混凝土破坏全过程分析的扩展内嵌裂缝模型

吴建营，李锋波，徐世烺（.浙江大学建筑工程学院，浙江杭州 30058；2.华南理工大学亚热带建筑科学国家重点实验室，广东广州 5064）



混凝土破坏全过程分析的扩展内嵌裂缝模型

吴建营1，2，李锋波1，徐世烺1
（1.浙江大学建筑工程学院，浙江杭州 310058；
2.华南理工大学亚热带建筑科学国家重点实验室，广东广州 510641）

摘要：为解决传统内嵌裂缝模型仅能考虑定常位移跳跃而导致的应力闭锁问题，并保证裂缝张开位移在相邻单元间的连续性，基于强不连续问题位移场的多尺度统一表述，选取具有明确物理意义的裂缝节点（裂缝与单元边的交点）位移跳跃作为增强自由度，提出了适用于混凝土等准脆性材料和结构破坏全过程分析的扩展内嵌裂缝模型，并给出了其有限元实现方法。对楔入劈拉试验Ⅰ型和单边缺口梁混合型破坏等混凝土标准试验进行了数值分析，得到的裂缝路径和荷载位移曲线均与试验结果或文献结果吻合良好，验证了模型理论的有效性，同时分析结果也表明该模型具有较高的粗网格精度和良好的数值健壮性。

关键词：混凝土；损伤与破坏；内嵌裂缝模型；应力闭锁；有限元方法

混凝土在高层建筑、高速铁路、高速公路、水工结构、桥梁涵隧等重大土木工程结构中应用十分广泛。作为典型的准脆性材料，混凝土裂缝的非线性演化和扩展是导致结构完整性降低甚至发生破坏的罪魁祸首，因此，保证混凝土结构安全服役必须全面地掌握裂缝，并客观准确地反映裂缝非线性演化对材料力学性能劣化和结构损伤破坏过程的影响规律。

内嵌裂缝模型（EFEM）和扩展有限元方法（XFEM）是研究混凝土裂缝非线性演化的两类有效途径，它们均可将裂缝嵌入到单元的任意位置，裂缝处的本构行为一般采用基于混凝土断裂能的黏聚裂缝模型加以描述，并通过裂缝跟踪算法保证计算结果与有限元网格排列方向无关。二者的区别在于，EFEM在单元层次直接考虑裂缝引起的位移不连续，并将裂缝处的牵引力连续条件作为求解附加未知量的补充方程，而XFEM则采用普通节点的增强自由度间接表征裂缝位移跳跃，并通过变分原理求解附加未知量。笔者前期研究[1-3]表明，EFEM描述的裂缝变形模式是XFEM的特例，张开位移沿裂缝线性变化时二者给出的单元位移模式完全相同；另一方面，EFEM中求解附加未知量的补充方程严格满足力平衡条件，因此在混凝土裂缝扩展分析中，EFEM往往具有更高的粗网格精度[4]。

早期的EFEM在单元平均意义上考虑裂缝处的牵引力连续条件，而没有考虑裂缝的具体位置，因此仅适用于三角形常应变单元和定常位移跳跃模式[4-6]。对于高阶单元如常用的四边形单元而言，上述处理方法不仅难以保证牵引力连续，同时还存在严重的应力闭锁问题而导致分析结果严重失真。部分研究人员[7-8]考虑了非定常的位移跳跃模式，试图解决上述问题，其中，Manzoli等[7]考虑了相对刚体平动和刚体转动等变形模式，分别对应于裂缝定常位移跳跃和裂缝法向线性位移跳跃；Linder等[8]则进一步考虑了裂缝切向线性位移跳跃的单侧受拉变形模式，但仅适用于泊松比为零这一特例。

另外，传统的EFEM通常将附加未知量作为局部变量，并在单元层次对其进行静力缩聚。这种方法可以保持结构刚度矩阵带宽不变，便于在普通有限元软件中实现，却难以保证相邻单元间裂缝张开位移的连续性，由此给出的裂缝张开位移不再代表“裂缝宽度”这一具有重要工程应用价值的物理量。同时，裂缝穿过单元邻边时，单元完全破坏后会导致刚度矩阵奇异，必须采用特殊技巧对此进行处理[7-8]，以保证模型的数值稳定性。Alfaiate等[9-10]考虑相对刚体平动和刚体转动等变形模式，并将裂缝与单元边交点（即裂缝节点）处的位移跳跃作为全局自由度，以保证相邻单元间裂缝张开位移的连续性。然而，该模型采用了类似于XFEM的方法求解附加未知量，难以准确描述裂缝处的牵引力连续条件。

