三角形课程难度变化分析及其对教学指导的探究

张静纯

一、背景

本课题组成员陈丹媛借助史宁中教授等人的课程难度量化分析的模型，撰写了文章《三角形课程难度的定量分析比较》，并于2014年10月12日在《考试周刊》发表，以此作为基础，分析初中几何课程三角形的课程难度变化对初中教师的教学实践的指导。

根据已发表的前文，比较2011年版《义务教育数学课程标准》（以下简称《标准》）与2000年版《全日制九年义务教育初中数学教学大纲（试用修订版）》（以下简称《大纲》）。《大纲》中课程广度系数、课程深度系数、课程事实时间、课程难度系数分别为G1=39，S1=88，T1=45，N1=131；而《标准》中对应的系数为G2=41，S2=91，T2=50，N2=126。

二、教学指导

三角形是常见的几何图形之一，在生产和生活中有广泛的应用。教科书通过举出三角形的实际例子让学生认识和感受三角形，形成三角形的概念。本文借助陈丹媛文献所得到的数据进行分析，可得到《标准》与《大纲》相比，课程难度降低了005，虽然课程广度、课程深度有所增加，但是因为课程实施时间较长，使得课程难度有所降低。接下来，我将分析课程广度、课程深度、课程实施时间、课程难度这四个影响因素的变化对初中教师的教学实践的指导。

1课程广度变化对教学实践的指导

根据对陈丹媛文献的分析可以得到，《标准》与《大纲》相比，三角形的知识点从概念方面来说，增加了等腰三角形、直角三角形、三角形的重心三个内容，而且删除了相似比；从技巧方面来说，增加了会作三角形的外接圆，删除了作三角形的角平分线、中线和高。总体上说，《标准》下“三角形”的课程广度有所增加。当知识点既有增加又有减少，初中教师在进行授课时，又应该如何把握授课技巧和改变授课方法呢？接下来，我将逐一说明我自己的观点：《标准》中新增加了等腰三角形、直角三角形的概念，其实也是从另一方面告诉我们等腰三角形、直角三角形越来越重要。还有就是，在《大纲》中只有三角形的内心和外心，《标准》下增加了三角形的重心，内心是三角形角平分线的交点，外心是三角形垂直平分线的交点，重心是三角形中线的交点，这三个知识点是非常重要的，我们必须牢牢记住。再者，《标准》下增加了作三角形的外接圆，删除了作三角形的角平分线、中线和高，其实作三角形的外接圆必须先找出圆心，要找出圆心必须找出三角形的外心，也就是垂直平分线的交点，也就要求我们会作三角形的高和中线，而《大纲》与《标准》都有要求会作三角形的内切圆，也就是找出圆心，就是找出三角形的内心，也就是会作角平分线。初中学生好奇心强，特别是对新鲜事物，所以要尽量避免知识点的重复性，保持学生的这种好奇心，使学生更好更快地学好知识。

2课程深度变化对教学实践的指导

基于对三角形课程的分析，可以知道，《标准》相比较于《大纲》，其对课程深度的赋值有些知识点有所增加，例如三角形顶点、边、内角、外角、角平分线、中线和高，全等三角形、锐角三角函数的概念要求和三角形的边长关系、直角三角形的全等判定、勾股定理的逆定理这些定理部分；同时有些知识点的课程深度赋值却有所降低，例如相似三角形的概念要求和三角形相似的判定定理、三角形相似的性质定理这些定理部分。那课程深度赋值的增加或减少，对于教师的授课有何影响呢？

由对比可知，三角形的全等判定的课程难度赋值没有变化，说明全等三角形这一内容是非常重要的，而直角三角形的全等判定作为一个单独的知识点，再增加其难度赋值。相似三角形与全等三角形的内容有些许相同，但相对而言，相似三角形的内容难度较大，为控制《标准》下的三角形的课程难度，所以减少难度较大的知识点的难度赋值是十分必要的。因其难度的降低，三角形的相似判定定理或性质定理不再单独作为一道题目，例如：

如图，DE是△ABC的中位线，延长DE至F使EF=DE，连接CF，则S△CEF∶S四边形BCED的值为（）

A1∶3 B2∶3

C1∶4 D2∶5

由题目可知，首先，我们可以证明△ADE≌△CFE（SAS），得到S△ADE=S△CFE；再因为DE是△ABC的中位线，可知△ADE∽△ABC，得到S△ADE∶S△ABC=1∶4，因此可以知道所求的结果为A选项。从这道题知道，该题目主要的考点：相似三角形的判定性质、全等三角形的判定性质、三角形的中位线定理。就这个题目而言，对于相似三角形这个知识点我们可以很清晰地看出来，既让我们必须学会了解三角形的定义和定理，又不会出现太过刁钻的问题，降低了相似三角形该知识点的难度，从而使得一道题目可以出现好几个知识点又不至于难度太大，让学生无法解答。因此，教师在讲解的时候需要多注意知识的系统性，在教新知识的同时也要注意新旧知识的联系。

3课程实施时间的变化对教学实践的指导

由数据分析可知，《标准》中的三角形的课程实施时间较长，增加了五个课时。课时的增加一方面是因为课程广度、课程深度的增加，所以需要增加课程实施时间来辅助教师的授课，以避免教师对新课的讲解不够具体，学生对知识点的理解不够彻底；另一方面需要注意的是，因课时的增加，教师不应过多地补充难题、怪题，而是应该多注意帮助学生理解新旧知识的联系，使学生形成一个系统的知识面。

4课程难度变化对教学实践的指导

《标准》比《大纲》的课程难度降低了005，由课程难度量化分析模型N=αG/T+（1-α）S/T可知，虽然三角形的内容的课程广度、课程深度都增加了，但是课程实施时间较长，使得其可比广度、可比深度都略微降低。课程难度过高不切合实际，让学生对知识的掌握更加系统才是真理，所以降低课程难度是非常必要的。从课程广度而言，虽然知识点个数增加了，但是增加的知识点都是难度较小，平时比较常用到的，相对的，就是删除了难度较大也不常用的知识点，有增加也有删除，是为了控制知识点的个数在适量的范围之内；从课程难度而言，对难度较大的知识点，如相似三角形这些内容的难度赋值都有所降低，而对于常用的知识点其难度赋值却有所上升，如直角三角形的全等判定，从而我们可以知道，根据新时代的发展，我们课本学习的知识要多与实际相联系，特别是要注重这些内容的掌握程度，使得我们“学有所用”；再从课程实施时间而言，因为三角形课程广度、课程深度的增加，为了避免教师授课时无法对知识进行具体的讲解，相应地需要增加课时，但是，增加课时不是为了让教师补充过多的课外知识或者怪题、难题，而是应该注重课本内容，多培养学生的独立思考能力，使学生养成一定的思维能力和推理能力，增强对新旧知识的联系能力，形成一个知识系统。

总而言之，《标准》下的三角形的课程难度的降低，与课程广度、课程难度、课程实施时间都有着一定的联系，这给我们的启示就是，若课程广度、课程深度不变，而课程实施时间增加，会相应地减少课程难度。