二阶非线性脉冲时滞微分方程的振动性

闫春娟 胡春霞 李瑞红

摘要：讨论了二阶非线性脉冲时滞微分方程的振动性.在文献[1]的基础上，引入函数r（t），利用脉冲微分不等式和Riccati变换，从而得到方程振动的条件，结果推广了原有文献中的结论。

关键字：脉冲；时滞；非线性

中图分类号：G642.3 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2016）09-0174-02

一、引言

r（t）（x ‘（t））′+f（t，x（t），x′（t））+g（t，x（t），x（t-τ））=0 t≥t，t≠t ①

x（t）=I（x（t）） x′（t）=H（x′（t）） k=1，2，……满足初始条件

x（t）=φ（t） t-τ≤t≤t ②

其中φ，φ‘：t-τ，t→R至多有限个不连续点，且在这些点右连续，0≤t

H）r∈C（R，（0，∞）），f：[t-τ，∞）×R×R→R是连续非负的函数。

H）g：[t-τ，+∞）×R×R→R是连续的，对于所有的x（t）x（t-τ）>0，有x（t）g（t，x（t），x（t-τ））>0，≥p（t），≤q（t），其中x（t-τ）≠0，p（t）≥0， p（t），q（t）在[t-τ，∞）上连续，xφ（x）>0，x≠0，φ′（x）≥0.

H）I，H∈C（R，R），存在正数a，，b，有

a≤≤，b≤≤，x≠0，k=1，2，…

H）对于t∈[t-τ，+∞），t≠t，k=1，2，…，x（t）是连续可微的且满足方程①，x（t），x（t），x′（t），x′（t）都存在并有x（t）=x（t），x′（t）=x′（t）.[1]

二、主要结论

引理1 假设

a）序列{t}满足0≤t

a）m，m′∈PC′（R+，R），在t=t左连续，k=1，2，…

a）对于k=1，2，…，t≥t有m′（t）≤p（t）m（t）+q（t） ③

m（t）≤d（t）+b ④

其中p，q∈C（R+，R），d≥0，d，b是实常数，则下列不等式成立

m（t）≤m（t）dexp（p（s）ds）

+dexp（p（u）du）q（s）ds

+ dexp（p（s）ds）b t≥t ⑤

注：如果不等式③，④中的不等号反向，则不等式⑤中的不等号也反向。

引理2 令方程①的解为x（t），假设存在T≥t，对于t≥T-τ有x（t）>0，且满足以下条件：（i）前言中的假设条件H，H，H成立；

（ii）（）ds=+∞

则x′（t）≥0，x′（t）≥0，t∈[t，t]，t≥T.

证明：因为t≥T-τ时x（t）>0，所以t≥T时有x（t-τ）>0.首先，对于t≥T有x′（t）≥0，否则存在某个j，t≥T有x′（t）<0.

有方程①和假设条件H，可得

x′（t）=H（x′（t））≤x′（t）<0

令x′（t）=α，（α>0），由假设条件H知

r（t）（x（t））′=-f（t，x（t），x′（t））-g（t，x（t），x（t-τ））≤-p（t）φ（x（t-τ））≤0

因此，在区间[t，t）上，（i=1，2，…），函数r（t）（x（t））单调递减，则r（t）（x（t））≤r（t）（x（t））

从而，x（t）≤（）x（t）≤-（）·α<0 同理可得x（t）≤（）x（t）

=（）·H（x（t））≤（）bx（t）

≤-（）b·α<0

由数学归纳法得x（t）≤-（）b·α<0

考虑脉冲微分不等式

r（t）（x（t））′≤0 t≥t，t≠t

x′（t）=H（x′（t））≤bx′（t） k=j+1，j+2，…

令m（t）=r（t）（x（t）），则上式可以转化为

m′（t）≤0 m（t）≤b（t）

由引理1可知：m（t）≤m（t）b

即，r（t）（x（t））≤r（t）（x（t））b

x（t）≤（）·x（t）·b

又因为x（t）=I（x（t））≤x（t） k=j+1，j+2，…

再次由引理1可得，

x（t）≤x（t）a+（）·x（t）·bds≤[x（t）+x（t）·（r（t））（）ds]

由引理2中的条件（ii）知，t充分大时，x（t）≤0 这与引理2中的条件 t≥T-τ，x（t）>0矛盾，因此假设不成立，即有x′（t）≥0，t≥T.因为r（t）（x（t））在

[t，t），（i=1，2，…）单调递减，显然x（t）≥（）

·x（t）≥0.即得证。[2]

定理2 满足假设条件H，H，H和引理2中的条件，存在正数k，a≥1，对于k≥k，若·p（u）du=+∞，则方程①的所有解振动。[3]

证明：假设x（t）是方程①的非振动解，即当t≥t-τ时，x（t）>0，由引理2可知，t≥t-τ，x′（t）≥0，x′（t）≥0，t∈[t，t）.

令m（t）=，t≥t，m（t）≥0

由方程①和前言中的假设条件H，H可得，

m（t）=

-≤-p（t）

由方程①和前言中的假设条件H，a≥1，φ′（x）≥0可得，m（t）=≤=m（t）m（t+τ）=≤

=m（t+τ）[4]

由引理1知，

m（t）≤m（s）-p（u）du t≤s≤t

当s→t，t→t时，则

m（t）≤m（t）≤[m（t）-p（u）du]

当t-t>τ时，可以得到不等式

m（t）≤m（t）≤[m（t+τ）-p（u）du]

≤b[m（t+τ）-p（u）du]≤[m（t）-p（u）du]≤m（t）-p（u）du-bp（u）du [5]

同理，由数学归纳法可知

m（t）≤…m（t）-…p（u）du-…

cp（u）du-…-p（u）du≤[m（t）-p（u）du]当n→+∞时，m（t）≤0，这与m（t）≥0矛盾，所以假设不成立，即方程①的所有解是振动的。

参考文献：

[1]杨甲山.具有正负系数的二阶中立型方程的振动性定理[J].华东师范大学学报（自然科学版），2011，（02）.

[2]程祥凤，孙一冰，刘雪艳，等.二阶具混合非线性时滞微分方程的振动性[J].聊城大学学报（自然科学版），2011，（02）.

[3]孙一冰，韩振来，李同兴.二阶拟线性中立型动力方程振动准则[J].济南大学学报（自然科学版），2010，（03）.

[4]张全信，高丽，俞元洪.偶阶半线性中立型分布时滞微分方程的振动性[J].应用数学学报，2011，（05）.

[5]XU Yonghong，SHI Lanfang，MO Jiaqi. Boundary Perturbed Problem for Reaction Diffusion Time Delay Equation with Two Parameters[J].Wuhan University Journal of Natural Sciences，2015，（02）.