针对上述问题，基于笔者前期发展的强不连续位移场的统一多尺度表述[1-3]，本文提出了同时满足变形协调和牵引力连续条件的扩展内嵌裂缝模型，给出了其有限元实现格式，并将其应用于混凝土等准脆性材料和结构的破坏全过程分析。该模型考虑了严格满足牵引力连续条件的裂缝定常和线性位移跳跃等变形模式，并将附加未知量作为全局自由度进行求解，不仅可以保证相邻单元间裂缝张开位移的连续性，且能够解决传统内嵌裂缝模型存在的应力闭锁问题。对若干混凝土结构标准验证性试验进行了数值分析，验证了本文提出的扩展内嵌裂缝模型的有效性并具有较高的粗网格精度和良好的数值健壮性。

1 扩展内嵌裂缝模型

如图1所示，考虑由外边界Γ包围的固体区域Ω，其外法线方向为n*，空间坐标记为x。固体Ω受到均布体积力b*作用，同时在边界Γt上还作用了面力t*。相应地，位移场表示为u（x），其中边界Γu处的已知位移记为u*。为了保证上述边值问题具有唯一解，力边界和位移边界需不重叠，即满足Γu∩Γt＝0和Γu∪Γt＝Γ。

图1 固体强不连续边值问题示意图

固体Ω被裂缝S分成了两个子区域Ω-和Ω＋，不失一般性，这里裂缝S的单位法向量n定义为从Ω-指向Ω＋。位移场u（x）在各子区域内保持连续，但在裂缝S处存在位移跳跃[u]。引入单位阶跃函数HS（x），即对于x∈Ω＋有HS（x）＝1，而对于x∈Ω-∪S有HS（x）＝0。相应地，位移场u（x）可以表示为

根据固体强不连续问题的运动学统一表述[1-3]，可将位移场u（x）进一步分解为粗尺度位移场u-（x）和细尺度位移场u～（x）两部分，即桥连位移场u′（x）定义为裂缝引起的不连续位移场HS（x）·u^（x）在粗尺度位移空间上的投影，以保证细尺度位移场与粗尺度位移场u-（x）解耦。

类似地，未开裂部分ΩS的常规应变场ε（x）也可以分解为这里粗、细尺度应变场（ε-，ε～）表示为式中∇s为对称梯度算子。

准静态荷载作用下，上述固体强不连续边值问题的控制方程可以写成如下弱形式[1-2]：

上述粗尺度静力平衡方程弱形式（式（5）第一个方程，记为（5）1）为标准的虚功原理，而式（5）第二个方程（记为式（5）2）则等效于不连续界面处的牵引力连续条件，二者共同构成了扩展内嵌裂缝模型的控制方程。一方面，通过选择合适的单元增强自由度，模型可以保证相邻单元间裂缝张开位移的连续性即变形协调；另一方面，由于采用了满足静力平衡的牵引力连续条件，模型具有较高的粗网格精度。

本文即根据上述粗、细尺度弱形式发展一类扩展内嵌裂缝模型，有效地处理固体强不连续的边值问题，并将其应用于混凝土材料和结构破坏全过程的数值模拟。

2 模型的有限元数值实现

这里采用有限元方法对控制方程弱形式（式（5））进行求解。需要说明的是，本文提出的模型对具体的单元类型并无限制，为阐述方便，仅考虑二维四边形单元，具体单元类型可以采用位移插值单元、混合假设应力单元PS[11]或混合假设应变增强单元QE2[12]等。

2. 1 单元位移和应变场

根据有限元方法，单元Ωe的粗尺度位移场-u（x）和应变场-ε（x）通过单元节点位移di插值得到，即式中：N为单元插值形函数矩阵，ξ为单元自然坐标系；d为单元节点位移向量；-B 为粗尺度位移应变矩阵，其子矩阵-Bi（x）与具体单元类型有关。

对于开裂单元，还需进一步考虑裂缝引起的细尺度位移场u～（x），其关键在于确定满足牵引力连续条件的相对位移场u^（x）。对于黏聚裂缝，裂缝扩展的能量耗散与裂缝张开位移有关而与裂缝扩展长度无关。因此，这里假设裂缝沿直线穿过单元，其起点和终点均在单元的某条边（可以为对边或邻边）上，并称两个交点k∈（1，2）为裂缝节点。

