耦合薛定谔模型在光纤传导中的应用

孙杰

摘要：薛定谔方程在光纤通信领域应用较为普遍与重要，本文主要针对一个高维耦合的薛定谔方程进行研究，先是给出了该高维耦合薛定谔方程的物理意义与应用背景，然后从光纤在传导中的无损传导现象出发，依据双线性方法探究了该耦合方程的孤子形式的解，并且借助符号计算根据孤子解的图像讨论了该薛定谔方程孤子解的传播过程。耦合薛定谔方程中存在孤子解之间的弹性碰撞，这在信号放大和光开关的研究中具有重要的意义，在通信系统中改善光传输系统方面的也有很多的应用。

关键词：光纤通信；无损传导；符号计算；孤子解；弹性碰撞

中图分类号：TN91

文献标识码：A

DOI：10.3969/j.issn.1003-6970.2016.02.005

引言

光纤通信中，损耗和色散是限制传输距离和传输容量的主要原因，随着光纤制造技术的不断发展，光纤的损耗已经降低到接近理论极限值的程度，色散问题就成为实现超长距离和超大容量光纤通信的主要问题，光孤子通信是一种全光非线性通信方式，也是消除色散的最佳途径，因此对于光孤子的研究与使用也变得尤其重要。

相对于普通通信方式，光纤通信的应用领域较为广泛，光纤通信的优点在这里可以充分发挥其自身的优势，并且逐步取代电缆，可以在各个方面得到广泛应用。过去的时候长途干线通信过去主要靠电缆、微波、卫星通信，现以逐步使用光纤通信并形成了占全球优势的比特传输方法；用于全球通信网、各国的公共电信网；它还被用于高质量彩色的电视传输、工业生产现场监视和调度、交通监视控制指挥、城镇有线电视网、共用天线系统，用于光纤局域网中使用。

光纤传输系统主要包括：光发送机、光接收机、光缆传输线路、光中继器和各种无源光器件等构成。但是要实现通信，基带信号还必须经过电机对信号进行处理后送到光纤传输系统完成通信过程。

随着通信技术的不断发展，光孤子通信已经出现在了人们的视野当中，光孤子通信是一种全光非线性通信技术，其基本原理是光纤折射率的非线性（自相位调制）效应导致对光脉冲的压缩可以与群速色散引起的光脉冲展宽相平衡，在一定条件（光纤的反常色散区及脉冲光功率密度足够大）下，光孤子能够长距离不变形地在光纤中传输。它完全摆脱了光纤色散对传输速率和通信容量的限制，其传输容量比原来最好的通信系统高出了许多，中继距离也可达到几百km。因此光孤子通信被认为是下一代最有发展前途的传输方式之一。

薛定谔方程已经广泛的被应用在了光通信，等离子物理，流体力学，量子物理等领域，其中在光纤通信中的领域应用较为普遍与重要，薛定谔方程可以用来描述光孤子在光纤中的传播现象与原理。1973年，Hasagawa和Tappert首次提出了利用光纤中的非线性与异常色散相互作用的原理进行超长距离光孤子通信并且被实践所证实，同时Hasagawa和Tappen又提出了利用非线性与正常色散相互作用的暗孤子传输方案，其中光孤子传播的模型由如下薛定谔方程所表示：

其中q表示光脉冲在传播中的包络，t与x分别表示时间与空间变量。这个模型最开始被用来描述光孤子在单模光纤中的传播模型，而随着科技的进步，研究者在科研中发现了耦合的薛定谔方程可以用来描述在多模光纤、光纤阵列和双折射光纤等光纤介质中具有不同频率或极化的多个光脉冲或光束的同时传播，这些耦合薛定谔方程可用于研究孤子波分复用、多信道比特并行波长光纤网络等等。因为方程（l）所描述的光脉冲能力有限，所以我们引入耦合的NLS方程去描述更为复杂的光脉冲传播原理，本文我们主要研究一个变系数3+1维的耦合薛定谔方程

其中，φ与是变量x，y，z和t的复函数，表示在光纤传播中圆极波的振幅，β（z）是二阶反应扩散系数，x（z）是相位调制。该耦合薛定谔方程介绍了在非线性光学系统中的横向效应，它也出现在非线性光纤的耦合波包和光孤子传输的研究中。

本文的关键点在于针对该变系数3+1维耦合薛定谔方程，进行了深入的解析讨论，借助符号计算给出了该方程的孤子解，并给出了孤子解之间的相互碰撞作用分析，这些理论的分析研究为以后光在通信系统中改善光传输系统方面的应用打下了较好的理论基础。

1 双线性形式

在本节，我们将利用计算机符号计算以及双线性方法求出该（3+1）维耦合薛定谔方程的双线性形式。首先，作因变量变换

其中，g，h和f是关于x，y，z和t的复可微函数，由以上变量变换我们可以得到方程（2）的双线性形式如下：

2 方程的孤子解

在求孤子解的过程中，首先借助了小参数展开的方法，我们可以借助符号计算把g，h，f展开成小参数ε的幂级数形式

（a）单孤子解

为了得到方程（2）的单孤子解，把表达式（6）截断成下列形式将式子（7），（8）带入双线性式子（5），可得

不失一般性，我们令E=l，可以得出方程（2）的下列单孤子解

（b）双孤子解

同样为了得到方程（3）的双孤子解，在这里把表达式（6）截断为其中这里的

不失一般性，我们令ε=1，可以得出方程（2）的下列双孤子解

3 孤子的传播与相互碰撞性质

根据上面所得到的该耦合薛定谔方程的孤子解，下面借助由解得来的图像来分析判断单双孤子解的形状与运动性质。

在图1中的两个单孤子解的传播图像可以看到，单孤子在传播的过程中保持它们原来的方向、宽度和振幅不变。

如图2描述了双孤子之间发生的弹性碰撞，双峰孤子可以稳定的传输，而不改变原来的宽度和振幅，这种性质可用于改善光传输系统。

4 结论

本文我们详细研究了一个在光纤通信中的变系数3+1维的耦合薛定谔方程，通过双线性方法并借助符号计算，我们推导出了该方程的双线性形式以及单、双孤子解。通过画图分析，研究了孤子传播以及孤子的弹性弹性碰撞的相关特点种性质，发现双孤子发生弹性碰撞，可以稳定的传输，而不改变原来的宽度和振幅。

该方程描述了光脉冲在光纤中的传输与非线性光学的横向效应，当色散项与非线性项达到某种平衡的时候，光纤可以在进行最大限度地无损传播。利用好方程各项系数之间的相互作用关系，对于研究光纤的传导是有着极大的用处的，使光脉冲变宽和变窄两种效应刚好抵消，能在光纤传输中保持不变，实现超长距离，超大容量的通信，另外也可据此解与图像的分析得到的结果可能在光通信系统中改善光传输系统方面有潜在的应用。通过对这些理论的研究可以更好地为光纤通信的发展，奠定坚实的理论基础，最大效率地达到光纤通信很好应用的目的。