巧用导数求最值

姚士长

导数是高中数学学习的重点内容，它的引入对函数的单调性、极值、最大（小）值的研究开辟了一条捷径，也为数学的学习增添了色彩。它能使比较复杂的问题简单化，使数学问题与实际应用更加紧密。导数的应用已成为高考的一个热点，下面我们将探讨导数在求最值方面的应用。

例题：已知函数f（x）=ax-lnx（a∈R）

（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在x=2处切线的斜率；

（2）求f（x）的单调区间；

（3）当a>0时，求f（x）在区间（0，e]上的最小值。

解：（1）当a=1时，f（x）=x-lnx，f ′ （x）= （x>0）

故曲线y=f（x）在x=2处切线的斜率为 。

（2）f ′（x）=a- = （x>0）

当a≤0时，由于x>0，故ax-1<0，f ′（x）<0。所以f（x）的单调递减区间为（0，+∞）。

当a>0时，由f ′（x）=0，得x= 。在（0， ）上，f ′（x）<0，在（ ，+∞）上，f ′（x）>0。

所以，函数f（x）的单调递减区间为（0， ），单调递增区间为（ ，+∞）。

综上所述，当a≤0时，f（x）的单调递减区间为（0，+∞）；

当a>0时，函数f（x）的单调递减区间为（0， ），单调递增区间为（ ，+∞）。

（3）根据（2）得到的结论：

当 >e，即0

当 ≤e，即a≥ 时，f（x）在区间（0，e]上的最小值为f（ ），f（ ）=1-ln =1+lna

综上所述，当0

当a≥ ，f（x）在区间（0，e]上的最小值1+lna

解析：本题主要考查了导数在研究函数中的应用。利用导数求最值的步骤。求函数f（x）的极值的步骤：（1）确定函数的定义区间，求导数f ′（x）。（2）求方程f ′（x）=0的根。（3）用函数的导数为0的点，将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f ′（x）在方程根左右的值的符号。如果左正右负，那么f （x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f （x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f （x）在这个根处无极值。（4）将f （x）的各极值与区间端点值f（a）、f（b）比较得出函数f （x）在[a，b]上的最值。

编辑 温雪莲