用乘法解数字搭配问题

◎浙江　杨国义



用乘法解数字搭配问题

◎浙江杨国义

解决数字搭配问题，通常采用分类列举的方法找答案。但遇到给出的数字和组数的位数较多时，分类列举就比较麻烦了。怎么办呢？请看：

例1用1、3、5、7这四个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？

【分析与解】这是一个较简单的数字搭配问题，它与数字的排列顺序有关，属于排列问题（组合问题与顺序无关）。为了防止重复或遗漏，一般通过有序地分析找答案。可以按从大到小，从高位到低位的顺序，通过分类列举求解。

（1）百位上是7的三位数，通过逐一列举可以得到：753、751、735、731、715、713，共6个。

（2）百位上是5的三位数有：573、571、537、531、517、513，共6个。

（3）百位上是3的三位数也有6个，分别是375、371、357、351、317、315。

（4）百位上是1的三位数也有6个，分别是175、173、157、153、137、135。

所以，用1、3、5、7这四个数字，可以组成6Χ4=24（个）没有重复数字的三位数。

像这种数字搭配问题，也可以用乘法原理巧解。乘法原理：用几个数字组成不同的三位数，要分三步，第一步确定百位上的数字，有m1种不同的方法；第二步确定十位上的数字，有m2种不同的方法；第三步确定个位上的数字，有m3种不同的方法，那么可以组成的不同三位数一共有m1Χm2Χm3个。

回头看上题，用4个数字组没有重复数字的三位数，分三步：（1）确定百位上的数字，可以从4个数字中任选一个，有4种选法；（2）确定十位上的数字，可以从剩下的3个数字中任选一个，有3种选法；（3）确定个位上的数字，从剩下的2个数字中选一个，有2种选法。所以，一共能组成4Χ3Χ2=24（个）无重复数字的三位数，与前面的分类列举结果相同。很明显，用乘法解较复杂的数字搭配问题比较简便。

例2用0、2、4、6、8这五张卡片，可以组成多少个不同的三位数？不同的四位数呢？

【分析与解】用数字卡片组成不同的三位数要分三步：（1）确定百位上的数字，可以从0除外的4个数字中任选一个，有4种选法；（2）确定十位上的数字，可以从剩下的4个数字中任选一个，有4种选法；（3）确定个位上的数字，从剩下的3个数字中选一个，有3种选法。所以，一共能组成4Χ4Χ3=48（个）不同的三位数。

用数字卡片组成不同的四位数，相当于在组三位数的基础上再增加第四步：从剩下的2个数字中选一个，有2种选法。所以，一共能组成4Χ4Χ3Χ2=96（个）不同的四位数。

聪明的小读者，用乘法解数字搭配问题你学会了吗？下面请你来试试吧。

【小试身手】用0～9这十个数字，一共可以组成多少个没有重复数字的三位数？无重复数字的四位数呢？