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半空间上MHD方程弱解的衰减下界

2016-03-24

关键词:东华大学页码序号

吕 锴

(东华大学 理学院, 上海 201620)

半空间上MHD方程弱解的衰减下界

吕 锴

(东华大学 理学院, 上海 201620)

研究了磁流体力学(MHD)方程的弱解在半空间+上的衰减性质,通过建立一族产生弱衰减的初值, 得到了MHD方程的衰减下界.

磁流体力学(MHD)方程; 半空间; 衰减下界

磁流体力学(MHD)方程的一般形式为

(1)

对于方程(1)的Cauchy问题,文献[1]构造了一类类似于Navier-Stokes方程的Leray-Hopf弱解的整体弱解.在全空间n上方程(1)的Cauchy问题的衰减性质的研究上,已有不少研究成果.文献[2-3]在文献 [4]的基础上研究了强解的衰减性质.而对于弱解的衰减性质的研究,可以参见文献[5-7].然而上述针对全空间n问题的结论,大多使用Fourier变换法,并不适用于半空间+∶={x=(x1,x2, …,xn)∈n;xn>0}问题.对于半空间上的MHD方程,文献[8]研究了弱解的L2衰减.文献[9]证明了当半空间上的Navier-Stokes方程(N-S)的初值在满足一定条件的情况下,可以得到N-S弱解的衰减下界的估计.本文在文献[9]研究成果的基础上,得到了半空间+上的MHD方程的相关结论.

(2)

1 主要结论

在介绍本文的主要结论之前,首先给出一些符号的定义.

简便起见,将Ar简写为A.

下面给出方程(2)弱解的定义[10].

定义1.1 若(u,B)满足以下条件:

-(u(t), φ(t))+(u(s), φ(s))

-(B(t), φ(t))+(B(s), φ(s)),

(3)

(iii) 能量不等式

(4)

则称(u,B)为方程(2)在上的弱解.

其中:m≥0, α, γ, δ>0.

假设 考虑满足以下条件的初值:

(A2)a′(x′,xn)=(a1(x′)η1(xn), (a2(x′)η1(xn), …,an-1(x′)η1(xn))∶=a″(x′)η1(xn)和b′(x′,xn)=(b1(x′)η2(xn), (b2(x′)η2(xn), …,bn-1(x′)η2(xn))∶=b″(x′)η2(xn),其中ηi∈L2(且满足对几乎所有的,都有,这里的表示ηi相对于xn的奇延拓,即

定理1.1 若n≥3,a,b∈Lr((满足假设(A1)~(A3),且r和m满足(i)或(ii):

则存在T>1及常数C>0,使得当t≥T时,方程(2)的任意弱解(u,B)都有

(5)

定理1.1为本文主要结论.

2 Stoke方程及热方程解的衰减

(6)

其中:q需满足1

(7)

其中:C=C(n, m, α, γ, δ)>0.

定理2.1[9]若n≥3,a满足假设(A1)~(A3),则当t≥1时,有

(8)

其中:C=C(n, m, α, γ, δ)>0.

定理2.2 若n≥3,b满足假设(A1)~(A3),则当t≥1时,有

(9)

其中:C=C(n, m, α, γ, δ)>0.

证明:因为bn≡0,所以有hn(t)≡0和h′(t)=eΔtb′.因此,由Plancherel定理和Fubini定理,有

(10)

对于I1,由引理2.1可知,存在C=C(n-1, m, α, γ, δ)>0,使得当t≥1时,有

(11)

(12)

3 MHD方程解的衰减

本节研究MHD方程解的衰减性质并给出定理1.1的证明.为了估计非线性项,首先给出以下引理.

