τ2α+2)

当s取无穷大时,有:

‖e‖∞≤C(τ2αh+τ2α+1+τ2α+2)

最终可得该差分格式条件收敛成立。

3收敛条件的分析与说明

对于式(1)而言,已知

只要τ取值一定小时很容易能达到式(1)的要求。

对于式(2)而言,已知

=C2<0

其中C1,C2均为常数,最终简化成如下形式:

只要满足T,L,h,τ取值均比较小时,很容易就能满足上式的条件。

4结语

在之前的工作基础之上分析了差分格式的收敛性,证明了该差分格式是条件收敛的并对收敛条件做出了说明。不足之处在于这一收敛条件还是比较模糊的,下一步工作主要致力于直接编程实现该差分格式,对比误差。

参 考 文 献

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中图分类号TP302.7

DOI:10.3969/j.issn.1672-9722.2016.01.008

作者简介:杨云冲,男,硕士研究生,研究方向:算法理论及其应用。徐忠昌,男,博士,副教授,研究方向:算法理论及其应用。

收稿日期:2015年7月7日,修回日期:2015年8月23日