图2 四边形单元的裂缝变形模式

考虑如图2所示的四边形单元Ωe，单元内裂缝Se的长度为LeS，全局坐标x轴与裂缝法向矢量n之间的夹角（逆时针）记为θ，裂缝Se的切向矢量记为m。以裂缝Se的中点x0＝（x0，y0）T为坐标原点，沿裂缝切线方向m引入局部坐标s。于是，裂缝Se上任意点的全局坐标x及其相对于中点x0的坐标Δx＝x-x0均可由该点的裂缝局部坐标s确定。裂缝节点k∈（1，2）处的位移跳跃记为wk，即相应的附加自由度向量记为w＝（w1，w2）T。

笔者前期研究[1-2]给出了严格满足裂缝牵引力连续条件的两种变形模式，即引起位移跳跃定常分布的刚体平动以及引起位移跳跃线性分布的刚体转动和单侧切向拉伸，并给出了如下相对位移场^u（x）和位移跳跃[u]（s）：

k＝1

插值函数^Nk（x）和Jk（s）分别表示为式中：I为二阶单位矩阵；函数Jk（s）＝1/2＋（-1）ks/ LeS与裂缝局部坐标s有关。

根据桥连位移场u′（x）的定义，不难给出细尺度位移场～u（x）。相应地，细尺度应变场～ε（x）表示[1-2]为式中细尺度位移应变矩阵^B（x）的子矩阵～Bk（x）由下式给出：节点集合I＋为子区域Ω＋e上的单元节点；子矩阵B^k（x）由定义B^kw＝∇s（N^kw）给出，详见文献[2]。需要说明的是，相对刚体平动和刚体转动对常规应变场ε（x）没有贡献，而单侧切向拉伸会引起沿裂缝方向的应变跳跃。

最后，可以得到如下单元常规应变场ε（x）：根据未开裂材料的本构关系即可给出相应的应力场σ（x）。

可以严格证明[1-2]，当单元Ωe完全破坏后，其常规应变场ε（x）和应力场σ（x）均为零。换言之，上述位移场和应变场描述的扩展内嵌裂缝单元不会发生应力闭锁，可以消除已有裂缝模型应力闭锁导致的分析结果失真问题[13]。

2. 2 有限元平衡方程

根据有限元方法，粗尺度静力平衡方程（5）1可写成如下残量形式

e

式中：B 为标准位移应变矩阵，定义为Bd＝

nl ∇s（Nd）；算子lA＝1将计算区域内所有单元的力列向量和刚度矩阵等进行整体集成；外力列向量-fext由给定的体积力b*和面力t*给出：上述粗尺度静力平衡方程与标准有限元相同。

对于所有开裂单元，尚需进一步考虑表征牵引力连续条件的细尺度控制方程（5）2。一般情况下，单元数值积分点并不位于不连续界面Se上，因此需要将积分点处的应力σ投影至不连续界面Se。相应地，细尺度控制方程（5）2可表示为

这里引入了投影矩阵P（x）＝（P1（x）M，P2（x）M），其中多项式Pk（x）和矩阵M分别表示[2]为式中p（x）＝（1，x，y）T为线性多项式的基函数。

粗、细尺度的平衡方程式（15）和式（17）是普通节点位移d和裂缝节点自由度w的非线性方程组。由于混凝土破坏全过程具有强烈的非线性特性，往往需要采用增量迭代方法求解上述有限元平衡方程，具体过程可参见文献[2，14]。

类似于传统内嵌裂缝模型，裂缝节点的自由度w可作为单元的局部属性，并通过静力缩聚保证系统的自由度总量不变。注意到裂缝节点处于相邻开裂单元的公共边，因此也可以将其作为全局自由度，以保证相邻单元间裂缝张开位移的连续性。本文采用第二种处理方式，此时上述裂缝节点的自由度w具有明确的物理意义且便于施加裂缝边界条件，特别适用于多物理场耦合（如水力劈裂、渗透）作用下混凝土材料和结构的损伤破坏全过程分析。

3 混凝土破坏全过程分析

以下对楔入劈拉Ⅰ型破坏和单边缺口梁混合型破坏两个混凝土标准验证性试验进行数值模拟，并将分析得到的裂缝扩展路径、荷载位移曲线等与试验结果及其他方法分析结果进行对比，以验证本文提出的扩展内嵌裂缝模型（以下简称本文模型）对于任意裂缝扩展路径下混凝土结构破坏全过程分析的适用性。

