天平在方程教学中的价值追寻

胡余芳

（浙江省慈溪市实验小学教育集团）

天平在方程教学中的价值追寻

胡余芳

（浙江省慈溪市实验小学教育集团）

方程是中小学数学中重要的学习内容，其内涵丰富而抽象。在小学起始阶段的“方程的意义”教学中，巧用天平能够帮助学生经历从算术思维向代数思维发展的首次转折。以此课为例，结合学生学习方程的心理状态，追寻天平在方程意义教学中的价值，以便更好地开展方程的教学。

天平；方程；相等关系

方程是中小学数学中重要的学习内容，其内涵丰富而抽象。在小学起始阶段的“方程的意义”教学中，人教版教材设计了一组“用天平称质量”的情境图，意图通过天平演示引出等式；再通过逐步尝试、调整，在相等与不等的比较中建立方程的概念。那么，怎样才能巧用天平、用好天平？为此笔者作了如下探索：

一、课前思考与本质解读：天平的价值究竟何在

对于本课的教学，有太多的范例可循，通常都采用“天平演示写出式子（相等与不等、有字母与无字母）——进行两次分类——抽象出方程的意义——进行方程的应用”的教学流程。然而这样教学，我们不难发现，天平的作用仅仅体现在了“引出相等与不等式、提供分类素材”中，之后的学习脱离了天平，学生基本是在凭借“外形”模仿着列方程，所遇到的最大困难就是不能准确、迅速地找到数量间的相等关系。

通过前测，笔者也发现：大多数学生对方程都有认知，有的还能用图示、线段、文字等来描述。但是尽管学生对方程表征的内容、方式很多元，也都很自然地与天平取得了联系，体现了类似天平左右两边相等的现象。不过他们对方程的认识还仅仅局限于初步感知，直觉思维；对于方程与等式、式子、不等式之间的联系与区别不够明确；更有甚者，在不少学生头脑中，错误地认为，只要有未知数的都是方程。

东北师范大学前校长史宁中教授认为：“虽然方程在教科书中定义为‘含有未知数的等式’，但应当知道方程的本质是在讲两个故事，这两个故事有一个共同点，在这个共同点上两个故事的数量相等。”这就表明，光从定义出发去判断一个式子是不是方程意义不大。认识方程最大的意义在于：要让学生知道方程是一种等价的思想，是把未知量视为已知数同等性质可参与运算的量，利用等量关系构造出方程，进而求得问题的解。

鉴于以上认识，笔者认为：天平起着重要的“思维图像”的作用，它能为方程意义的建构搭建形象直观的脚手架，能帮助学生深化对“相等关系”的理解，能引导学生经历从算术思维向代数思维发展的首次转折。在本课的教学中，无论是方程建模本身的需要，还是遵循学生的认知规律，都需要借助天平，并把它贯穿于整堂课的始终，甚至延伸课后。

二、实践探索与教学反思：天平的价值如何体现

方程建模的关键在于理解“相等关系”，学生能从现实情景中等价抽象出自然语言，再把自然语言用数学符号等价地表达出来。为此，我设计了“借天平”“离天平”“回天平”“忆天平”四个环节展开教学。

（一）“借天平”，沟通等式与方程

【课堂行进】

1.出示教材五幅主题图，引导学生用数学式子表示图意。

2.学生试写，教师巡视。

3.汇报交流，反馈得到下列式子：

50+50=100、100+x＞100、100+x＞200、100+x＜300、100+x=250

4.分析上述等与不等的产生情况，认识等式。

5.小步子练习：根据天平演示的情况写出等式。

【思绪整理】

学习方程的概念要从认识等式开始，因此，教材安排的主题图为引入方程概念奠定了初步的、感性的认识基础。教学时，考虑到学生对方程不是“一无所知”，因此对五幅图进行了处理：去掉式子，只呈现情境，让学生在四人小组内自主体会图意，先用语言描述，再写出等式（方程）和不等式，进而认识等式，初步感知方程。同时通过“确定水的质量”，使学生体会到只有在等式里才能明确得出水的质量，而我们要研究的就是这样的等式。再结合天平直观图中的小步子练习，为后续环节的展开作好铺垫。

