基于功的互等定理的组合楼板弹性阶段受力分析

李锋，孟羽韦，郭琛，黄子瑜，王军阵

（山东科技大学土木工程与建筑学院，山东 青岛 266590）



基于功的互等定理的组合楼板弹性阶段受力分析

李锋，孟羽韦，郭琛，黄子瑜，王军阵

（山东科技大学土木工程与建筑学院，山东 青岛 266590）

当今社会，对于组合钢梁及组合楼板在连续倒塌过程中的受力特性的研究，特别是弹性受力阶段的研究还不完善。为了了解连续性倒塌工况下弹性阶段受力性能，并为进一步的研究参数确定提供依据。文章针对连续倒塌的组合楼板弹性变形阶段，运用功的互等定理，和采用有限元软件模拟相同工况，并将其结果与运用功的互等定理得到的方程数值解结果分析比较，两种方法的吻合性验证了分析思维的正确性。

功的互等定理；线性分析；连续倒塌；组合楼板

0　引言

本文基于功的互等定理，展开了结构弹性变形阶段的受力分析，求解了梁与板的挠度方程、边界条件、广义位移解、边界力的表达式；通过能量守恒定律，建立失效节点p-Δ混合变量的函数方程，通过方程全面的揭示了组合楼板连续倒塌工况下弹性阶段的受力机理。

1　功的互等定理

功的互等定理简单叙述如下：若一小变形线弹性体分别受到第1组力和第2组力的作用，则有第1组力在第2组力所产生的相应位移上所做的功和在第1组力所产生的相应位移上所做的功相等。

鉴于功的互等定理诸多优点，恰恰适用于受力状态复杂的连续倒塌工况下梁与板的受力分析，巧妙的绕过了复杂的内力状态，得到了关于位移和应力的解，将互等定理与最小势能原理、能量守恒定率相结合，即可清晰系统地求解在连续倒塌工况下梁板的受力特性，同时获得其解析解，为结构连续倒塌分析建立一种有效的分析方法。

2　板的广义位移解

在连续倒塌工况中，典型的工况有角柱失效、边柱失效、内柱失效。相应地，组合楼板的受力状态也有多种。为求得在不同工况下的解，首先应求得板在广义支承边下的广义位移解及其边界值。

广义支承边是指：板边界的位移及弯矩值均为已知的支承边，在连续倒塌过程中，支承边四个角点的位移也均为已知，那么四边为广义支承边的板称为广义支承，其解为最一般的解。

结合不同受力状态下板的边界条件，广义支承板可以转化为各种边界条件的弹性弯曲板。

由功的互等定理及修正的Castigliano定理，可将板面的内力与板边缘及角点等广义力广义位移联系起来，建立实际板和基本系统板之间的功的互等方程，即可建立失效点位移、集中力与板边缘、板内应力的关系，其中还包含板的内力与梁板构件宏观承载力间的关系，从而可获得连续倒塌工况下剩余结构的弹性受力机理和承载性能，利用能量法整体性的优越特点巧妙的跳过了倒塌工况的复杂受力状态计算，得到了解析解，并证明了其解为结构的真实解。

3　角柱失效工况下的解

3.1纯组合板计算

角柱失效引发的连续倒塌工况发生时，位于角部的板和梁的支承条件将发生变化，角部的两根梁将转变为悬臂梁，角部楼板的支承条件也由四边固定转变为两邻边固定、两邻边自由的矩形受弯楼板。取出分析对象结构的底层，拆除A1角柱，将上部剩余结构传来的荷载简化为一集中荷载作用于角部节点上。因此是结构处于弹性范围内，故忽略失效柱相邻两柱的水平位移及竖向应变。

3.2组合板与钢梁连接区域板的计算

梁的竖向抵抗弯曲刚度远大于组合楼板的竖向抗弯刚度，因此板的自由边的边界挠度应由悬臂梁来确定，板面的挠曲面方程仍有板面弯曲特性确定，根据圣维南原理，相隔一段距离后力的影响是有限的，也即板边缘存在一定宽度为Ω的有限区域。

根据虚功原理，外虚功等于内虚功，也即宏观外力在宏观虚位移上所做的外虚功总和等于在内力虚位移上所做虚功总和。在悬空角点处，连续倒塌处于弹性阶段时，梁板不发生分离，其几何应变协调，但梁与板抗弯刚度的差异，使各构件所承担的力有所差异，根据力学基本原则，梁与板所受集中力近似按刚度比进行分配。

3.3组合板与钢梁连接区域梁的计算

板面受均布荷载在板边缘产生的弯矩Mx0、My0，对于组合梁相当于作用于梁有效翼缘上的扭转弯矩Mx0、My0，由于在构件皆处于弹性阶段，故在此不考虑组合梁的扭转，对Mx0、My0作用在组合梁上进行抗扭转斜截面应力校核。

3.4平衡方程的建立

至此，角柱失效的连续倒塌的弹性阶段工况下，角部板与梁的挠曲面和挠曲轴方程皆已求出，相应地边界方程均已建立，边界广义力参量也已求出。在此基础上，建立能量平衡方程，即，对角部板的封闭系统而言，外力在其方向上所做总功之和，等于构件各内力分别在其方向上所做总功之和。

系统的外力做功由均布荷载q和集中力p组成，其中，q的做功距离即为挠曲面由力q和p共同贡献产生，即二者挠曲面代数之和。外力分别对其所作用面积及距离进行积分，即可得在角柱失效的连续倒塌工况下，弹性阶段角部结构受力的所有参量。自此，校核结构发生角柱失效连续倒塌的弹性阶段受力，可以判断出结构是否能将连续倒塌控制在弹性阶段内，而不进入下一步的非线性变形或悬链线阶段，事实证明，有一定比例的连续倒塌工况结构的最终状态是处于弹性范围内的，并未发生大面积的连续倒塌，实验和模拟的结果也有类似结论。

