《整数指数幂》说课教案与评析

苏显波 于妍秋

（此课在第九届全国初中青年数学教师优秀课观摩与展示活动中荣获一等奖。）

【说课教案】

《整数指数幂》选自人教版义务教育课程标准实验教科书《数学》八年级上册第22章第2节第3课时.下面我将从内容和内容解析、目标和目标解析、教学问题诊断分析、教学过程设计、目标检测设计五个方面，阐述我对这节课的设计.

一、内容和内容解析

1.内容

整数指数幂及运算性质.

2.内容解析

整数指数幂是在正整数指数幂的基础上，对幂指数的进一步探究和推广.它是幂的延伸和发展，也是对幂的认识的一次提升，为后续科学记数法完整体系的构建奠定了基础.

正整数指数幂的运算性质推广到整数指数幂，采用的是从特殊到一般的不完全归纳法完成的. 验证的关键是将非正整数指数幂转化成正整数指数幂，这一过程蕴含着类比的思想和化归的思想.

运算性质适用范围的扩大，使性质得到更广泛的应用，从而给式的运算带来更大的便利.

基于以上分析，确定本节课的教学重点：对整数指数幂运算性质的理解及运用.

二、目标和目标解析

1.目标

（1）理解数学规定：当n为正整数时，a-n =■ （a≠0）的合理性，体会类比的思想.

（2）整数指数幂运算性质的推广，体会化归的思想.

（3）根据运算性质进行运算.

2.目标解析

达成（1）的标志：类比a0=1 （a≠0）的规定，学生能够体会数学规定：a-n =■ （a≠0）的意义和合理性.

达成（2）的标志：学生在教师的引领下，能够通过独立思考、合作交流，完成对运算性质的验证和推广.体会化归思想在问题研究中的作用.

达成（3）的标志：学生能够根据算式的形式和特点，选择恰当的性质进行运算.

三、教学问题诊断分析

学生容易将a-n =■ （a≠0）理解成是证明出来的；对于整数指数幂运算性质的推导，学生容易受已有经验（正整数指数幂的运算性质）的影响，试图将其转化成乘方的形式解决. 克服第一个难点，关注同底数幂除法性质的限定条件，通过类比让学生理解a-n =■ （a≠0）是为了让同底数幂除法的性质能够适用于m基于以上分析，本节课的教学难点为：整数指数幂运算性质的推导.

四、教学过程设计

数学课堂教学是有理、有序、有效的育人活动. 合理的教学设计往往会达到事半功倍的效果. 根据课程标准教学建议的要求，本节课的教学将从以下五个环节展开：回顾·设疑·导课、探究·交流·推广、应用·对比·感悟、总结·归纳·提升、作业·巩固·加深.

环节一、回顾·设疑·导课

【教学内容】学生独立思考，得出结论，完成填空.师生共同回顾正整数指数幂的运算性质. 教师提出：如果将性质中限定条件里的“正”字去掉，性质是否还成立呢？

【设计意图】设置疑问，使学生带着浓厚的兴趣和数学思考走进课堂，从而引出课题.这里没有采用计算训练的方式来回顾旧知，目的是让学生对运算性质的本身有更清楚、更准确的认识，为接下来的性质推广及后续的应用奠定基础.

环节二、探究·交流·推广

【教学内容】提出问题：同底数幂除法的运算性质在m不大于n的情况下，还能否使用呢？

计算：a3÷a3；a3÷a5 .

a3÷a3 =1

a3-3=a0，

即：a3÷a3=a3-3

a3÷a5 =■

a3-5 =a-2

即：a3÷a5 =a3-5

学生根据分式的基本性质，由约分不难得出这两个算式的结果.教师在和学生共同回顾a0=1 （a≠0）的意义的基础上，通过类比得出规定：a-2 =■ （a≠0）.

类似地，为了让同底数幂除法的运算性质能够适用于a5÷a8 ，a2÷a6 这样的运算，应该做出什么规定？学生通过思考得出问题的答案.

概括起来，为了让同底数幂除法的运算性质能够适用于m

【设计意图】通过前面的研究，学生对am中的指数又有了新的认识，由原来的非负整数扩大到全体整数，由此，教师提出是否可以继续弱化性质中的限定条件，去掉“正”字，探究性质是否成立. 学生在教师举例验证的引领和示范下，通过类比和转化验证性质的成立，体会化归思想在问题解决中的作用，进而实现同底数幂除法运算性质的再次推广.

【教学内容】我们再来看一下其他几条性质，它们限定条件中的“正”字也可以去掉吗？我们来选择同底数幂乘法的运算性质进行验证.

活动要求：1.类比同底数幂除法的研究过程，写出几个同底数幂乘法的算式，要注意指数的多样性. 2.先独立思考，再小组合作，结合算式验证.

【设计意图】类比同底数幂除法运算性质的推广，对同底数幂乘法的运算性质进行探究. 学生根据活动要求，通过独立思考、合作交流、汇报展示的方式，经历寻找研究素材、推理归纳的过程，进而验证了性质的正确性.对于其他几条性质，由于探究的方法十分相近，因此，由教师说明其正确性，并没有让学生逐一推导，而是采用课后思考完成.这样既节省了时间、提高了课堂效率，同时也留白给学生，扩大了学生思考的空间.

环节三、应用·对比·感悟

【教学内容】例题：计算（1）a-2÷a5 ，（2）2x-2y·3xy-3 ，（3） （a-1b2）3，（4）（■）-2 .

