函数的奇偶性在高等数学中的若干讨论

刘太岗 王春华

摘要：介绍了函数奇偶性的定义和图形特征，分析了奇偶函数的性质，并讨论了函数奇偶性在高等数学中的若干应用。

关键词：函数；奇偶性；高等数学

中图分类号：G642.3 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2016）09-0169-02

函数是高等数学的主要研究对象，奇偶性是函数的基本性质之一。函数的奇偶性在高等数学中有着十分广泛的应用，如利用奇偶函数图形的对称性缩减函数作图的步骤、利用被积函数的奇偶性化简定积分的计算以及奇偶函数的麦克劳林级数和傅里叶级数的展开都可简化。

一、函数奇偶性的定义

定义：设函数f（x）的定义域D关于原点对称。若？坌x∈D，恒有f（-x）=f（x），则称f（x）为偶函数；若？坌x∈D，恒有f（-x）=-f（x），则称f（x）为奇函数。例如，y=cosx是偶函数，y=sinx是奇函数。

由定义易知：①常函数y=C是偶函数，特别地，当C=0时，即常函数y=0既是奇函数也是偶函数；②偶函数的图形关于y轴对称，奇函数的图形关于原点对称；③偶函数在对称区间上具有相反的单调性，奇函数在对称区间上具有相同的单调性；④奇函数f（x）若在x=0处有定义，则f（0）=0。

二、奇偶函数的性质

（一）奇偶函数的四则运算

设所考虑函数的定义域关于原点对称，且不恒取零值，则有以下结论成立：

两个奇函数的和（或差）为奇函数；两个奇函数的积（或商）为偶函数；两个偶函数的和（或差）为偶函数；两个偶函数的积（或商）为偶函数；一个奇函数与一个偶函数的和（或差）既非奇函数也非偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积（或商）为奇函数。

