无平方因子阶本原2-弧传递图

王佳利，王改霞，吴延红（.安徽工业大学数理科学与工程学院，安徽马鞍山4303；.山东华宇工学院，山东德州53034）

无平方因子阶本原2-弧传递图

王佳利1，王改霞1，吴延红2
（1.安徽工业大学数理科学与工程学院，安徽马鞍山243032；2.山东华宇工学院，山东德州253034）

通过对有限群的子群结构和图自同构群的点稳定子群分析，给出了无平方因子阶的2-弧传递图的分类和刻画，采用极大子群分析法证明了此类图同构于完全图、双截断Witt图或文中构造的四类陪集图之一。

弧传递图；本原置换群；陪集图

假设Γ是一个顶点集为V（Γ），边集为E（Γ）的一个图。用Aut（Γ）表示图的自同构群。对于正整数s，图中每个s-弧是指一个s+1元组点集（v1，v2，…，vn），其满足（vi-1，vi）∈E（Γ）且vi-1≠vi+1，1≤i≤s-1。设G≤Aut（Γ），即G为Aut（Γ）的子群时，图Γ被称为（G，s）-弧传递的，如果它有至少一个s-弧，且G既是点传递又是弧传递的。当G=Aut（Γ）时，（G，s）-弧传递简称为是s-弧传递。文中未加说明的概念术语参见文献［1-2］。

研究无平方因子阶图的动因缘于Marušič［3］提出的问题，即对于什么条件的自然数n，存在一个n阶的非凯莱点传递图。Mckay等［4-5］通过对点传递图的局部结构分解及自同构群的稳定子群分析将上述问题归纳到n为无平方因子数的情况。无平方因子阶的图类在一些特殊情况下得到很好的刻画和分类，如文献［6］刻画了2个素数阶图的对称情况，文献［7］则是3个素数阶图的对称性研究，文献［8-9］为无平方因子阶的四度图的对称研究。作者在文献［10］中通过对平面图形的对称分析和量化，刻画了无平方因子阶的局部本原弧传递图的自同构群的结构。本文在此基础上，研究当群G是一个基柱为零散单群的本原置换群时其无平方因子指数的子群，并且对无平方因子阶的（G，2）-弧传递图进行分类。研究在无平方因子阶的本原置换群的分类结果［11］上进行。

1　陪集图与图例

1.1陪集图

设G是群，一个子群H≤G是无中心的，如果∩g∈GHg=1，即G的非平凡的正规子群包含在H中。对于一个子集S⊆G和G的一个无中心子群H，陪集图Γ:=Cos（G，H，HSH）被定义为一个有向图，其顶点集V（Γ）:=［G:H］=｛Hx|x∈G｝满足HX与HY是相邻的，当且仅当yx-1∈HSH。易证明陪集图有以下性质：

设Γ=Cos（G，H，HSH）是一个陪集图。那么

2）Γ是无向的当且仅当HSH=HS-1H；

3）Γ是一个G-弧传递图当且仅当HSH=HgH对于某些2-元素g∈G满足g2∈H；

4）陪集图Cos（G，H，HgH）是一个连通（G， 2）-弧传递图，当且仅当g∉NG（H），g2∈H，H，g=G，且H在上关于右乘是2-传递的。

1.2图例

构造满足条件的图类，即无平方因子阶的基柱为零散单群的2-弧传递图。

图例1Kn无平方因子阶n≥5的完全图。

图例2设G=M22且H=24:A6是G的一个无中心子群。查子群表［12］，得到NG（A6）=A6·2。选择其中g∈A6·2A6。可以构建图Γ1=Cos（G，H，HgH）。则Γ1是一个阶为77的16度正则（G，2）-弧传递图。

图例3设G=M23且H=A8是G的一个无中心子群。由文献［12］，有NG（）32:Q8=（32:Q8）·2。选择其中g∈（32:Q8）·232:Q8，可以构建图Γ2=Cos（G，H，HgH）。此时Γ2是一个506个点的连通（G，2）-弧传递8阶图。

图例4设G=J1且H=PSL（2，11）是G的一个无中心子群。由文献［12］，有NG（A5）=2×A5。选择其中g∈2×A5A5，可以构建Γ3=Cos（G，H，HgH）。此时Γ3是266个点的连通（G，2）-弧传递12阶图。

图例5设G=J1且H=23:7:3是G的一个无中心子群。由文献［12］，有NG（7:3）=7:6。选择g∈7:67:3，可构建Γ4=Cos（G，H，HgH）。此时Γ4是1 045个点的连通（G，2）-弧传递8阶图。

2　主要结论

定理 设G是一个基柱为零散单群的有限本原置换群，若Γ是一个无平方因子阶的连通（ ）G，2-传递图，那么Γ同构于无平方因子阶的完全图、双截断Witt图或文中构造的四类陪集图之一。

证明 令H是G的子群，根据G的基柱，分两种情况讨论群G的子群。

情形1H是G的极大子群。此时有以下图类

1）当soc（G）=M11，n=10，H≅M10时，由于M11是4-传递的，易证明Γ≅K10。其他完全图可类似推出。

2）当soc（G）≅M22，n=330，H≅22:PSL（3，2）×2时，图同构于双截断Witt图。

3）当soc（G）≅M22，n=77，H≅24:A6时，有||Γ（α）=24，Gαβ=A6。由文献［12］，有NG（Gαβ）=M10，并且存在2-元素g满足Γ:=Cos（M22，Gα，GαgGα）是一个Aut（Γ）=M22连通的本原（M22，2）-弧传递图，即图例2中所构造的陪集图。