3.5方程的数值解与有限元分析

通过Matlab数学软件来解方程的数值解，按照本文分析的实际结构设定基本参量，在这里将组合方程求得的ω挠曲面方程通过lowess拟合方法，也就是局部加权回归散点修匀方法，将所得的挠曲面三角级数解的点在局部通过多项式算法，把所得解的集合拟合成数值解的曲面。

有限元分析结果也揭示了楼板对连续倒塌的有利作用，对比方程数值解的分析结果，发现拟合度很好，验证了方程的正确性，同时证明了前文分析所得的挠曲面方程的解为广义位移的真实解，在连续倒塌的弹性阶段采用建立的方程结果进行结构的位移计算是可行的。

有限元结果表明，组合板在角柱失效的连续倒塌工况下，面内弯矩的最大值也出现在板面中心偏节点处，最大弯矩值与方程结果拟合较好，弯矩的分布情况与方程结果相同，悬臂梁的最大弯矩值也处于距节点约三分之一跨处，同样揭示了组合楼板对结构抗连续性能的有利作用，验证了方程的正确性，在连续性倒塌的弹性阶段建立的方程进行结构抗力计算是切实可行的。

4　边柱失效工况下的解

4.1边柱失效受力分析

连续倒塌的第二种典型工况为边柱失效，也即结构长边或短边最外侧轴线中某一根柱子破坏失效，当底层边柱失效时，边柱失效结构会发生整体变形。

4.2方程的数值分析与有限元分析

建立了能量平衡方程后，可得到p—Δ为混合变量的函数表达式，其中各参数用三角级数、三角函数与双曲函数混合函数等方法写出，通过数值计算即可获得失效节点承载力和竖向位移的解、组合楼板挠曲面方程的解、支承钢梁挠曲轴的解、局部结构重要节点和边缘处弯矩剪力等广义力的解。通过Matlab求解方程组，通过对混合变量取变分后，首先获得板面位移的挠曲面方程的解，再通过lowess局部加权回归拟合为曲面。

有限元结果表明，2块组合板的最大挠度乃发生在失效节点。有限元分析结果也揭示了楼板对连续倒塌的有利作用，对比在有限元中所得数值分析结果，发现拟合度很好，验证了方程的正确性，同时证明了前文分析所得的挠曲面方程的解为广义位移的真实解，在边柱失效时连续倒塌的弹性阶段建立的方程组进行结构的位移计算是可行的。

5　内柱失效工况下的解

5.1内柱失效受力分析

连续倒塌的第三种典型工况为内柱失效，也即结构内部某一根柱子破坏失效，当进入底层内柱失效连续倒塌工况时，内柱失效局部结构会发生弹性变形。

5.2方程的数值解与有限元分析

根据能量守恒方程，得到了p—Δ为混合变量的函数表达式，通过Matlab求解方程组，对混合变量取变分后，首先获得板面位移的挠曲面方程的10000个点的解。内柱失效的连续倒塌工况下弹性阶段板面变形的有限元结果揭示了楼板对连续倒塌的有利作用，对比在方程数值计算所得的挠曲面方程的解为广义位移的真实解，在内柱失效时连续倒塌的弹性阶段建立的方程组结果进行结构的位移计算是可行的。

与边柱失效工况相比，发现虽然上部结构传来的突加荷载更大，但板的最大弯矩增加不多，这是由于与失效节点直接联系的楼板数量更多，形成了弹性膜效应，使得梁和板上弯矩的分布更均匀，减小了弯矩极值，提高结构抗力，这对提升结构抗连续性倒塌性能是非常有利的。有限元结果表明组合板在角柱失效的连续倒塌工况下，面内弯矩的最大值出现在节点处，弯矩的分布情况与方程结果相同。

可见，弹性阶段内柱失效的板整体性更好，传力路径更多，形成了弹性膜效应，大幅度提高失效节点的承载力，结构内柱失效更不易发生连续倒塌，揭示了组合楼板对结构抗连续倒塌性能的有利作用，验证了方程的正确性。

6　结论

针对连续倒塌的弹性变形阶段，运用功的互等定理，在实际系统和基本系统之间建立了梁与板的挠度方程、边界值方程，列出局部结构的能量守恒方程，从而得到了以位移-应力为混合变量的三角函数和三角-双曲混合函数表达式，通过对混合变量取变分，得到了关于结构连续倒塌的一系列问题的解。求解方程的数值解与有限元软件的模拟结果对比，验证了本文提出方程的理论正确性。

[1]付宝莲.关于功的互等定理与叠加原理的等价性[J].应用数学和力学，1985（9）.

[2]齐宏拓，李琪琳.钢筋混凝土楼板抗连续倒塌性能数值模拟分析[J].建筑结构，2010（2）.

[3]付宝莲.关于求解弹性力学平面问题的功的互等定理[J].应用数学和力学，1989（5）.

[4]王来，马洋，邱婧.基于楼板双向受拉模型的钢框架结构连续倒塌分析[J]工业建筑，2014（7）.

[5]张月强，丁洁民，张峥.大跨度钢结构抗连续倒塌动力分析关键问题研究[J].建筑结构学报，2014（4）.

TU31

A

1007-7359(2016)03-0062-03

10.16330/j.cnki.1007-7359.2016.03.021

李锋（1989-），女，山东聊城人，山东科技大学土木工程与建筑学院在读硕士，研究方向：结构工程。