高中数学中的传统文化管窥

张思婷

笔者在学习高中数学的过程中，发现了一个有趣的现象，看似枯燥的数学公式、定理、概念等内容，其实包含着非常有趣的传统文化。其中既有讲述数学文化史方面的知识，也有讲述数学的思想和方法、价值与作用的故事，还讲述了发生在数学家身上离奇有趣的故事。通过学习数学中的文化知识，不仅能让学生从宏观上把握数学，掌握数学思想，开阔思维，创新方法，而且还可以把枯燥的数学变得生动有趣。

一、高中数学中传统文化的内容

1.数学中的历史文化知识

数学伴随着人类的起源而起源，伴随着人类的发展而发展，是人类在认识和改造世界过程中逐渐发展并形成的一门科学，从“涉猎计数”与“结绳记事”开始，人类就开始运用数学知识来认识世界。当数学成为一门科学之后，又反过来变成了人类改造世界的一种工具。

从我国来看，我国在历史上长期以来以农业经济为基础，从而形成了以农业文化为主体的文化格局，因此，通过我国古代数学不仅能够认识到数学与农业经济的密切关系，也能看到农耕文化对我国数学发展的影响。

我国古老的数学典籍《九章算术》中共包含了246个问题，基本上都与农业生产密切相关。其中，无论是“方田（土地测量）”还是“粟米（百分法和比例）”，无论是“衰分（比例分配）”还是“少广（减少宽度）”都是与土地相关或对粮食的分配的计算方法，即使是“商功（工程审议）”那样的以工学为主的运用科学，也是关于农业水利工程的测算。至于“均输（征税）”、“盈不足（过剩与不足）”、“方程（列表计算的方法）”和“勾股（直角三角形）”也无不与农业和粮食的称量有关。同样，盛行于唐代的《五曹算经》也是一部为地方行政人员所写的应用算术。所谓“五曹”，就是指对田地面积、军队给养、粟米问题、粮食征收、运输储藏五种问题的计算或测算方法，其中涉及现代数学中的比例问题。即使是祖冲之对于圆周率和圆面积的辉煌成就，都可以追寻出农业的印记。

2.数学中的有趣故事

在数学漫长的发展历史中，积累了大量的数学传说和数学故事。虽然说数学传说和故事不属于数学史的范畴，但是很多数学问题的提出或产生起源于这些传说和故事。比如，沈文选和杨清桃所著的《数学方法溯源》一书中，记载了一个非常有意思的数学故事——韩信立马分油：

韩信立马分油：据载汉代军事家韩信一日访友归来，途经一集市，遇见一卖油翁与顾客争执。顾客欲买5斤油，卖油翁言无法计量，因而告诉顾客，要么买3斤，要么买7斤。韩信询问得知，卖油翁油蒌中有油10斤，但他仅有能装3斤油的萌芦和装7斤油的I，而顾客执意要买5斤油。韩信在马上略加思索道：“你二人无须再争，看我给你们分油，葫芦归罐罐归篓，分好油来回家走。”按照韩信的办法，交易很快完成，买卖双方皆大欢喜。

这是一道需要动脑子才能解答的问题，具体做法是从油篓中往油葫芦里倒三次，前两次油葫芦中的油全部倒到油罐中，第三次油葫芦中的油只能往油罐中倒1公斤，油罐就满了；将油罐中的油全部倒回油篓，再将油葫芦中剩下的2公斤油倒到油罐中；从油篓中往油罐中倒一葫芦油（3公斤），这时，油篓和油罐中各有5公斤油。问题因此得以解决。这些有趣的数学故事，一方面有利于学生对知识背景的理解，另一方面增加了学生学习数学的趣味性和文化气息。

3.古代数学的成就

在我国古代，有一些数学家对数学的发展具有巨大的贡献。

例如，在学习“立体几何”的问题时，课本介绍了祖暅定理。祖暅是著名数学家祖冲之的儿子。他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异。”意思是说：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的平面所截，如果截得两个截面的面积（幂）总相等，这两个几何体的体积相等。祖暅的这一定理与意大利数学家卡瓦列利的卡瓦列利原理完全一致，但祖暅却比卡瓦列利要早1100多年。

再如，在学习勾股定理的时，最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明。在这幅“勾股圆方图”中，以弦为边长得到正方形ABDE是由4个全等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的。每个直角三角形的面积为ab/2；中间的小正方形边长为b-a，则面积为（b-a）2。于是便可得如下的式子：

4×（ab/2）+（b-a）2=c2

化简后便可得：

a2+b2=c2

亦即：

c=（a2+b2）（1/2）

此外，在高中教材中在学习“二项式定理”时引入“贾宪三角（又称帕斯卡三角）”。贾宪的主要贡献在于求“开方作法本源图”中各项系数的方法。之前，我国关于正数开平方、开立方的运算仅限于四次方（高次幂开方）以下的范围，而贾宪运用了“增乘开方法不仅可以对任意高次幂的开方，而且还能求得任意高次展开式系数，还能随乘随加，反复迭代，真正解决了我国开高次方和任意有理数的高次方的问题。之后几乎所有的数学家都是以此为基础展开探索。贾宪之后，南宋数学家秦九韶终于把以增乘开方法为主体的高次方程数值解法发展到了十分完备的程度，这对于整个数学的发展具有不可估量的价值。

宋代数学家秦九韶在《数书九章》自序中，把数学的功效概括为：“大则可以通神明，顺性命；小则可以经世务，类万物。”正是由于数学在政治、文化、经济、生活中有着广泛的应用价值，才使得数学以实用性为依托，在中国古代社会获得了一份生存权。

二、高中数学中的文化精神

数学是一种具有高度渗透性的文化。数学作为一种文化根植于人类丰富思想的沃土之中，是人类智慧和创造的结晶。数学文化的历史，以其独特的思想体系，保持并记录了人类在特定社会形式和特定历史阶段文化发展的状态。不仅是各门学科的重要基础，也是发展现代科技，推进社会进步，提高经济发展水平的重要基础。

在我国，儒家思想一直占据着主流地位，数学被看成“六艺”之末。儒家也认识了数学的实践作用，因此在儒家的“六艺”中也列出了“数”这一“艺”，但同时，在注重伦理道德与人文科学的儒家看来，数学又是“六艺”中的“小道”，是为其他领域学科服务的。因此，数学仅仅被当作一种运用工具而不是一种完整的逻辑体系和专门的学问。对数学作用理解的偏颇造成了我国数学以实用性和发展算法为主要特征的“中国特色”。我国古代数学的主要目标不是定理，也没有具体的定理和公理，我们的目的是解决形形色色的问题，主要表现在解方程上。运算体系就是一种为解决问题，着重具体计算的一种算法的体系。上述《九章算术》与《五曹算经》中关于方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股与田曹、兵曹、集曹、仓曹、金曹等的计算都是从“致用”的目的出发。这样的理解，完全符合我国传统文化中“经世致用”的思想，如果说儒家思想体系的主要作用在于“经世”的话，那数学的作用就是“致用”而已。因此，当我们的先人取得了一个个惊人的数学成就后，对于社会的贡献就是一个巧妙的解方程的方法，是一个实用而且好用的工具。这也就是我国古代的数学发展没有形成完善的逻辑体系和完整的数学理论的主要原因，从而导致解决数学问题经常出现按图索骥、不知所措的尴尬局面。随着数学的发展，中国人认识到数学不仅仅是一种实用的工具，还包含着深层次的民族文化的理性精神。只有充分挖掘这种理性精神，我们才能真正地把握数学的内蕴，才能让数学成为我国传统文化的有机组成部分。