4）当soc（G）≅M23，   n=506，   H≅A8时，由此Gα一定几乎单群，且||Γ（α）=8或10。对于前者的情况下，Gαβ=A7。因而断定当M是M23的最大子群时（M23≠Gα且NG（Gαβ）=NM（Gαβ）），NG（Gαβ）≤M≤M3。检验M23的最大子群，有M=M22或M=24:A7。然而，由于A7是这两个群的最大子群。在NG（Gαβ）Gαβ没有2-元素。对于后者的情况下，Gαβ=32:Q8。由文献［12］，有Gαβ=（32:Q8）.2。存在一个g满足Γ:=Cos（M22，Gα，GαgGα）是Aut（Γ）=M23的连通本原（M22，2）-弧传递图，即图例3中所构造的陪集图。

5）当soc（G）=J1，  n=266，   H≅PSL（2，11）时，因为PSL（2，11）有度为11的2-弧传递表示，此时Gαβ≅A5=11。那么对于某些 J1的最大子群 M，NG（Gαβ）≤M。由文献［12］，可以断定 M仅可以是2×A5。存在一个g∈NG（A5）使Γ=Cos（G，H，HgH）满足陪集性质，即图例4中所构造的陪集图。

6）当soc（G）=J1，   n=1045，    H≅23∶7∶3时，有Gαβ≅7∶3且|Γ（α）|=8。那么对于某些J1的最大子群M，NG（Gαβ）≤M。由文献［4］，可以断定M仅可以是7∶6。存在一个g∈NG（7∶3）使Γ=Cos（G，H，HgH）满足陪集图性质，即图例5中所构造的陪集图。

情形2假定H是G的非最大子群。

根据H子群进行一一讨论，通过构造极大群K归纳到情形1。仅以 H≅24:A5为例。由于Gα=Gα

［1］，A5。那么肯定不是几乎单群，即=A5=5且=A4。那么H是下列之一：32∶Q8，PSL（3，4），23∶PSL（3，2），  A5，   A4或者23∶7。更进一步可以由点稳定子群形式的8阶图，得到H≅23∶PSL（3，2）。因此仅需要处理以下三元组（G，K，H），即（J1，PSL（2，11），A5），（J1，23∶7∶3，23∶7），和（J1，2×A5，A5），其中H是K的极大子群，此时每一种情况均已经转化为情形1，利用类似的方法一一讨论，可得定理结论。

［1］徐明曜.有限群导引（上）［M］.2版.北京：科学出版社，1999:51-54.

［2］徐明曜，黄建华，李慧陵，等.有限群导引（下）［M］.2版.北京：科学出版社，1999:321-360.

［3］MARUšIč D.Cayley properties of vertex symmetric graphs［J］.Ars Combinatoria，1983，16B:297-302.

［4］MCKAY B D，PRAEGER C E.Vertex-transitive graphs which are not Cayley graphs I［J］.Journal of Australian Mathematical Society，1994，56:53-63.

［5］MCKAY B D，PRAEGER C E.Vertex-transitive graphs which are not Cayley graphs II［J］.Journal of Graph Theory，1996，22: 321-334.

［6］CHAO C Y.On the classification of symmetric graphs with a prime number of vertices［J］.Transactions ofAmerican Mathematical Society，1971，158:247-256.

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［8］LI C H，LIU Z，LU L P.Tetravalent edge-transitive Cayley graphs of square-free order［J］.Discrete Mathematics，2012，312: 1952-1967.

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［10］王佳利，王改霞，郑祥.群与图的对称性［J］.纯粹数学与应用数学，2015，31（4）:367-372.

［11］LI C H，SERESS A.The primitive permutation groups of square-free degree［J］.Bulletin of the London Mathematical Society，2003，35:635-644.

［12］CONWAY J H，CURTICS R T，NORTON S P.Atlas of Finite Groups［M］.Eynsham:Oxford University Press，1985.

责任编辑：丁吉海

Finite Primitive Two-arc Transitive Graphs of Square-free Order

WANG Jiali1，WANG Gaixia，1WU Yanhong2
（1.School of Mathematics and Physics，Anhui University of Technology，Ma'anshan 243002，China；2.Shandong Huayu University of Technology，Dezhou 253034，China）

By analyzing the subgroup structures and the vertex-stabilizer subgroup of the graph automorphism group，the 2-arc transitive graphs of square-free order are depicted and classified，and with the method of the maximal subgroup analyzing，it is proved that such a graph is isomorphic to complete graph，double truncated Witt graph，or one of the other four coset graphs constructed.

arc transitive graph；finite primitive；coset graph

O157.6

A

10.3969/j.issn.1671-7872.2016.01.017

1671-7872（2016）-01-0083-03

2015-06-03

安徽省自然科学基金项目（1408085MA04）；安徽工业大学研究生创新研究基金项目（2014130）；安徽省大学生创新创业训练项目（AH201310360231；AH201310360341）

王佳利（1990-），女，河南安阳人，硕士生，研究方向为群与图。

王改霞（1982-），女，山东聊城人，博士，讲师，研究方向为群与图。