（二）“离天平”，丰富方程的外延

【课堂行进】

1.根据相等关系写出等式。

2.学生试写，教师巡视。

3.汇报交流，呈现方程形式的多样性，丰富表象。

【思绪整理】

数学概念是固定的，但呈现概念的方式是丰富的。生活中存在许多相等关系，要让学生根据生活情境、文字信息、线段图示等获得更加多样的等式，以丰富方程的外延。教学时，我选择了四个具有代表性的生活情境，引导学生提取相等关系，写出等式，丰富表象。

（三）“忆天平”，构建起方程模型

【课堂行进】

1.“嫁接”天平，体会天平平衡与左右两边相等的同理。

2.学生尝试、汇报交流，结合学生回答，动态演示移动过程。

3.整理刚才所学，抽象出方程概念。

4.揭示方程概念，阅读课本加深印象。

【思绪整理】

离开天平写等式的过程并不顺利，要使学生面对丰富多样的情境，也能进入对方程模型的自觉运用中，天平还得起到“扶手”的作用。因此，在写完等式后的反馈说理环节，仍要引导学生回忆天平的模型，把两个具有相等关系的量放在天平的两边，使学生体会到“等式左右两边相等和我们刚才天平平衡、左右两边相等的道理是一样的”“离开了天平，但生活中的例子有时还真可以想象成天平的样子”，使学生不断加深对方程本质的认识和理解，进一步明晰方程概念的内涵，感知方程的多样性、拓展外延。

当学生积累了丰富的数学经验后，就要引领学生进行再创造：将原本在头脑中相对粗浅、片面、原始的经验通过概括、辨析等数学活动逐步成长为较为系统、明确的数学概念。然而这一过程也需要“渐入佳境”，因此，我有意识地拉长这个知识抽象的时间跨度，设计了一个“整理刚才所学，抽象方程概念”的过程，把之前学习过程中所有出现的图和式呈现在学生面前，引导他们发现规律，揭示概念，以保证不同的学生都能有多层次、多形式的尝试体验。

（四）“回天平”，加深对方程的认识

【课堂行进】

1.明确判断方程的方法，进行判断练习，总结方程与等式关系的韦恩图。

2.回顾学习历程，小结学习所得，总结学习方法，得出结论：“这节课我们借助天平写出了方程，生活中的数量关系就像一架隐形的天平也能写出方程”。

3.再建天平，进行知识整合，沟通前后联系。

（1）联想：怎样使x+30、7x成为方程。

（2）思考：继续称，天平会怎样？如果还想让天平保持平衡应该怎么做？

【思绪整理】

数学知识具有严密的逻辑性和内在联系，旧知是学习新知的基础，新知是旧知的延伸和发展，知识之间的纵横交错形成了系统的知识网络。学生掌握知识的过程，实际上就是把平时学到的“分散”“杂乱”的知识通过理解和内化，逐步扩充、完善他们的认知结构。所以，在揭示方程概念之后，我一方面通过一组判断题及时地检验了学生的学习成果，另一个方面仍紧紧扣住“天平”的纽带作用，把“方程”和之前学的“用字母表示数”联结起来；还把天平游戏进行了补充，使学生在有趣的情境中初步体会了等式的性质，为下节课做好了铺垫。

教学实践证明，当学生还处在懵懂状态时，“借天平”唤醒了学生对等式的认识，帮助学生建立了初步的“相等”意识；当学生取得足够进步时，“离天平”帮助学生积累了丰富的数学表达，为抽象出“方程”的意义做好了充分的准备；当形成数学概念时，“忆天平”再次引导学生进行内化梳理，体会方程的内涵，抽象出了方程的概念；当进行知识联结时，“回天平”又进一步指导学生架构起了知识的前后联系。方程概念的内涵和外延，在天平“步步为营”的引领下得到了充分的探究，教学取得理想的效果。

总之，方程的本质是等价关系，天平的本质是平衡关系，我们可以把方程类比迁移到天平，甚至可以把天平看成是方程的形象表征。就让我们用好天平、用足天平，让天平成为方程建模的“最佳拍档”吧！

［1］邓群星.如何上好小学五年级数学解方程［J］.中国科教创新导刊，2014（12）.

［2］王丽霞.浅谈小学方程教学的变革［J］.课程教育研究，2013（30）.

·编辑 薄跃华