巧思妙解一元二次方程

□李培华

巧思妙解一元二次方程

□李培华

同学们都知道，解一元二次方程的常见方法有直接开平方法、配方法、公式法以及因式分解法.但是，对于某些陌生、抽象和繁杂的一元二次方程，倘若仅用以上这四种方法往往难以奏效.下面介绍六种解一元二次方程的新颖有效方法，供同学们借鉴.

方法1：妙用韦达定理法

对于一元二次方程ax2+bx+ c=0（a≠0），若a+b+c=0，则此方程必有一根为1，另一根为若 a-b+c=0，则此方程必有一根为-1，另一根为

例1解方程：9406x2-8289x-1117=0.

分析：虽然这个方程各项系数的绝对值都比较大，但仔细观察原方程，则能发现各项系数之和为零，从而知原方程有一根为1，于是可利用韦达定理求解.

解：∵9406-8289-1117=0，

∴原方程必有一根为x=1，

由韦达定理得另一根为x2=

分析：仔细观察原方程发现，-1是原方程的根，再结合韦达定理求解.

∴原方程必有一根为x=-1，

再由韦达定理得另一根为x2=

方法2：妙用“a2+b2=（a+b）2→ab=0”法

若a2+b2=（a+b）2，即题设等式（方程）两边的次数相同，且左边的两项幂的底数a与b的和等于右边幂的底数a+b，则有ab=0.

例3解方程：（4-x）2+x2=16.

分析：仔细观察原方程两边的次数和底数的特点，妙用“a2+b2=（a+b）2→ab=0”法进行求解.

解：原方程可化为

（4-x）2+x2=42，

∵（4-x）+x=4，

∴（4-x）x=0，

解得x1=0，x2=4.

方法3：妙用换元法

例4解方程：144x2-36x+ 2=0.

分析：仔细观察发现原方程的二次项144x2=（12x）2，一次项-36x= -3（12x），于是将12x作整体换元，则可以把问题化难为易.

解：设y=12x，

则原方程可化为y2-3y+2=0，

解得y1=2或y2=1，

即12x=2或12x=1，

方法4：妙用零点分段讨论法

例5解方程：x2-|2x-1|-4=0.

分析：由于本题是含绝对值符号的一元二次方程问题，所以一般应利用0作临界值对绝对值符号进行分段讨论.

故原方程的根为x1=3或x2=

方法5：妙用“x2=|x|2”法

例6解方程：x2-6|x|+9=0.

分析：此题的一般解法是对绝对值进行讨论，但比较繁琐.若注意到“x2=|x|2”，则可以化繁为简.

解：∵x2=|x|2，

∴|x|2-6|x|+9=0，

即（|x|-3）2=0，

从而有|x|=3，解得x=±3.

方法6：妙配方巧构造

例7解方程：x2-4x-5|x-2|+10=0.

分析：由“x2-4x”联想到完全平方差公式的展开式，利用配方法构造完全平方差公式，再结合“x2= |x|2”法，把原方程转化为关于绝对值“|x-2|”的一元二次方程问题.

解：原方程可化为

（x-2）2-5|x-2|+6=0，

|x-2|2-5|x-2|+6=0，

∴|x-2|=2或|x-2|=3，

即x-2=±2或x-2=±3，

解得x1=4，x2=0，x3=5，x4=-1.