赏析两道运用通项公式解题的好题

江苏 徐晓东 吴彬彬

赏析两道运用通项公式解题的好题

江苏 徐晓东 吴彬彬

未雨绸缪、防微杜渐，将高考的冷门考点转变为考生心中的热点。

带电粒子在磁场中的运动是高考的热点也是难点问题，经常作为压轴题呈现在各地高考试卷上，所以师生对此类问题尤为关注。但是在有关带电粒子在磁场中运动的知识点中，由于粒子的周期性运动衍生的涉及通项公式的问题却很少出现。此类问题在很好地考查学生物理知识掌握情况的同时又加强了对学生运用数学知识解决物理问题的能力，可谓一举两得。由于之前此类问题在高考中出现的几率小，所以在复习中作为冷门问题被广大师生忽略，但是笔者希望考生能够全面掌握各类知识点，将高考的冷门考点转变为热点，从而做到从容不迫、应对自如。

案例一：带电粒子在圆形有界匀强磁场中的运动

【例1】（原创）如图1所示，在半径为R的圆筒内有匀强磁场，质量为m，带电量为q的粒子在小孔A处以速度v向着圆心O射入，设粒子与圆筒相碰时粒子电量和能量皆无损失，试回答下列问题：

（1）粒子经过与圆筒两次碰撞后从A处射出，求磁感应强度的大小；

（2）粒子经过与圆筒若干次碰撞后，在绕圆筒一圈后刚好从A处射出，求磁感应强度满足的条件；

（3）若带电粒子在圆筒内绕筒壁k周、与筒壁经n次连续碰撞后仍能从A孔射出，求磁感应强度满足的条件及k、n的取值范围。

【解析】（1）假设粒子带负电且与圆筒的两次碰撞点分别为B、C，根据对称性，A、B、C三点将圆筒分成三等份，如图2所示。

（2）粒子经过与圆筒n次碰撞，最终从原孔返回，故粒子在磁场中的各段轨迹圆弧对应的圆心角（如图3中的∠AOD，不是粒子轨迹对应的圆心角∠AO2D，下同）的总和一定是2π，

根据几何关系可得粒子的轨道半径为

所以，磁感应强度为

（3）粒子在圆筒内绕筒壁k周，表示粒子在磁场中的各段轨迹圆弧对应的磁场中的圆心角的总和一定是2kπ。

根据几何关系可得粒子的轨道半径为

所以，磁感应强度为

根据题意可知k＝1，2，3…

【点评】此题依托带电粒子在磁场中的运动，依据粒子轨道半径和磁场半径的几何关系对粒子周期性运动的深度考查，要求学生不但需要掌握带电粒子在磁场中运动的基本规律，还需要有很强的几何思维和应用数学知识处理物理问题的能力。在此题的设计过程中还可能涉及带电粒子运动时间的求解问题，考生可以自行设计，提高自己。

案例二：带电粒子在单边双磁场中的运动

【例2】（原创）如图4所示，虚线MN为两个足够大磁场的分界线，右边磁场大小B1＝B，左边磁场大小为B2，方向均垂直纸面向里。现有一质量为m，带电量为q的正电荷从O点以一定的初速度v0垂直MN向右射入磁场。

当粒子经过半个圆周进入左边磁场时，轨道半径为

所以，粒子再次进入右侧磁场后将回到O点，作出粒子的轨迹如图5所示。

作出粒子的轨迹如图6所示，可以发现粒子再次在右侧磁场中运动时无法一次回到O点，但是如果将粒子经过O—P—Q的过程作为一个周期的运动，则粒子在一个周期内向下移动的距离为

当经过n个完整周期后，粒子向下移动的距离累积到2R1，即nd＝2R1，

解得n＝8时，粒子将运动到O点，所以粒子可以回到O点。

粒子经过左侧8次半圆周运动、右侧9次半圆周运动后回到O点，所以经历的时间为

粒子运动一个完整周期向下平移的距离为

（3）粒子运动到左侧磁场时，其轨道半径为

（作者单位：江苏省木渎高级中学江苏省苏州市春申中学）