练习：计算（1）x2y-3（x-1y）3 ，（2）a-2b2·（a2b-2）-3 ，（3）（2ab2c-3）-2÷（a-2b）3 .

【设计意图】例题、习题的选择遵循了由简到繁、由浅入深的原则，学生独立思考并交流做法.在加深对性质的理解的基础上，通过对比实现解题方法上的优化.真正把课堂交给学生，让学生成为课堂的主人.

环节四、总结·归纳·提升

【教学内容】问题解决到这里，本节课也即将进入尾声，请同学们谈谈这节课你在知识上和方法上的收获和体会.

am÷an=am-n

本节课，我们以同底数幂除法的运算性质作为研究的主线，类比a0 =1（a≠0），规定了：一般地，当n为正整数时， a-n =■（a≠0）.并以此作为基础，逐层弱化了性质中的限定条件，进而将正整数指数幂的运算性质推广到整数指数幂，从而使运算更加简便.随着学习的深入，幂的指数还可以扩大到有理数的范围.

【设计意图】认知能力的提升来源于不断的反思和总结，首先由学生畅谈本节课知识上和方法上的收获和体会，然后教师再现本节课的研究脉络和知识体系，加深学生对本节课内容的理解和把握，实现对本节课的提升.

环节五、作业·巩固·加深

【教学内容】课后作业：必做题：89页1题、2题；选做题：91页7题.

【设计意图】布置作业是为了巩固本节课所学知识，同时根据不同程度的学生设计了分层次作业.

【板书设计】略.

【设计意图】板书设计力图保持概括性、系统性以及示范性等.

五、目标检测设计

有梯度的目标检测题目，让不同的学生在学习中都得到收获，体现人人学有价值的数学，使不同的学生在数学上得到不同的发展.

计算：（1）（x-2y2）（3x2y）-2 （2）（2a2bc-1）（abc）-2

（3）6x2yz÷（-2xy-2z-1） （4）（3x2yz-1）2÷（2x-1y-2）3

课堂教学本身就是一种带有遗憾的艺术，我深知在我的教学设计中同样伴随着这样或那样的不足，但这恰恰是让我不断走向成熟的关键，我非常珍惜这次历练的机会，同时也真诚地希望各位专家给予指导！

【评析】

立足学情 开启智慧 导引方法

本节课是在学习了正整数指数幂的基础上，对整数指数幂学习的进一步深入和拓展，是对性质条件数域的推广，通过数学思想方法的有效渗透，发展学生后续的数学学习能力.

教师紧紧抓住了运算性质的条件推广主线作为显性明线，把数学思想方法的渗透主线作为隐性暗线，从学生的具体学情出发，双线并用，把学生从知识层面的学习引领到数学学习方法的研究上.具体表现在如下几个方面：

一、以学生原有认知为基础，对教材进行重组构建

教材中对于a-n =■（a≠0） 的规定，对于学生理解而言略显生涩，特别是教材中的假设部分，学生总是有理解上的误区，认为是把正整数指数幂性质用错了条件得到的结果. 从学生的最近发展出发，将新知识纳入学生原有知识体系，让学生深刻体会数学规定的意义和合理性是本节课的亮点之一.

得到a-n =■（a≠0）的规定后，教材从同底数幂乘法的性质出发，验证其他性质的推广.考虑到学生思维的延续性，教师延续零指数幂的规定得出除法的一贯应用，首先验证了同底数幂除法法则的性质，使学生的思维得到了正向迁移.教材在探究环节要求验证其他所有性质的适用性，考虑到在数学思维层面具有重复性，在课堂上只探究了同底数乘法性质的适用性，让学生感悟其他性质的得出，通过数学常用的同理推理即可获得验证.

通过对于教材的重组构建，使教学能够立足学情，克服“只强调死记结论，不重视知识形成过程”的急功近利的“结论式”的教学心理，并使学生对数学的研究方法有一定的体会，能够逐步加深对数学学科本质的理解.

二、加强数学思想方法的教学，着眼于提升学生的学习能力

数学的学习既是知识的学习，又是方法的学习.在教学中探索数学思想方法的最终目的是提高学生的思维品质和整体素养，而实现这一目标的主要途径通常是课堂教学.本节课中，教师将数学思想方法的渗透贯穿教学始终，类比零指数幂的规定到负整数指数幂的规定，通过从特殊到一般的试验验证，获得正确性的结论，并在学生自己举例验证的环节渗透分类的思想，使学生的思维品质得到升华.

三、通过培养学生质疑精神，引导学生理性思考

数学的发展过程是一个不断提出问题、解决问题的过程.教师要重视启发学生自己去发现问题、提出问题.本节课教师在问题设置上努力创设开放而有界的空间，通过学生自己举例验证并体会严谨推理过程，鼓励学生感受问题的发现、提出和质疑过程，让学生养成从感性认识到理性思考的习惯.

四、通过深度对话助推学生生命成长

教育心理学认为，从某种意义上说，教育背景中对话关系双方的情感和认知是学生取得学业成功以及教师最终导致教学成功的关键.本节课教师努力把教师与个别学生之间的一问一答变成能在房间内到处反弹的复杂公共对话，提供更多师生对话、生生对话和学习共同体间的对话的机会，教师将着力点放在对对话的组织和指导上，使学生的主体性作用得到充分发挥，促使学生知识、能力和健康人格的和谐发展，在学习知识的同时丰富情感.