对《“不确定性原理”的一种新讲法》一文的评述

刘全慧

(湖南大学 物理与微电子科学学院，湖南 长沙　410082)



读者来信

对《“不确定性原理”的一种新讲法》一文的评述

刘全慧

(湖南大学 物理与微电子科学学院，湖南 长沙410082)

近期本刊上，顾学文、张立云和梁裕民三位作者发表了题为《“不确定性原理”的一种新讲法》一文[1]，提出如下建议：不从电(粒)子单缝衍射实验出发，而从一维无限深势阱中的量子力学定态解出发，在大学工科物理中引入不确定度和不确定性关系(原理).文献[1]的立意不错，可惜瑕疵也很明显.文章的讨论基于两个误解，既误解了粒子单缝衍射实验中的不确定度的含义，也误解了一维无限深势阱中定态的动量分布的定义.本评述希望澄清这两个误解.

第一，关于粒子单缝实验中如何讨论不确定度及不确定性原理.费恩曼的讲法代表了正统的理解[2].缝宽为B且记坐标在缝宽方向(设为y方向)的不确定度为Δy.那么，B和Δy之间关系如何? “比较确切地说，我们关于y坐标的知识的误差是±B/2.不过我们现在只对一般性的思想有兴趣，所以我们不必在意因子2.”[2]即可以认为Δy和B同量级.在单缝实验中，不妨把衍射图像的第一级极小对应的角度作为角度不确定性的一种量度.由此可得海森伯不确定性原理[2]：

ΔyΔpy≈h

注意，其中的Δy和Δpy都是经典力学中的轨道不确定度和动量不确定度.换一个角度看，海森伯不确定性原理不过是把分辨率δy和波长λ同量级，即δy≈λ，写成了粒子语言而已.海森伯不确定性原理本来就是量子力学创立之初的一个原理，用来规范对量子力学的理解和发展，它本身有其确切的含义.这里的不确定度，原本就不是量子力学中的概念，而是经典的概念.海森伯不确定性原理的一个重要目的在于限制经典概念适用的范围[3].

量子力学创立之后，需要在其中找到海森伯不确定性原理的位置，这是另外一件事.量子力学中有所谓的不确定性关系.但是，不能把不确定性关系和海森伯不确定性原理等同起来，正像不能把2维相空间中的最小面积元ΔyΔpy=h和海森伯不确定性原理等同起来一样.但是，可以把不确定性关系当成海森伯不确定性原理在量子力学中的一个表达，不过很可能不是最恰当的表达，至少未必是唯一表达.例如，近年来的研究发现，量子力学中的误差——干扰关系更加接近海森伯不确定性原理的精神[4].当然，即便如此，也并不能抹杀不确定性关系的物理学价值.

而文献[1]从三方面批评了单缝实验中粒子不确定度的定义，认为该不确定度在逻辑上有瑕疵，概念不够严谨，暗含了经典轨道的概念等.都是不对的.

第二，关于一维无限深势阱中粒子的不确定性关系.文献[1]认为其中的定态是两列波相反方向传播形成的驻波，相应地，粒子的动量至少有两个可能值，并把这两个可能值之差定义为动量的不确定度.进而得到ΔxΔpx～nh≥h，其中n=1,2,3,...为量子数.

问题是，无限深势阱中的定态不是驻波.利用归谬法证明如下.如果量子力学定态真是驻波，则有两列行进方向相反的行波.那么这些行波满足什么运动学方程? 如果是薛定谔方程，则只能直接给出定态.且这个定态已经是基本解，在量子力学中就不能再进行进一步的分解.如果不是薛定谔方程，那么就有比薛定谔方程更为基本的动力学方程，这和量子力学矛盾.还有个简单的理由可以排除驻波说.如果是驻波，系统的哈密顿算符和动量算符同时具有确定值，而对于无限深势阱中的粒子，哈密顿算符和动量算符不对易，不可能同时具有确定值.

关于这个问题，Cohen-Tannoudji, Diu和Lalo⊇的作法代表了正统的理解[5].按彻底的量子力学理解，动量的本征函数必须定义在全空间，否则动量算符不是自伴算符.尽管一维无限深势阱中的定态在阱外为零，但是这个态定义在全空间，对于基态而言，动量分布的主要部分是一个单峰，和“两个相反方向传播的波形成的驻波”这一观点相距甚远!

仅仅在进行近似处理，或者半经典意义、或者取大量子数极限时，粒子的动量才基本上取大小相等

方向相反的两个值.尽管国内的一些量子力学教材(例如文献[6-8])也用了驻波说，国外的主要教材找不到这个说法.甚至一些网络材料，都非常小心地处理了这个说法.例如美国尤西纽斯学院(Ursinus College)的“Classical and Quantum Mechanical Waves”课程的教学网站中的讲义中，先处理了驻波，然后说这些处理 驻波“can describe (approximately) a physically reasonable system - the infinite square well”[9]. 这里，括弧中的一个单词就强调了驻波说的近似性.

最后指出，从文献[1]的行文和引用的文献可以看出，作者对不确定性原理中的不确定度的定义感到迷惑，有违和感，故而有所抵触.而对量子力学不确定关系中的不确定度定义感觉比较亲切，接受起来比较容易.这种感觉很多人都有.那么，可以完全不讲不确定性原理，或者仅仅从浅易的程度上介绍.然后把重点放在量子力学不确定关系的讲解中.这也未尝不可.但是，不能把个人的感觉当成普遍的理解.如果觉得无限深势阱中的定态和驻波有些类似，必须注意到这仅仅是类似，它们的物理完全不同.

致谢本文受到国家自然科学基金的资助(批准号11175063)、湖南大学教改基金资助，特此致谢.

[1]顾学文，张立云，梁裕民.“不确定性原理”的一种新讲法[J].大学物理， 2015，34(12):6-8

[2]Feynman R P, Robert B Leighton, Matthew Sands. The Feynman Lectures on Physics Volume Ⅲ [M].Mass: Addison-Wesley, 1989: 2-2—2-4.

[3]Wichmann E H.Quantum Physics: Berkeley Physics Course, Volume 4[M]. New-York : McGraw-Hill，1971: 20.

[4]Busch P，Lahti P，Werner R F.Quantum root-mean-square error and measurement uncertainty relations [J]. Rev Mod Phys, 2014，86：1261-1281.

[5]Cohen-Tannoudji C, Diu B, Lalo⊇ F.Quantum Mechanics Volume 1[M].New-York : Wiley, 1997:269-274.

[6]周世勋.量子力学教程[M].2版.北京：高教出版社，2009: 28.

[7]苏汝铿.量子力学[M].2版.北京：高教出版社，2002: 32.

[8]邹鹏程.量子力学[M].2版.北京：高教出版社，2003: 66.

[9]Riley L A. http://webpages.ursinus.edu/lriley/courses/p212/lectures/node35.html.