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素数循序逐增现象与“素数黄金带”

2016-04-01张尔光

科技视界 2016年7期
关键词:形态

张尔光

【摘 要】本文将寻求素数的表达式及其得数称之为“素数黄金带”,并从将正整数方阵变为棱阵的方法中,发现了素数的循序逐增规律,进而找到了一种可找到优质“素数黄金带”的形态。

【关键词】素数表达式;素数黄金带;形态

“素数黄金带”是素数研究的一个课题。这些年,笔者依照素数与自然数同存相随及循序逐增规律,对“素数黄金带”进行了研究和探索,取得了应有的成果。

所谓“素数黄金带”,是笔者根据人们寻找素数的方法,将“黄金含量”引进素数“域”里面而创立的名词。是指人们依照素数与自然数同存相随及循序逐增规律,为寻找素数而创立的表达式及其得数依序形成的“数字链条”。而这条“数字链条”的素数比率,就是其“含金量”。

“素数黄金带”的“含金量”有高低之分。笔者认为,如其素数比率等于或小于同自然数范围的素数比率的,则称之为劣质“素数黄金带”;如其素数比率为同自然数范围的素数比率的2至3倍的,则称之为普通“素数黄金带”;如其素数比率等于或大于同自然数范围的素数比率的3倍以上至4倍的,则称之为含金量较高的“素数黄金带”;如其素数比率大于同自然数范围的素数比率的4倍的,则称之为优质“素数黄金带”。

自古以来,不知有多少数学家为寻找“素数黄金带”创立了不少表达式。他们都希望能找到一条其得数全为素数的“素数黄金带”。可惜,至今还没能实现。

据笔者所知,比较有名的素数表达式有“费马素数”、“梅森素数”。数学家费马认为,形如22n+1的数是素数(n=0,1,2,3,4,…)。可事实作出了回答,费马素数,除了前5个得数是素数之外,人们至今还没找到第6个费马素数。

梅森素数是指形如2∧P-1的正整数,其中指数P是素数,常记为MP。若MP是素数,则称为梅森素数。事实证明,到目前为止,人们找到了48个梅森素数。从素数比率这个角度来说,梅森素数也不是一条优质的“素数黄金带”。但是,梅森素数对素数研究的最大贡献,是在于为人们寻找更大素数提供了便于计算、验证的式子。所以,进入电子计算机时代之后,人们新发现梅森素数,便是人们知道的最大素数。

笔者认为,类似于“当0

总而言之,寻找素数的式子还有很多。因笔者知之甚少,不够资格做更多的解读。但是,有一点可以肯定,其式子得数依序连续为40个素数的“素数黄金带”,恐怕难于找到。这是由素数特征所决定的。

这些年,笔者也在寻找“素数黄金带”。笔者依照素数与自然数同存相随及循序逐增规律,创立了多个式子,并对式子得数进行验证,属于理想的式子只有几个。其中,“6×m±1”式子算是优良的“素数黄金带”。此外,发现了一种可找到优质“素数黄金带”的形态。现将该式子和形态进行分析解读。

1 “6×m±1”式子的“素数黄金带”

笔者研究结果表明,“6×m±1”式子,按照m的个位数0、1、2、3、4、5、6、7、8、9分为10条支线,此10条支线所计得的得数就是10条“素数黄金带”,且是含金量较高的“素数黄金带”。为此,笔者将此10条支线的前100个等式的得数素数比率进行了统计(表1)。

表1 “6×m±1”式子得数的素数比率分析表

注:自然数5至6000范围的素数比率为13.02%.

从表1看出,“6×m±1”式子中的10条支线的得数的素数比率,均大于同自然数范围的素数比率的3倍。由此可见,此10条支线是含金量较高的“素数黄金带”。

2 一种可找到优质“素数黄金带”的形态

笔者依照素数与自然数同存相随以及循序逐增的原理,应用矩阵的方法,发现了一种可找到多条含金量高的“素数黄金带”的形态。

笔者根据正整数方阵的原理,将自然数“1,2,3,4,5,6…n”依序按方阵形式排列,然后,再将这个方阵旋转90°,使之成为四棱矩阵(见图1)。从这个棱阵的排列数字中,便可发现一种有趣现象。

从图1看出,如将中线数划归与左半棱,那么,左半棱数字中存在素数的量明显多于右半棱。经验证,在自然数2至121(112)的范围,共有30个素数,其中左半棱的素数22个,右半棱只有8个。再认真细看左半棱的数字,不难发现,第3行的边线数至中线数的2个数均为素数,第5行的边线数至中线数的3个数均为素数,第11行的边线数至中线数的6个数均为素数。如将棱阵的自然数扩延至412(即1681),第17行的边线数至中线

图1数的9个数均为素数,第41行的边线数至中线数的21个数均为素数。经笔者对此种现象研究,发现此种现象就是“一种形态素数”。现以表格形式表达出来。见表2。

从表2的4个实例看出,它们有一个共同特征,就是中线数、左边线数、棱阵行次数均为素数。但不能因此就妄下定论,说具有这个特征的,循着其有序规律而求得的得数“链条”,必是一条纯金的“素数黄金带”。因为,笔者研究结果表明,具有这个特征的、循着其有序规律而求得的得数全为素数的,仅局限于此4个实例,“当0

笔者研究结果表明,“n2-n”的式子与“2×C2 n”的式子是同一个意思,即:

22-2=2×1=2×C2 2; 32-3=2×3=2×C2 3;

42-4=2×6=2×C2 4; 52-5=2×10=2×C2 5。

此后依次类推。

又组合数的循序逐增原理告诉我们,C2 n的组合数乃是自然数“1,2,3,4,5,…”的依次累加数,即:

1=C2 2;1+2=C2 3;1+2+3=C2 4;1+2+3+4=C2 5。

此后依次类推。

笔者将以上的规律加基数素数的方法,创立了“当基数素数+(2×C2 n)有可能是素数”的形态,并应用此形态找到了若干优质“素数黄金带”。笔者将此成果以表3表达出来,以与素数研究者共享。

表3 “当基数素数+(2×C2 n)有可能是素数”形态的4条“素数黄金带”

注:素数黄金带d,其(41+2×C2 2)至(41+2×C2 40)的39个式子得数全为素数,(41+2×C2 41)式子得数1681,是合数,为41的平方.表中的素数比率不含(41+2×C2 2)至(41+2×C2 40)的39个式子得数.

从表3看出,表中a、b、c、d四条“素数黄金带”的素数比率,均为同自然数范围的素数比率的5倍,甚至还高于“235状态”的10条“素数黄金带”的素数比率10个百分点,尤其是“素数黄金带d”,其素数比率遥遥领先,应该说是“素数黄金带”的王者。可见,表中a、b、c、d四条“素数黄金带”是优质“素数黄金带”。

在对“当基数素数+(2×C2 n),有可能是素数”的形态的研究中,笔者根据两素数差的原理,又发现了奇素数原理,即“奇素数+(2×C2 n)”式子的得数虽然不可能是全为素数,但是,凡是大于3的奇素数均可表为“一个小于其的奇素数+(2×n)之和”。笔者正是根据这个“奇素数原理”,发现了哥德巴赫猜想成立的证明方法(见《中国少年》2016年第三期《哥德巴赫猜想成立的两种证明方法》)。

[责任编辑:王楠]

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