习题课的教学中对“错题”的一次亮剑

孙如敏

摘 要：把解题看成是一种纯粹的智力活动是片面的，对于个人而言如果遇到的题目是较容易的，那么，只要稍微思考一下就可以解决了。个人的情感意志在做题的过程中所起的作用显然不是主导的。但是如果题目难度较大，那么只有靠毅力才能坚持长时间的艰辛思考，忍受痛苦的挫折才能够成功。显然个人的意志在解题过程中所起的作用是不可忽视的。

关键词：个人意志；创造性活动；亮剑

案例：在平面四边形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，且AB=1，EF= ，CD= ，若 · =15，则 · 的值为？（南通13年3检）

以下是三个学生给出的三种不同解法：

解法一：（学生甲） = + ， = + ，

连接AF延长至H点，使得AF=FH，连接DH从而△ABF≌△HCF，因此有

AB CH从而 = 。易知线段DH=2 ，在△DCH中，DC= ，

反思：这里竟然不可思议地算出了cos∠DCH= =- <-1，从而我们可以得出这样的结论：此平面四边形不存在。面对这道题用分解手段处理乃是较为常规的。然而有个学生（不妨称为学生乙）在面对这道题目时发现在分解暂时不能解决时并没有选择放弃而是通过深思熟虑，突然想到了建系的方式来解决此题。

解法二：（学生乙）建立以A为原点，AB为x轴的平面直角坐标系，则A（0，0），B（0，0），C（x1，y1），D（x2，y2），因为E和F分别是线段AD和BC的中点。从而E（ ， ），F（ ， ），CD= = ，从而（x1-x2）2+（y1-y2）2=3 ①，EF= = 2，从而2= + 即有（x2-x1）2-2（x2-x1）+1+（y2-y1）2=8 ②，联合①②整理得之x2-x1=

-2代入①得（y2-y1）2=-1，故不存在此平面四边形，此题错误。

以上两种解法从各自角度阐述了在平面中是不可能出现这样的四边形的，此种做法引起了很多学生的共鸣，认为此题错误，但不管怎样，解决此题的这两种方法都是值得借鉴的。然而也有个别学生（学生乙）提供了一种新的处理手段，而且这种证明方式看起来没有无瑕疵。

解法三：（学生丙）由上述第二种方法得 · =15+ ·

综合以上三种做法，唯独第三种做法没有逻辑上的瑕疵，究其原因在于满足条件的四边形平面上没有，但三维空间中是存在的。为了让学生亲身体验这种几何状态是否存在？笔者用几何画板给出了真实的存在的立体图形，从而大大提高了学生的学习兴趣。

我们学习数学时在于从解题的过程中享受思考的快乐，作为中学生善于解一些要求独立思考、思路合理、见解独到的和有发明创造的题。由于教师的很多工作是根据升学率或学生整体的考试成绩来给予评定，因此几乎所有的教师都乐于选择范例。然而数学的特征是：公式繁多，内容复杂，问题形式变化无穷。可是将这样的范例付诸教学时，教师却又往往选择只是给学生讲解和介绍题目的多种解法，而很少讲解产生多解的思维过程，而解题教学的重要内容和意义就是要揭示解题的中的数学思维。因而，有不少教师强调“类型归类”即把数学题分为十几类甚至几十类，分门别类地向学生讲述，他们教育学生遇到问题时对号入座，我认为这种方法固然有他一定的长处，但容易使学生思维僵化。

把解题看成是一种纯粹的智力活动是片面的，对于个人而言如果遇到的题目是较容易的，那么我们只要稍微思考一下就可以解决了。个人的情感意志在做题的过程中所起的作用显然不是主导的。但是如果题目难度较大，那么我们只有靠毅力才能坚持长时间的艰辛思考，忍受痛苦的挫折才能够成功。显然个人的意志在解题过程中所起的作用是不可忽视的。

如何有效地主组织高中数学解题教学，是历年数学教学研究中最热门的课题。所以我们在教学的过程中不仅要求学生直接参与解题，更要求学生能参与解题的思维活动。解题活动是学生在数学学习中最具有独立性的创造性活动，应当鼓励学生在解题过程中对于较难的题目敢于亮剑，敢于亮剑的品质对发展学生的思维、培养学生的能力、促进学生良好品质结构方面具有重要的作用。

编辑 温雪莲