分析对象均为平面应力问题，网格划分采用四节点单元。考虑到应变和应力计算精度的需要，单元采用混合假设应变增强单元QE2[12]。

3. 1 本构关系

前面已经提到，为了求解上述固体强不连续问题，必须已知未开裂部分的材料本构关系和裂缝处的黏聚力模型。对于混凝土等准脆性材料，受拉开裂前一般可假定为线弹性；受拉开裂后，由于应变局部化的影响，非线性变形也主要集中在裂缝处，而未开裂部分处于弹性卸载状态。因此，对于未开裂部分的材料假定为线弹性本构关系。

对于二维裂缝问题，可以将黏聚力t和位移跳跃[u]沿法向矢量n和切向矢量m进行分解，建立局部坐标系中黏聚力分量（tn，tm）和位移跳跃分量（[u]n，[u]m）之间的定量关系，分析中采用文献[15]中的损伤模型。首先，裂缝的加/卸载状态通过如下损伤准则加以判断：式中：参数β≥0控制等效位移跳跃[u]eq中裂缝法向和切向行为之间的耦合影响；历史变κ≥0代表加载过程中到达的最大等效位移跳跃，即κ＝max（[u]eq）。相应地，与[u]eq共轭的等效黏聚力teq取决于上述损伤准则，即：当裂缝处于加载状态时有f（[u]eq，κ）＝0，此时teq和κ之间满足给定的软化关系teq（κ）；当f（[u]eq，κ）＜0时，teq沿指向原点的直线卸载。确定等效黏聚力teq后，法向和切向裂缝黏聚力（tn，tm）由虚功原理给出，即上述裂缝黏聚力关系可通过坐标转换矩阵T：＝（n，m）转换至整体坐标系。

对于Ⅰ型和混合型破坏，数值模拟中分别取参数β＝0（此时teq＝tn和[u]eq＝[u]n，即切向剪切行为对裂缝演化无影响）和β＝2；软化曲线统一采用以下指数形式：式中ft和Gf分别为混凝土材料的抗拉强度和断裂能。

此外，在结构裂缝扩展数值模拟过程中，需要实时判断某单元是否开裂。一旦单元开裂，裂缝的具体位置信息可以通过裂缝跟踪算法给出。本文采用基于单元网格拓扑连接的局部跟踪算法，并保证裂缝路径的连续性，即裂缝从某起点出发，沿一定方向在单元内直线扩展，直至与该单元的另一条边相交，相邻单元间裂缝首尾相连。为简单起见，模拟采用基于单元平均应力的开裂准则和基于单元非局部应力的裂缝扩展方向，具体过程详见文献[2]。

3. 2 楔入劈拉试验

首先考虑平面尺寸如图3所示的楔入劈拉试件[16]，平面外厚度为400 mm，在上部预制缺口中点处施加一对大小相等、方向相反的位移u，相应的荷载大小为P。该试验产生一条从缺口位置竖直向下扩展至试件底部的Ⅰ型裂缝。

图3 楔入劈拉试件（单位：mm）

混凝土材料的基本属性由文献[16]给出，即弹性模量E0＝28. 3 GPa，泊松比ν0＝0. 18，抗拉强度ft＝2. 12 MPa，断裂能Gf＝0. 373 N/ mm。试验为Ⅰ型破坏，取模型参数β＝0。

数值计算得到的荷载缺口张开位移（P-CMOD）曲线如图4所示，图中还给出了试验结果和文献[16]采用1484个三角形单元的计算结果。为了考虑不同单元网格的影响，采用了如图5（a）（b）所示的两种不同网格，得到的裂缝路径如各图中的细线所示。

图4楔入劈拉试验荷载缺口张开位移曲线

图5 楔入劈拉试验网格划分与裂缝路径

从计算结果可以看出，两种不同有限元网格的模拟结果均与文献[16]十分接近，与试验结果也吻合良好，表明本文模型具有较高的粗网格精度。同时，本文模型能够计算至底部最后一个单元开裂、构件完全破坏，计算结果不存在任何应力锁死问题，且具有良好的数值健壮性。

本文模型还初步实现了并行计算。为说明并行计算对程序运行效率的影响，在最大允许并行个数为12的双核计算机上计算上述楔入劈拉问题，得到并行个数与总运算时间的关系如图6所示（纵坐标为对数坐标），图中两条曲线分别由单元总数为532个的较细网格（如图5（b）所示）和单元总数为6119个的超细网格计算得到。可以看出，随着并行个数的增加，总计算时间不断降低，但降低幅度逐渐减小，且单元数量越多计算时间下降的幅度越显著。因此，并行计算能够有效地提高本文模型的计算效率，有望今后应用于复杂的实际工程问题。