(13)

引理3.2 设1≤r<2 ,a,b∈Lr(对于方程(2)的任意弱解(u, B),当t→∞时,有

(14)

证明:设λ=λ(t)为(0, ∞)上的光滑函数,则

(15)

同理可得

(16)

(17)

(18)

由引理3.1,有

‖Eλ(t)u(t)‖2≤‖e-t Aa‖2+

(19)

‖Eλ(t)u(t)‖2≤

(20)

y(t)-g(t, s)+z(s)≤y(s)

(21)

z′(τ)=-λ(τ)y(τ)≤

-λ(τ)[y(t)-g(t, τ )+z(τ)]

(22)

设Z(τ)≥0为方程Z′(τ)=λ(τ)Z(τ)的解,将式(22)乘上Z(τ),并对τ作(s, t)上的积分

(23)

对式(23)作分部积分,因为z(t)=0, g(t, t)=0,所以

(24)

取λ(τ)=m τ-1, m>0,则Z(τ)=τm.令s→0,得

(25)

(26)

(27)

下面将分情况进行讨论.

因此,有

引理3.3 若1≤r<2, a, b∈Lr(假设v(t)=e-t Aa和h(t)=eΔ tb,则对于方程(2)的任意弱解(u,B),当t→∞时,有

‖u(t)-v(t)‖2+‖B(t)-h(t)‖2=

(28)

证明:设P(t)∶=u(t)-v(t),Q(t)∶=B(t)-h(t), (u,B)满足能量不等式(4),v和h满足能量不等式

因此有

(29)

在式(3)中取试验函数φ(τ)=v(τ)和ψ(τ)=h(τ).此外,因为dv/dt=-Av,dh/dt=Δh,所以可得

(u(t), v(t))=

(30)

(B(t), h(t))=

(31)

将式(30)和(31)代入式(29),有

(32)

(33)

‖‖ ‖b‖‖u(τ)‖

(34)

(35)

同理,由命题2.1,有

(36)

(37)

设λ=λ(t)为(0, ∞)上的光滑函数,类似引理3.2中式(15)的证明,有

(38)

同理可知

(39)

e-(t -τ)AEλ(t)φ)|dτ≤

(40)

同理有

(41)

类似引理3.2中的证明,可得

(42)

取λ(t)=m t-1,其中m>0足够大,有

(43)

此时注意到,若1≤r<2, (u, B)满足

下面将分情况进行讨论.

综上所述,引理3.3得证.

定理1.1的证明.

所以,存在T≥1,使得

再由三角不等式以及定理2.1和2.2,有

‖u(t)‖2+‖B(t)‖2≥

‖v(t)‖2-‖u(t)-v(t)‖2+

‖h(t)‖2-‖B(t)-h(t)‖2≥

综上所述,定理1.1得证.

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(6) 参考文献应只列出作者查阅过的、最主要的且在正式刊物上发表过的文献.在正文中引用时用[1], [2], …顺序标注;在文末“参考文献”中,相应用[1], [2], …顺序标注,序号顶格写.

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② 专著:[序号]作者(姓前名后).书名[M].版本(第1版不写).出版地:出版者,出版年:起止页码.

③ 会议论文集:[序号]作者(姓前名后).题名[C]//编者.论文集名.出版地:出版者,出版年:起止页码.

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⑤ 学位论文:[序号]作者(姓前名后).题名[D].保存地点:保存单位,授予年份:页码.

⑥ 国际、国家标准:[序号] 主要责任者.标准编号,标准名称[S].出版地:出版者,出版年.

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Lower Bound of the Energy Decay of the Weak Solution of the MHD Equations in the Half-Space

LÜKai

(College of Science, Donghua University, Shanghai 201620, China)

An asymptotic behavior of weak solution of the magneto-hydrodynamic(MHD) equations in the half-space+ is studied. By constructing a class of initial data which cause slow decay, lower bound of the energy decay of the MHD equations is obtained.

magneto-hydrodynamic(MHD) equations; half-space; lower bound of the energy decay

1671-0444(2016)01-0160-07

2014-10-23

吕 锴(1988—),男,江西南昌人,硕士研究生,研究方向为磁流体力学方程.E-mail:faustxxiv@gmail.com

O 175.14

A

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