两类特殊数列的通项公式的新解法

付　琴，黄华平 ，辛　华，卢永翠，刘婉贞

(湖北师范学院 数学与统计学院,湖北 黄石 435002)



两类特殊数列的通项公式的新解法

付琴，黄华平*，辛华，卢永翠，刘婉贞

(湖北师范学院 数学与统计学院,湖北 黄石 435002)

摘要：得到了一类常见数列的通项公式，然后利用此公式得到了两类著名数列，即斐波那契数列和切比雪夫数列的通项公式.相比前人的方法，该方法更简洁，直观，实用.

关键词：斐波那契数列;切比雪夫数列;通项公式

0引言

斐波那契(Fibonacci)数列(见文献[1-2])和切比雪夫(Chebyshev)数列(见文献[3-4])是两类著名的数列，有很高的实用价值.多年来，学者们一直在探究它们的通项公式的求解方法，已经涌现出了多种方法(见文献[4-5]).但据笔者们所知，这些方法大都需要比较高深的数学知识，例如组合数学的方法(见文献[6])，概率的方法(见文献[7])等等，让人比较难理解，不容易接受.基于此，本研究给出了一种简易的初等数学方法，先探求它们的特征多项式，然后通过求解线性方程组的思想，得出它们的通项公式.这种方法深入浅出，有一定的实用价值.

为方便读者，首先回顾一下这2种数列.

所谓斐波那契数列，是指数列1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…，其特点如下：

1)从第3项开始，每一项都是前2项之和.

2)随着各项的逐渐增大，2个相邻的数字之比趋近于黄金分割数0.618….

容易得到斐波那契数列{an}应满足的递推公式为an+2=an+1+an，其中a1=a2=1.

所谓切比雪夫数列是指满足Tn+1(x)=2xTn(x)-Tn-1(x)的函数列{Tn(x)}，其中T0=1,T1=x.

1主要结果

定理1形如an+2=pan+1+qan(p,q为常数，且p2+4q>0)的数列{an}的通项公式为：

其中α，β是一元二次方程x2-px-q=0的2个根.

证明易得an+2=pan+1+qan对应的特征方程为x2=px+q.由于一元二次方程x2-px-q=0的根的判别式△=p2+4q>0,故方程x2=px+q存在2个不同的实数根α，β,再由一元二次方程根与系数的关系有：

p=α+β,q=-αβ.

将上面的式子代入到an+2=pan+1+qan中有:

an+2-αan+1=β(an+1-αan)

(1)

an+2-βan+1=α(an+1-βan)

(2)

由式(1)可知数列{an+1-αan}是以a2-αa1为首项，以β为公比的等比数列，从而其通项公式为：

an+1-αan=(a2-αa1)βn-1

(3)

再由式(2)可知数列{an+1-βan}是以a2-βa1为首项，以α为公比的等比数列，从而其通项公式为：

an+1-βan=(a2-βa1)αn-1

(4)

由式(4)-(3)可得：

(α-β)an=(a2-βa1)αn-1-(a2-αa1)βn-1.

进一步求得原数列的通项公式为：

推论1斐波那契数列，即满足递推式an+2=an+1+an(a1=a2=1)的数列{an}的通项公式为：

利用定理1的思想容易验证下面的结论.

例1切比雪夫数列，即满足递推式Tn+1(x)=2xTn(x)-Tn-1(x)(T0=1,T1=x)的函数列{Tn(x)}的通项公式为：

证明Tn+1(x)=2xTn(x)-Tn-1(x)的特征方程为y2=2xy-1，此特征方程的根为：

利用定理1的证明思想，考虑到一元二次方程y2=2xy-1的根与系数的关系，易得原递推式Tn+1(x)=2xTn(x)-Tn-1(x)等价于：

(5)

(6)

进而：

(7)

故：

(8)

最后由式(8)-(7)可得:

即得:

参 考 文 献

[1]李美玲.趣谈斐波那契数列[J].科协论坛(下半月)，2008(8):42.

[2]谢凯.斐波那契数列在解题中的应用[J].数学通讯(上半月)，2009(5):91.

[3]张跃平.有关两类切比雪夫多项式的几个关系式[J].浙江师范大学学报(自然科学版),2007，30(1)：43-45.

[4]于海杰.奇妙的广义斐波那契数列[J].赤峰学院学报(自然科学版)，2014，30(8)：1-2.

[5]凌明灿,吴康.一类切比雪夫型方程组的通解[J].江苏师范大学学报(自然科学版),2012，30(4)：46-49.

[6]黎海燕,吴康.关于切比雪夫型方程组的研究[J].华南师范大学学报(自然科学版)，2011(1)： 25-28.

[7]何彩香.广义斐波那契数列[J].大理师专学报,2001(4):1.

(责任编辑吴鸿霞)

General Formulas on Two Special Sequences

FuQin,HuangHuaping*,XinHua,LuYongcui,LiuWanzhen

(School of Mathematics and Statistics,Hubei Normal University,Huangshi Hubei 435002)

Abstract：In this paper,a general formula for a class of usual sequences is given.By using it,some general formulas such as Fibonacci sequence and Chebyshev sequence are also presented.Compared with the previous methods in the literature,the obtained techniques are much simpler,more straightforward and applicable.

Key words：fibonacci sequence;chebyshev sequence;general formula

中图分类号：O177.5

文献标识码：A

文章编号：2095-4565(2016)01-0038-03

doi:10.3969/j.issn.2095-4565.2016.01.009

*通讯作者：黄华平，副教授，硕士，研究方向：函数论。

作者简介：付琴,本科生。

基金项目：湖北省教育厅科学研究计划指导性项目(项目编号：B2015137)；湖北师范学院本科生科研项目立项资助项目(项目编号：2014071)。

收稿日期：2015-10-13