图6 并行个数与程序总运行时间关系

3. 3 单边缺口梁试验

接下来考虑如图7所示的单边缺口梁[17]，其平面外厚度为100 mm，构件中部预制缺口的平面尺寸为5mm×20mm。梁下部左、右两加载点处施加大小比例为1：10的荷载，并保证缺口两端的竖向相对位移（CMSD）在加载过程中递增。试件发生混合型破坏，裂缝由预制缺口右端延伸至加载垫块右边缘。

图7 单边缺口梁（单位：mm）

混凝土材料的基本属性由文献[17]给出，即弹性模量E0＝35 GPa，泊松比ν0＝0. 2，抗拉强度ft＝3. 0 MPa，断裂能Gf＝0. 1 N/ mm。试验为混合型破坏，取模型参数β＝2。

图8 单边缺口梁网格划分

图9 单边缺口梁裂缝路径

数值模拟分别采用如图8（a）（b）所示的两种不同网格。从图9给出的裂缝扩展路径中可以看出，粗、细网格计算得到的裂缝路径几乎重合，且完全落在粗实线包围的试验范围内。图10给出了计算得到的荷载缺口两端竖向相对位移结果与试验包络线的对比，可以看出，本文模型两种有限元网格的模拟结果非常接近，峰值点荷载与试验结果吻合良好。与文献[17]扩展有限单元（XFEM）计算结果相比，本文模型的计算结果不存在应力锁死问题，具有更好的数值健壮性。

图10单边缺口梁试验荷载缺口两端竖向相对位移曲线

4 结 论

a.与传统EFEM相比，本文模型选取裂缝节点的位移跳跃作为增强自由度并将其视为全局变量，能够保证相邻单元裂缝张开位移的连续性。同时，单元内裂缝张开位移为线性分布，消除了传统内嵌裂缝模型仅能考虑定常位移跳跃而导致的应力闭锁问题。

b.与XFEM相比，本文模型中裂缝节点的增强自由度直接表征“裂缝张开位移”这一工程中最为关心的物理量，无需引入特殊处理方法即可施加裂缝边界条件。同时，所考虑的两类变形模式均严格满足裂缝牵引力连续条件，具有较高的粗网格精度。

c.在混凝土材料和结构破坏全过程分析中，往往无法事先预知裂缝扩展路径，裂缝穿过单元邻边的情况难以避免，本文模型在这一情况下仍能保证数值计算的稳定性和收敛性，具有良好的数值健壮性。同时，并行算法能够有效地提高模型的计算效率，有望应用于实际混凝土结构的破坏全过程分析和优化设计。

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Extended embedded crack finite element method for modeling localized failures in concrete structures/ /

WU Jianying1，2，LI Fengbo1，XU Shilang1（1. Department of Civil Engineering，Zhejiang University，Hangzhou 310058，China；2. State Key Laboratory of Subtropic Building Science，South China University of Technology，Guangzhou 510641，China）

Abstract：A novel extended embedded crack finite element method（XE-FEM）is proposed for modeling localized failures in concrete-like quasi-brittle materials and structures. Based on the unified multi-scale kinematics recently developed by the authors，the displacement jumps at the cracking nodes，where cracks intersect with the element edges，are selected as the elemental enrichment parameters. In addition to constant displacement jumps induced by relative translations of rigid bodies，linear deformation modes caused by rigid body rotation and self-stretching are consistently accounted for in the kinematics，so that the spurious stress locking can be removed. The enrichment parameters，which are shared by neighboring elements，can be regarded as global variables in the numerical implementation. Thus，the continuity of the displacement jumps can be guaranteed along the crack propagation path. Two benchmark tests of concrete structures，i. e.，the wedge-splitting test with mode-I failure and the single-edge notched beam with mixed-mode failure，were numerically simulated to validate the suggested method. The calculated response of load versus displacement and crack paths were compared to available experimental data and numerical results obtained from other methods. It is shown that the suggested method is stable and robust，with a high resolution in regard to coarse meshes.

Key words：concrete；damage and failure；embedded crack model；stress locking；finite element method

收稿日期：（2014 10 21 编辑：熊水斌）

作者简介：吴建营（1977—），男，教授，博士，主要从事混凝土非线性力学研究。E-mail：jywu@ scut. edu. cn

基金项目：国家自然科学基金优秀青年科学基金（51222811）；浙江省重点科技创新团队项目（2010R50034）；亚热带建筑科学国家重点实验室自主研究课题（2015ZB24）

中图分类号：TU311. 4；O346. 5

文献标志码：A

文章编号：1006 7647（2016）01 0053 07