（二）奇偶函数的反函数

1.偶函数在定义域内不存在反函数；

2.奇函数若在定义域内存在反函数，则其反函数也必为奇函数。

（三）奇偶函数的复合函数

设函数y=f [g （x）]是由函数y=f（u）和u=g（x）复合得到，且它们的定义域均关于原点对称，则有以下结论成立：

1.若y=f（u）和u=g（x）都是奇函数，则y=f [g （x）]是奇函数；

2.若y=f （u）和u=g（x）至少有一个是偶函数，则y=f [g （x）]是偶函数。

（四）奇偶函数的导数

设函数f（x）在其定义域上可导，则有以下结论成立：

1.若f（x）是奇函数，则f ′（x）是偶函数；

2.若f（x）是偶函数，则f ′（x）是奇函数。

即求导改变函数的奇偶性。

（五）奇偶函数的原函数

1.若f（x）是连续的奇函数，则其所有的原函数均为偶函数；

2.若f（x）是连续的偶函数，则其必有一个原函数为奇函数。

特别地，设f（x）是在对称区间[-a，a]，上连续，？覬（x）=f（t）dt，x∈[-a，a]，则有以下结论成立：

3.若f（x）是奇函数，则？覬（x）是偶函数；

4.若f（x）是偶函数，则？覬（x）是奇函数。

三、函数的奇偶性在高等数学中的应用

（一）奇偶函数在定积分中的应用

设f（x）是在对称区间[-a，a]上连续，则有以下结论成立：

1.若f（x）是奇函数，则f（x）dx=0；

2.若f（x）是偶函数，则f（x）dx=2f（x）dx。

（二）奇偶函数在重积分中的应用

设二重积分I=f（x，y）dxdy，则有以下结论成立：

1.若积分区域D关于y轴对称，则

（i）当f（x，y）关于x为奇函数时，即f（-x，y）=-f（x，y），有I=0；

（ii）当f（x，y）关于x为偶函数时，即f（-x，y）=f（x，y），有I=2f（x，y）dxdy，其中D1={（x，y）|（x，y）∈D，x≥0}；

2.若积分区域D关于x轴对称，则

（i）当f（x，y）关于y为奇函数时，即f（x，-y）=-f（x，y），有I=0；

（ii）当f（x，y）关于y为偶函数时，即f（x，-y）=f（x，y），有I=2f（x，y）dxdy，其中D1={（x，y）|（x，y）∈D，y≥0}。

设三重积分I=f（x，y，z）dxdydz，则有以下结论成立：

①若积分区域Ω关于xOy坐标面对称，则

（i）当f（x，y，z）关于z为奇函数时，即f（x，y，-z）=-f（x，y，z），有I=0；

（ii）当f（x，y，z）关于z为偶函数时，即f（x，y，-z）=f（x，y，z），有

I=2f（x，y，z）dxdydz，其中Ω1={（x，y，z）|（x，y，z）∈Ω，z≥0}；

②当积分区域Ω关于yOz坐标面对称，且被积函数f（x，y，z）关于x有奇偶性，或当积分区域Ω关于zOx坐标面对称，且被积函数f（x，y，z）关于y有奇偶性时有完全类似的结论，本文不再赘述。

（三）奇偶函数在第一类曲线积分中的应用

设第一类曲线积分I=f（x，y）ds，则有以下结论成立：

1.若积分曲线L关于y轴对称，则

（i）当f（x，y）关于x为奇函数时，即f（-x，y）=-f（x，y），有I=0；

（ii）当f（x，y）关于x为偶函数时，即f（-x，y）=f（x，y），有I=2f（x，y）ds，其中L1={（x，y）|（x，y）∈L，x≥0}；

2.若积分曲线L关于x轴对称，则

（i）当f（x，y）关于y为奇函数时，即f（x，-y）=-f（x，y），有I=0；

（ii）当f（x，y）关于y为偶函数时，即f（x，-y）=f（x，y），有I=2f（x，y）ds，其中L1={（x，y）|（x，y）∈L，y≥0}。

本文只讨论了平面曲线的积分，空间曲线的积分有完全类似的结论。

（四）奇偶函数在第一类曲面积分中的应用

设第一类曲面积分I=f（x，y，z）dS，则有以下结论成立：

1.若积分曲面∑关于xOy坐标面对称，则

（i）当f（x，y，z）关于z为奇函数时，即f（x，y，-z）=-f（x，y，z），有I=0；

（ii）当f（x，y，z）关于z为偶函数时，即f（x，y，-z）f（x，y，z），有

I=2f（x，y，z）dS，其中∑1={（x，y，z）|（x，y，z）∈∑，z≥0}。

2.当积分曲面∑关于yOz坐标面对称，且被积函数f（x，y，z）关于x有奇偶性，或当积分曲面∑关于zOx坐标面对称，且被积函数f（x，y，z）关于y有奇偶性时有完全类似的结论，本文不再赘述。

（五）奇偶函数在级数展开中的应用

设函数f（x）在x=0处可以展开为麦克劳林级数，则有以下结论成立：

1.若f（x）是奇函数，则其麦克劳林级数展开式中只含有x的奇次幂项，即

f（x）=x+x+…+x+…；

2.若f（x）是偶函数，则其麦克劳林级数展开式中只含有x的偶次幂项，即

f（x）=f （0）+x+…+x+…。

设函数f（x）在区间[-π，π]上可以展开成傅里叶级数，则有以下结论成立：

①若f（x）是奇函数，则其傅里叶级数展开式中只含有正弦项，即

bsinnx，其中系数b=f（x）sinnxdx（n=1，2，…）；

②若f（x）是偶函数，则其傅里叶级数展开式中只含有余弦项，即

+acosnx，其中系数a=f（x）cosnxdx（n=0，1，2，…）。

四、结语

奇偶性是研究函数性态的重要知识，在高等数学中应用十分广泛.本文对奇偶函数的有关结论进行较为全面的归纳总结，以促进学生对奇偶函数的认识和理解，提高其解题能力。

参考文献：

[1]吴赣昌.高等数学（理工类第四版）[M].北京：中国人民大学出版社，2011.