Faddeev 模型的求解及数值模拟

赵宝珠, 石长光

(上海电力学院 数理学院, 上海　200090)



Faddeev 模型的求解及数值模拟

赵宝珠, 石长光

(上海电力学院 数理学院, 上海200090)

摘要:通过构造合适的矢量,对Faddeev模型的场方程进行了化简,使用Mathematica软件对模型中的非线性方程进行了数值求解.为方便使用,还对大量的数值解进行了有效拟合.采用拟合的解析解,得到了此类简化后的场方程的三分量的波动解,数值模拟给出了此类解的外形特征.

关键词：Faddeev模型; 数值模拟; Mathematica软件

寻求非线性系统的解,特别是孤立波解(包括精确解和数值解)是孤立子理论研究的一个主要内容[1-3].近年来在非线性问题中,非线性演化方程的求解和定性分析占有很重要的地位[4-5].国内外的研究者创造了许多求解非线性发展方程的方法.比较系统的求解方法和分析手段,有Jacobi椭圆函数展开法和齐次平衡法等[6-7]，这些方法可以求得非线性波方程的周期解、冲击波解或孤立波解.求1+1 孤立子方程解析解的方法很多,如逆反射法、Hirota方法、Backlund 变换、Darboux 变换等[8-11].文献[12]较详细地介绍了几种新方法,但只对求解几类特殊的2+1维的非线性系统有效.随着数学机械化的发展,孤立波的研究也开始越来越多依赖于计算机的应用,随之而来产生了一系列求解非线性波动方程的新方法[13],并且这些方法逐渐被应用到离散的非线性微分-差分系统和随机微分系统中来研究离散系统和随机系统的孤立波问题.

本文首先介绍了Faddeev模型的构成、理论化简与求解,然后结合数学软件Mathematica和Matlab对方程进行了数值求解,并对数值结果进行拟合，得到了近似的解析解,最后展示了几种情况下本模型的场分量的外形特征.

1Faddeev模型的求解

Faddeev模型是修正的非线性σ模型,它建立在Hopf电荷不变以及Skyrme模型[14]的基础上.一般认为Faddeev模型来源于SU(N)Yang-Mills理论的红外极限.该模型包含一个3分量的矢量场:

(1)

Faddeev模型的拉格朗日密度由式(2)至式(5)给出:

(2)

(3)

(4)

(5)

式中:c2,c4——耦合常数.

Faddeev模型的场方程n可由复函数u表示:

(6)

定义：

(7)

(8)

式中:ρ,φ,z——柱坐标;

m,n——任意整数.

我们考虑Faddeev模型满足如下空间:

(9)

且边界满足:

(10)

g(ρ)满足方程[ 15]:

(11)

及其边界条件:

(12)

(13)

由式(6),式(7),式(8)可以得到矢量场n的3分量如下.

n1分量:

n2分量:

n3分量:

为了获得n1分量、n2分量、n3分量的最终结果,首先我们需要获得g(ρ)的表达式.

2g(ρ)的拟合解

2.1m=1和n=1时

在得不出解析解的情况下,我们取边界条件g(0),g′(0)=1,首先利用Mathematica求方程(13)的数值解.再利用Table函数,提取数值解,以0.02个单位.

根据这些数值点并利用Matlab中的cftool函数包找到一个最佳拟合函数进行拟合,g(ρ)的拟合函数为:

g(ρ)=

(15)

拟合曲线如图1所示.由图1可以看出，数值解很好地在拟合曲线上.为了比较拟合与非拟合的误差,利用Matlab得到和方差与均方根及确定系数.由误差分析结果可知,和方差为0.000 110 2,均方根为0.001 455.和方差与均方根的值均较小,且在合理范围内,故认为该拟合函数较为合理.

2.2m=2和n=1时

取边界条件g(0)=g′(0)=0,ρ0选为0.47,求出方程(13)的数值解.再提取曲线上的数值点,以0.01个单位,利用Matlab中的cftool函数包找到g(ρ)的一个最佳拟合函数为:

拟合图像如图2所示.拟合效果比较好,误差

分析结果为:和方差为0.000 232 9,均方根为0.002 444.

3n场行为的数值模拟

为了展示n场的具体外形分布特点,这里选定以上得到的3种情况的g(ρ),并结合式(7),式(8),式(14),并设z=1,z=φ∈(0,2π)时进行数值模拟.

当m=1,n=1时,3分量的数值模拟结果如图3所示.当m=2,n=1时,3分量的数值模拟结果如图4所示.

4结语

结合数学软件Mathematica及Matlab对非线性方程在满足某些边界条件情况下进行了数值求解,得到了其数值解及拟合解.尽管拟合解不如数值解精确,但拟合解在我们研究的区域内有效,且可以方便地给出解析形式,对于最终求得此非线性场的解起到了关键的作用,从而获得了模型中依赖于整数m和n的3个场分量,分别得到了m=1,n=1和m=2,n=1时柱坐标的z分量为1时的孤子波曲面图的外部特征,形象地展示了此类非线性场模型的内部本质.由图像可以看出,m=1时的正向波包有1个,m=2时的正向波包有2个,可以看出m的数值影响波包的数目.对于n增大到2的情况也进行了类似的数值模拟,但结果表明n值并未明显地影响正向波包的个数,这仍是我们要继续研究的问题.

本研究对发展非线性偏微分方程的求解方法、理论上探索非线性模型的内部规律、揭示模型中隐藏的对称性,以及孤立子在非线性模型中的应用具有一定的借鉴作用.

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(编辑白林雪)

Solution and Numerical Simulation of Faddeev ModelZHAO Baozhu, SHI Changguang

(School of Mathematics and Physics, Shanghai University of Electric Power, Shanghai200090, China)

Abstract:The field equation of Faddeev model is simplified by constructing suitable vectors.The nonlinear partial differential equations of the model are solved numerically by using software Mathematica.The massive numerical solutions are fitted effectively for convenient use.The fitted analytical solutions are utilized which result in three-component wave solutions of the simplified field equation,and the behaviors of these solutions are shown by numerical simulations.

Key words:Faddeev model; numerical simulation; Mathematica software

中图分类号：O413.4; O175.29

文献标志码：A

文章编号：1006-4729(2016)01-0093-04

基金项目：上海市科学技术委员会自然科学基金(11ZR1414100).

通讯作者简介：石长光(1972-),女,博士,教授,辽宁沈阳人.主要研究方向为计算物理,理论物理.E-mail:shicg@shiep.edu.cn.

收稿日期：2015-06-04

DOI：10.3969/j.issn.1006-4729.2016.01.020